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1、3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 多维随机变量的特征数3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X,Y)是两维随机变量.同理可定义 n 维随机变量(随机向量).,3.1 多维随机变量及其联合分布,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x,y)=P(X x,Y y),为(X,Y)的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y,称,注意：,F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域
2、的概率.,X1,X2,x1,x2,(x1,x2),联合分布函数的基本性质,(1)F(x,y)关于 x 和 y 分别单调增.,(2)0 F(x,y)1，且,F(,y)=F(x,)=0，,F(+,+)=1.,(3)F(x,y)关于 x 和 y 分别右连续.,(4)当ab,cd 时，有,F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.,注意：上式左边=P(aXb,cY d).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),二维离散随机变量,3.1.3 联合分布列,若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.,二维离散分布的联合分布列,称,pij=P(X=xi
3、,Y=yj)，i,j=1,2,.,为(X,Y)的联合分布列，,其表格形式如下:,Y,X,y1 y2 yj,x1x2xi,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j,联合分布列的基本性质,(1)pij 0,i,j=1,2,(2)pij=1.,(非负性),(正则性),确定联合分布列的方法,(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.,(2)计算取每个数值对的概率.,(3)列出表格.,例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布列.,X Y0 41 3 2 2 3 14 0,P(X=0,Y=4)=,P(X=2,
4、Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)=0.54=1/16,P(X=1,Y=3)=,0.54=1/16,解：概率非零的(X,Y)可能取值对为:,其对应的概率分别为：,X01234,Y 0 1 2 3 4,列表为：,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0,例3.1.2 设随机变量 Y N(0,1),解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：,P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=2 2(2)=0.0455,P(X1=0,X
5、2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=2(2)(1),=0.2719,P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0,P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|1),=0.6826,求,的联合分布列.,列表为：,X1 0 1,X2 0 1,0.0455 0.2719 0 0.6826,课堂练习,设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X,Y）的联合分布列.,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，若存在非负可积函数 p(x,y)，使得,3.1.4 联合密
6、度函数,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。,称p(x,y)为联合密度函数。,联合密度函数的基本性质,(1)p(x,y)0.(非负性),(2),注意：,(正则性),一、多项分布,3.1.5 常用多维分布,若每次试验有r 种结果：A1,A2,Ar,记 P(Ai)=pi,i=1,2,r,记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.,则(X1,X2,Xr)的联合分布列为：,二、多维超几何分布,从中任取 n 只，,记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.,口袋中有 N 只球，分成 r 类。,第 i 种球有 Ni 只，N1+N2+Nr=N.,则(X1,X2,Xr)的联合分布列为：,三、
7、二维均匀分布,若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布，,记为(X,Y)U(D).,其中SD为D的面积.,四、二维正态分布,若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：,则称(X,Y)服从二维正态分布，,记为(X,Y)N().,例3.1.3,若(X,Y),试求常数 A.,解:,所以,A=6,=A/6,例3.1.4,若(X,Y),试求 P X 2,Y 1.,解:P X2,Y1,2,1,x2,y1,例3.1.5,若(X,Y),试求 P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,解:,3.2 边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量
8、(X,Y)的分布，,如何求出 X 和 Y 各自的分布？,3.2.1 边际分布函数,巳知(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)，,则,Y FY(y)=F(+,y).,X FX(x)=F(x,+),3.2.2 边际分布列,巳知(X,Y)的联合分布列为 pij，,则,X 的分布列为：,Y 的分布列为：,X,Y,3.2.3 边际密度函数,巳知(X,Y)的联合密度函数为 p(x,y)，,则,X 的密度函数为：,Y 的密度函数为：,由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.,注 意 点(1),二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N()，,注 意
9、点(2),则 X N()，,Y N().,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,例3.2.1 设(X,Y)服从区域 D=(x,y),x2+y2 1 上的均匀分布，求X 的边际密度p(x).,解:由题意得,-1,1,当|x|1时，p(x,y)=0，所以 p(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,例3.2.2 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求概率PX+Y1.,解:,PX+Y1=,y=x,x+y=1,1/2,若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipj iii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称 X 与Y 是独立的，,3.2.4 随机变量间的独立性
