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1、2020,中考二轮专题复习,二次函数背景下角平分线问题,基本图形：,作垂直，得全等。,过角,平分线上的点向两边作垂线，关注,全等的直角三角形，线段相等,到角的两边的距离相等,平分线上的点,角平分线性质定理：角,角平分线的有关基本图形,如图,:,已知,OC,平分,AOB,，点,D,在,OC,上，,DE,OA,于点,E,，,DF,OB,于点,F,，则,DE=DF,。,图,1,变式一：,作垂直，得相似。,过角两边,上的点向角平分线作垂线，关注两直,角三角形相似，线段成比例，三角函,数。,到角的两边的距离相等,平分线上的点,角平分线性质定理：角,角平分线的有关基本图形,如图,:,已知,OC,平分,AO
2、B,，过角两边上,的点,E,、,F,作,ED,OC,于点,D,，,FG,OC,于点,G,，则,ODE,OGF,。,图,2,变式二：,作平行，得等腰。,过角平分,线上的一点作角一边的平行线，关注,等腰三角形。,到角的两边的距离相等,平分线上的点,角平分线性质定理：角,角平分线的有关基本图形,如图,:,已知,OC,平分,AOB,，过,OC,上,一点,D,作,DE,OA,，交,OB,于点,E,，则,ODE,为等腰。,图,3,题目呈现,4,图,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知,二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，
3、,BC,该函数在第一,象限内的图象上是否存在一点,D,，,使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,方法一：作平行，利用等腰,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,解法一：过,B,作,BP,AC,交,CD,的延长线于点,P,，,易得,PCB,为等腰三角形，即,PB=PC,由题知,A,（,-1,0,），,C,（,0,3
4、,）,B,（,3,0,）,，,直线,AC,解析式为,y,AC,=3x+3,由,BP,AC,，得直线,BP,解析式为,y=3x-9,设,P,（,x,3x-9,）,PC,2,=PB,2,即,x,2,+(3x-9-3),2,=(x-3),2,+(3x-9),2,解得,x=,9,2,P,（,9,2,，,9,2,）,直线,CP,的解析式为：,y=,1,3,x+3,，,与,y,x,2,+2x+3,联立,求出交点,D,（,5,3,，,32,9,）,方法二：作平行，利用等腰,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点
5、,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,解法二：如图，过,B,作,BP,CD,，交,CA,的延长线于点,P,，易得,PCB,为等腰三角形，,PB=PC,因为直线,AC,解析式为,y=3x+3,，点,P,在直线,AC,上，设,P,（,x,3x+3,）,PC,2,=PB,2,即,x,2,+(3x+3-3),2,=(x-3),2,+(3x+3),2,解得,x=-,3,2,P,（,?,3,2,，,?,3,2,）,直线,BP,的解析式为：,y=,1,3,x-1,，,CD,BP,（两直线平行,K
6、,相等），,C,（,0,，,3,）,直线,CD,解析式为,y=,1,3,x+3,与,y,x,2,+2x+3,联立，求出交点,D,（,5,3,，,32,9,）,方法二：作平行，利用等腰,以上两种解法是过,B,点分别作,AC,、,CD,的平行线，利用两直线平行,K,值相等，求出函,数表达式，通过设,P,点坐标，利用线段相等表示出,PC,2=,PB,2,，求出点,P,的坐标，再,求出,CD,的解析式并与二次函数联立从而求出,D,点坐标。本题也可以过,A,点作,BC,、,CD,的平行线构造等腰三角形来求解。,2,方法三：作对称求解,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x
7、,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,思路,:,作点,A,关于直线,BC,的对称点,A,，连接,AA,交,BC,于,点,E,，易知,AA,BC,，点,E,为,AA,中点,B,（,3,，,0,）,C,（,0,，,3,）,直线,BC,解析式为,y=-x+3,AA,BC,（两直线垂直,K,值互为负倒数）,求得直线,AA,解析式为,y=x+1,与直线,BC,联立求出交点,E,（,1,，,2,）,点,E,为,AA,中点,(,用
8、中点坐标公式,),A,（,3,，,4,）,C,（,0,，,3,）,直线,C A,解析为,y=,1,3,x+3,与抛物线联立求出交点,D,（,5,3,，,32,9,）,方法四：作垂直，利用相似,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,思路：过点,A,作,AF,BC,，,DE,CB,由,AB=4,，,OC=OB=3,，得,BC=3,2,AF=BF=2,2
9、,，,CF=,2,，,即,tan,ACB=tan,BCD=2,方法四：作垂直，利用相似,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,思路：过点,A,作,AF,BC,，过点,D,作,DE,CB,AB=4,，,OC=OB=3,，,BC=3,2,AF=BF=2,2,，,CF=,2,，,即,tan,ACB=tan,BCD=2,过点,B,作,BP,BC,，交,CD
10、,延长线于点,P,tan,BCP=,BP,BC,=2,作,PG,x,轴，易证,COB,BGP,OB=OC=2,，得,BG=PG=6,P,（,9,6,）,y,Cp,=,1,3,x+3,与,y,x,2,+2x+3,联立,求出交点,D,（,5,3,，,32,9,）,方法五：作垂直，构造一线三等角,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,思路：过点,B,作,
11、BH,CD,，与,CD,延长线交于点,H,过点,H,作,EF,x,轴，与,y,轴交于点,E,，,过点,B,作,BF,EF,，垂足为,F,易证,CEH,HFB,由,tan,BCH=2,，即,BH,CH,=2,设,CE=m,则,HF=2m,EH=3-2m.BF=6-4m,，,OE=3+m,OE=BF,3+m=6-4m,解得,m=,3,5,即点,H,（,9,5,18,5,）,进而求出直线,CH,解析式,再与二次函数联立，求出点,D,（,5,3,，,32,9,）,方法六：抓特殊，进行导角,（,2019,?,嘉祥县三模）如图，已知二次函数,y,x,2,+2,x,+3,的图象与,x,轴相交于点,A,，,B
12、,，与,y,轴相交于点,C,，连接,AC,，,BC,该函数在第一象限内的图象上是否存在,一点,D,，使得,CB,平分,ACD,？若存在，求点,D,的坐标，若不存在，说明理由,思路：,OB=OC=3,，,OCB=,OBC=45,过点,C,作,CE,x,轴交抛物线于点,E,，过点,D,作,DH,CE,ECB=45,ACB=,BCD,ACO=,DCH,OA=1,，,OC=3,，,tan,ACO=,1,3,=tan,DCH=,?,?,设,D,（,m,-,m,2,+2,m,+3,）,CH=m,DH=-,m,2,+2,m,即,?,?,=,?,m,2,+2,m,?,=3,解得,m=0(,舍,),，,m=,5,3,D,（,5,3,，,32,9,）,1.,角的平分线问题,归纳总结,2.,抓模型敢构造,3.,重视数形结合,
