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1、7-3-2.加乘原理之数字问题（一）教学目标1.复习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决还有这样的一种情况：就
2、是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可
3、以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立”乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”例题精讲【例 1】 由数字1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为有1，2，3共3个数字，因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组成三位数它们的和就是问题所求组成一位数：有3个；组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有3种方法；第二步排个位数也有3种方法，因此由乘
4、法原理，有个；组成三位数：与组成二位数道理相同，有个三位数；所以，根据加法原理，一共可组成个数【答案】【例 2】 用数字1，2，3可以组成6个没有重复数字的三位数，这6个数的和是 。【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 （1+2+3)2111=1332.【答案】【巩固】 由数字0，3，6组成的所有三位数的和是_。【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题【解析】 由数字，组成的所有三位数有，它们的和为：。【答案】【例 3】 由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？ 【考点】加
5、乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 满足条件的数可以分为4类：一位、二位、三位、四位数第一类，组成0和一位数，有4个（0不是一位数，最小的一位数是1）；第二类，组成二位数，有个；第三类，组成三位数，有个;第四类，组成四位数，有个由加法原理，一共可以组成个数【答案】【例 4】 用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 小于1000的自然数有三类第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，有个；第三类是三位数，有个，共有个【答案】【例 5】 用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000
6、的没有重复数字的自然数？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为个，三位数时，为：个，由加法原理，一共可以组成个小于1000的没有重复数字的自然数【答案】【例 6】 用09这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排19这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.（方法一）分两步完成： 第一步：从19这九个数中任选一个占据千位，有9种方法；
7、第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法； 由乘法原理，共有满足条件的四位数9987=4536个 （方法二）组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9876=3024个；第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有987种占法.所以含0的四位数有3987=1512个由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个【答案】4536【巩固】 用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【考点】加乘原理之综
8、合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 分为两类：个位数字为0的有个，个位数字为 2的有个，由加法原理，一共有：个没有重复数字的四位偶数【答案】【例 7】 在2000到2999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 若相同的数是2，则另一个2可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有 398=216（个）；若相同的数是1，有3824（个）；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9时，各有 24个，所以，符合题意的数共有216924=432（个）
9、【答案】432【例 8】 在1000至1999这些自然数中个位数大于百位数的有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (方法一)解决计数问题常用分类讨论的方法 设在1000至1999这些自然数中满足条件的数为 (其中)； (1)当时，可取19中的任一个数字，可取09中的任一个数字，于是一共有个 (2)当时，可取29中的任一个数字，仍可取09中的任一个数字，于是一共有个(3)类似地，当依次取2，3，4，5，6，7，8时分别有70，60，50，40，30，20，10个符合条件的自然数所以，符合条件的自然数有个(方法二)1000至1999这1000个自然数中，每1
10、0个中有一个个位数等于百位数，共有100个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为个.【答案】【例 9】 某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9为确保打开保险柜至少要试多少次？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种第一种中，只要考虑6的位置即可，6可以随意选择四个位置，其余位置方1，共有4种选择第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，有3种选择，剩下的位
11、置放1，共有43=12种选择，同理，第三、第四、第五种都有12种选择，最后一种与第一种相似，3的位置有四种选择，其余位置放2，共有4种选择.由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56个不同的四位数，即为确保打开保险柜至少要试56次【答案】【例 10】 将1到35这35个自然数连续地写在一起，够成了一个大数：1234567891011333435，则这个大数的位数是 。【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 这个数的位数与数码的总共个数有关系，从1到9都是一位数，则共有9个数码，从10到35全市两位数，则共有（个）数码，那么