10、,(1)X 与Y是独立的其本质是：,注 意 点,任对实数a,b,c,d，有,(2)X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,例3.2.3,(X,Y)的联合分布列为:,问 X与Y 是否独立？,解:边际分布列分别为:,X 0 1P 0.7 0.3,Y 0 1P 0.5 0.5,因为,所以不独立,例3.2.4,已知(X,Y)的联合密度为,问 X 与Y 是否独立？,所以X 与Y 独立。,注意：p(x,y)可分离变量.,解:边际分布密度分别为:,注 意 点(1),(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立.,(2)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立.见前面例子,(
11、3)联合密度 p(x,y)的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.,注 意 点(2),(4)若联合密度 p(x,y)可分离变量，即 p(x,y)=g(x)h(y)则 X与Y 独立。(习题3.2 16题),(5)若(X,Y)服从二元正态 N()则 X与Y 独立的充要条件是=0.,3.3 多维随机变量函数的分布,问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，,如何求出 Z=g(X,Y)的分布？,(1)设(X1,X2,Xn)是n维离散随机变量，则 Z=g(X1,Xn)是一维离散随机变量.,3.3.1 多维离散随机变量函数的分布,(2)多维离散随机变量函数的分布是容易求的：,i
12、)对(X1,X2,Xn)的各种可能取值对，写出 Z 相应的取值.,ii)对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.,3.3.2 最大值与最小值分布,例3.3.1 设X与Y 独立，且 X,Y 等可能地取值 0 和1.求 Z=max(X,Y)的分布列.,解:,X 0 1P 1/2 1/2,Y 0 1P 1/2 1/2,Z=max(X,Y)的取值为:0,1,P(Z=0)=P(X=0,Y=0),=P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=3/4,设 X1,X2,Xn,独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x)和 pX(x
13、).,一般情况,若记,Y=max(X1,X2,Xn),Z=min(X1,X2,Xn),则,Y 的分布函数为:,FY(y)=FX(y)n,Y 的密度函数为:,pY(y)=nFX(y)n1 pX(y),Z 的分布函数为:,FZ(z)=11 FX(z)n,Z 的密度函数为:,pZ(z)=n1 FX(z)n1 pX(z),3.3.3 连续场合的卷积公式,定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函数为,离散场合的卷积公式,设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+Y 的分布列为,卷积公式的应用,例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z=X+Y 的分布.,解
14、：,所以 Z=X+Y N(0,2).,进一步的结论见后,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1,p)，Y b(n2,p)，,注意：若 Xi b(1,p)，且独立，则 Z=X1+X2+Xn b(n,p).,且独立，,则 Z=X+Y b(n1+n2,p).,泊松分布的可加性,若 X P(1)，Y P(2)，,注意：X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z=X+Y P(1+2).,正态分布的可加性,若 X N()，Y N()，,注意：X Y 不服从 N().,且独立，,则 Z=X Y N().,X Y N().,独
15、立正态变量的线性组合仍为正态变量.(见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i,i2),i=1,2,.n.且 Xi 间相互独立,实数 a1,a2,.,an 不全为零,则,伽玛分布的可加性,若 X Ga(1,)，Y Ga(2,)，,注意：X Y 不服从 Ga(12,).,且独立，,则 Z=X+Y Ga(1+2,).,2 分布的可加性,若 X 2(n1)，Y 2(n2)，,注意：(1)X Y 不服从 2 分布.,且独立，,则 Z=X+Y 2(n1+n2).,(2)若 Xi N(0,1)，且独立，则 Z=,2(n).,注 意 点,(1)独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布.,(2)
16、独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.,例3.3.3 设 X 与 Y 独立，XU(0,1),YExp(1).试求 Z=X+Y 的密度函数.,解:,被积函数的非零区域为：,00,用卷积公式：,(见下图),x,z,1,z=x,因此有,(1)z 0 时,pZ(z)=0;,(2)0 z 1 时,pZ(z)=,(3)1 z 时,pZ(z)=,1,3.3.4 变量变换法,已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函数,求(U,V)的分布.,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则(U,V)的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式：,增补变量法,可增补一个变量V=g2(X,Y)，,若要求 U=g1(X
17、,Y)的密度 pU(u)，,先用变量变换法求出(U,V)的联合密度pUV(u,v)，,用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式,然后再由联合密度pUV(u,v)，去求出边际密度pU(u),本节主要给出 X 与 Y 的相关系数,3.4 多维随机变量的特征数,3.4.1 多维随机变量函数的数学期望,定理 3.4.1 设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则,E(Z)=Eg(X,Y)=,课堂练习,在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度.,求 E(|XY|),3.4.2 数学期望与方差的运算性质,1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),2.当X与Y独立时，E(XY)=E
18、(X)E(Y),(性质3.4.1),(性质3.4.2),讨论 X+Y 的方差,1.Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2EXE(X)YE(Y),3.当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y)=0.,4.当X与Y独立时，Var(X Y)=Var(X)+Var(Y).,2.EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y),注意：以上命题反之不成立.,3.4.3 协方差,定义3.4.1 称 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差.,协方差的性质,(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(性质3.4.7),(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(性质3.
