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1、2023/4/1,96,1,第9章 拉普拉斯变换,4.双边拉普拉斯变换的性质；,本节主要内容：,1.双边拉普拉斯变换；,2.双边拉普拉斯变换的收敛域；,6.单边拉普拉斯变换；,3.零极点图；,9.0 引言,傅里叶变换是以复指数函数的特例 和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和，也理应能以此为基底对信号进行分解。,傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。,通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能解决用傅里叶分析方法可以解
2、决的信号与系统分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。,将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。,9.1 拉普拉斯变换,复指数信号 是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为，则系统对 产生的响应是:,，其中,显然当 时，就是连续时间傅里叶变换。,The Laplace Transform,一.双边拉氏变换的定义：,称为 的双边拉氏变换，其中。,若，则有:,这就是 的傅里叶变换。,表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在 或是在 轴上的特例。,由于,所以拉氏变换是
3、对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。,例1.,在 时，积分收敛。,当 时，的傅里叶变换存在,显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为，包括了（即 轴）。,比较 和，显然有,例2.,与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。,由以上例子，可以看出:,1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。,2.使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉氏变换
4、的收敛域。拉氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence）对拉氏变换是非常重要的概念。,3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。,5.如果拉氏变换的ROC包含 轴，则有,4.只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。,二.拉氏变换的ROC及零极点图：,例3.,可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于 轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与 的分母的根相对应的。,若 是有理函数,分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。,将 的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收
5、敛域可以表示一个，最多与真实的 相差一个常数因子。,因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。,9.2 拉氏变换的收敛域,可以归纳出ROC的以下性质：,The Region of Convergence for Laplace Transforms,4.右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 轴的直线的右边。,3.时限信号的ROC是整个 S 平面。,2.在ROC内无任何极点。,1.ROC是 S 平面上平行于 轴的带形区域。,若，则,表明 也在收敛域内。,若 是右边信号,在ROC内，则有 绝对可积，即：,5.左边信号的ROC位于S平面内一条平行于 轴的直线的左边。,若 是左边信号，定义于,在 ROC
6、内，则,表明 也在收敛域内。,6.双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内平行于 轴的带形区域。,考查零点，令,例2.,有极点,显然 在 也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。,当 时，上述ROC有公共部分，,当 时，上述 ROC 无公共部分，表明 不存在。,当 是有理函数时，其ROC总是由 的极点分割的。ROC必然满足下列规律：,3.双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带形区域。,2.左边信号的ROC一定位于 最左边极点的左边。,1.右边信号的ROC一定位于 最右边极点的右边。,例3.,可以形成三种 ROC：ROC：ROC：ROC：,此时 是右边信号。,此时 是
7、左边信号。,此时 是双边信号。,2023/4/1,96,23,The Unilateral Laplace Transform,单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。,一.定义:,如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。,9.3 单边拉普拉斯变换,2023/4/1,96,24,单边拉氏变换也同样存在ROC。其ROC必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：一定位于最右边极点的右边。,正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一般不再强调其ROC。,单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的反变换相同。,