12、位数就共有（位）。【答案】【例 11】 如图，希望杯数学能力培训教程（四年级）一书有160页，在它的页码中，数字“2”共出现了 次。【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 十位上是2的有20个（含有22和122），个位上是2的有14个（除了22和122），所以共有34个数。【答案】个【例 12】 按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是055号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5. 那么，可供每支球队选择的号码共（ ）个.（A） 34 (B) 35 (C) 40 (D) 56【考点】加乘原理之综合运用 【难度
13、】3星 【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第3题【解析】 根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为09，有10种选择；两位数的十位可以为15，个位可以为05，根据乘法原理，两位数号码有56=30种选择。所以可供选择的号码共有10+30=40种。【答案】种【例 13】 从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的
14、有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有个数不含4三位数只有100 所以一共有个不含4的自然数【答案】【巩固】 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况个位上，不含
15、4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有89=72个数不含4三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有个三位数由于500也是一个不含4的三位数所以，1500中，不含4的三位数共有个 所以一共有个不含4的自然数【答案】【巩固】 从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个? 【考点】加乘
16、原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从1到300的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含2的有8个，它们是1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含2的可以这样考虑：十位上，不含2的有1、3、4、5、6、7、8、9这八种情况个位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有个数不含2；三位数中，除去300外，百位数只有1一种取法，十位与个位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九种取法，根据乘法原理，不含数字2的三位数有：个，还要加上300； 根据加法原理，从1到30
17、0的所有自然数中，不含有数字2的自然数一共有个【答案】【例 14】 将各位数字的和是10的不同的三位数按从大到小的顺序排列，第10个数是 。【考点】加法原理之分类枚举 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】 百位是9的有2个，百位是8的有3个，百位是7的有4个，这一共是9个，接下来应该是百位是6的，其中最大的是640，所以第10个数是640。【答案】【例 15】 把所有不含重复数字的四位偶数从小到大排成一列，则从前往后数第364个数是多少？【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第9题【解析】 1打头的数中，个位有5种取法，剩
18、下的两位分别有8种取法和7种取法，总共有个数。364-280=84，所以第364个数是2打头的第84个数。2打头的数中，百位是奇数时，个位有4种取法，十位有7种取法，总共有28个数；百位是偶数时，个位有3种取法，十位有7种取法，总共有21个数。前两位是20，21，23，24的分别有21，28，28，21个，84-21-28-28=7，所以2打头的第84个数是24打头的第7个数。列举可得前7个数是2406，2408，2410，2416，2418，2430，2436，所以是2436。【答案】【例 16】 由数字1，2，3，4组成的所有四位数中（数字不重复使用），从小到大排列，第7个数是_【考点】加
19、乘原理之综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第2题【解析】 1开头的数有6个，所以第7个数应该是2开头的最小的数，那么应该是2134【答案】【巩固】 由1，2，3，4，5五个数字组成的不同的五位数有120个，将他们从大到小排列起来，第95个数是_。【考点】加乘原理之综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试【解析】 1打头的有24个，2打头24个，3打头24个，4打头24个，正好96个，第96个数是45321，第95个是45312。【答案】【例 17】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第
20、个 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第二届，华杯赛【解析】 比小的位数有和，比小的位数有（种），比小的位数有（种），比小的位数有（种），所以排在第（个）【答案】【例 18】 从分别写有2、4、6、8的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少种不同的乘积？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 取2有8、12、16、18四种，取4增加24、32、36三种，取6增加48、72两种，一共有9种【答案】种【巩固】 有七张卡片：、，从中任取3张可排列成三位数。若其中卡片旋转后可看作，则排成的偶数有_个。【考点
21、】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第19题【解析】 当个位是2时，有15种，当个位是6时有23种，一共有15+23=38种【答案】种【例 19】 自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同这样的数共有多少个？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 两个相同的数字是8时，另一个8有3个位置可选，其余两个位置有种填法，有个数；两个相同的数字不是8时，相同的数字有9种选法，不同的数字有8种选法，并有3个位置可放，有个数 由加法原理，共有个数【答案】【巩固】 在10
22、00到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 若相同的数是1，则另一个1可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有9个和8个数可选，有个；若相同的数是2，有3824个；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9时，各有 24个，所以，符合题意的数共有个【答案】【例 20】 如果一个三位数满足，那么把这个三位数称为“凹数”，求所有“凹数”的个数 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 当为时，、可以为19中的任何一个，此时有种；当为时，、可以为29中的任何一个，此时有种；当为时，有种；所以共有(个)【答案】