19、4.4),(2)若 X 与 Y 独立，则 Cov(X,Y)=0.(性质3.4.5),(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性质3.4.9),(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2 Cov(X,Y)(性质3.4.6),(5)Cov(X,a)=0.(性质3.4.8),(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性质3.4.10),课堂练习1,X 与 Y 独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则 Var(2XY)=().,27,课堂练习2,X P(2)，Y N(2,4)，X与Y独立，则 E(XY)=();E(XY)2=().,4,22,解：记“Xi
20、=1”=“第 i 个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第 i 个人未拿对自己的礼物”,配对模型的数学期望和方差,n 个人、n 件礼物，任意取.X 为拿对自已礼物的人数，求 E(X),Var(X),则,因为 E(Xi)=1/n,所以 E(X)=1.,又因为,所以 E(XiXj)=1/n(n1),XiXj,P,0 1,11/n(n1)1/n(n1),由此得,又因为,所以先计算 E(XiXj),XiXj的分布列为,所以,3.4.4 相关系数,定义3.4.2 称 Corr(X,Y)=,为 X 与 Y 的相关系数.,若记,注 意 点,则,相关系数的性质(1),(1)施瓦茨不等式,Cov(X,Y)2 Va
21、r(X)Var(Y).,相关系数的性质(2),(2)1 Corr(X,Y)1.,(3)Corr(X,Y)=1,X 与 Y 几乎处处有线性关系。,(性质3.4.11),(性质3.4.12),P(Y=aX+b)=1,Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：,注 意 点,Corr(X,Y)接近于1，X 与 Y 间 正相关.,Corr(X,Y)接近于 1，X 与 Y 间 负相关.,Corr(X,Y)接近于 0，X 与 Y 间 不相关.,没有线性关系,例3.4.1 设(X,Y)的联合分布列为,求 X,Y 的相关系数.,解:,=0,同理,=3/4,E(Y)=E(X)=0,另一方面,=1/81/
22、81/8+1/8,=0,所以,Cov(X,Y),即 Corr(X,Y)=0,E(Y2)=E(X2)=3/4,=E(XY)E(X)E(Y)=0,例3.4.2(X,Y)p(x,y)=,求 X,Y 的相关系数,解:,=7/6,=5/3,所以,Var(X)=Var(Y)=11/36,=4/3,二维正态分布的特征数,(1)X N(1,12),Y N(2,22);,(2)参数 为 X 和 Y 的相关系数;,(4)不相关与独立等价.,3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵,定义3.4.3 记,称,，则,为,的协方差阵，记为,或,定理3.4.2 协方差阵对称、非负定.,协方差阵的性质,称,注 意 点,为,的相关矩阵.,课堂练习1,设 X N(0,1),Y N(0,1),Var(XY)=0,求(X,Y)的协差阵.,课堂练习2,设 X,Y 的协差阵为,求相关阵 R.,对二维随机变量(X,Y),在给定Y取某个值的条件下,X的分布;在给定X取某个值的条件下,Y的分布.,3.5 条件分布与条件期望,(1)条件分布列：,3.5.1 条件分布,(2)条件密度函数：,(3)条件分布函数：,3.5.2 条件数学期望,定义 3.5.4,E(X|Y=y)是 y 的函数.,注 意 点,所以记 g(y)=E(X|Y=y).,进一步记 g(Y)=E(X|Y).,重期望公式,定理 3.5.1,
