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1、7.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,教 材 导 读,基 础 自 测,思 维 聚 焦,合 作 学 习,思 维 激 活,课 时 测 评,考点陪练1.用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有()A400种 B460种C480种 D496种,解析：当区域A与D涂同一色时，有654120(种)涂法；当区域A与D涂不同颜色时，有6543360(种)涂法于是总共的涂法有120360480(种)答案：C点评：本题是一道排列组合的应用题，考查计数原理的应用，在运用计数原理时，务必要分清是分类还是分步，是用乘法还是用加法体现了解题时
2、的分类讨论与程序化的思想,2有A、B、C、D四人经常通电话交流信息，已知在通了三次电话后这四人都获悉某一条信息，那么第一个电话是A打出的情况共有()A6种 B12种C18种 D36种解析：第一次电话从A打出，打给B、C、D之一有C31种可能，打第二次电话时，可能从已知信息的两人之一打出有C21种可能，此时接收电话者是剩余二人中的一个有C21种可能，显然通知最后一个人时有C31种方法，故共有C31C21C21C3136(种)答案：D,3有A、B、C、D、E、F六人依次站在正六边形的六个顶点上传球，从A开始，每次可随意传给相邻的两人之一，若在5次之内传到D，则停止传球；若5次之内传不到D，则传完5
3、次也停止传球，那么从开始到停止，可能出现的不同传法种数是()A24 B26C30 D28,解析：如图，按题意从A到D只有两种情况：3次到D；5次到D.从A出发传5次所有的情况有2532(种)，从A到D传3次后再传2次的情况有2228(种)328226即为所求答案：B,4在五棱锥的各棱所在的10条直线中，异面直线共有_对解析：只有侧棱与底面上和该侧棱不共点的三条底边为异面直线，因此共有3515对异面直线答案：15,5若把英语单词“book”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_种答案：11,类型一分类计数原理解题准备：运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件
4、事的任何一种方法必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间的确定性与并列性，做到“不重不漏”【典例1】所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,解析该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要考虑安排十位上的数字的情况进行分类解法一：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则依分类计数原理共有1234567836个解法二：按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，依分类计数
5、原理可得共有8765432136个,探究1：三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？,类型二分步计数原理解题准备：完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成【典例2】现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？,解析该问题中，完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，
6、仍有4种排法，同理，第四、第五天均各有4种排法由分步计数原理可得值班表共有不同排法为544441280(种)点评应用分步计数原理时，要理清思路，按事件发生的过程合理地分步，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤都完成了，这件事才算完成,探究2：如图所示，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域的颜色都不同，求共有多少种不同的涂色方法？解析：分四步来完成涂色这件事A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法(可以使用A涂过的颜色)根据分步计数原理，共有5433180(种)涂色方法,类型三两个计数原理的
7、综合应用解题准备：在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的方法求另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步,【典例3】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数,解析解法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理
8、即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C，D还有7种染法故不同的染色方法有607420(种),解法二：以S、A、B、C、D顺序分步染色第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A
9、与C是否同色进行分类当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步计数原理、分类计数原理，得不同的染色方法共有543(1322)420(种)不同的方法,解法三：按所用颜色种数分类第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2A54种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A53种不同的方法由分类计数原理，得不同的染色方法总数为A552A54A53420(种),点评涂色问题大致有两种解题方案：一是选择正确的涂色顺序，按步逐
10、一涂色，这时用分步计数原理进行计数；二是根据涂色时用颜色的多少，进行分类处理，这时用分类计数原理进行计数.在分步涂色时，要注意尽量让相邻区域多的区域先涂如本样题，A、B、C、D各与3个点相邻，而S与4个点(A、B、C、D)相邻，第一步给S点涂色是上策在分类涂色时，要注意不相邻区域的涂色可以相同也可以不同，这是所用颜色多少的依据如本样题，A与C不相邻，B与D不相邻，因此至少需要3种颜色,快速解题技法编号为1、2、3、4的四名运动员，在编号也是1、2、3、4的四条跑道上赛跑抽签时，谁也不想抽到与自己编号相同的跑道，问共有多少种使四人都满意的抽签方法？快解：若1号运动员不跑第一道，则他有3种跑法，不
11、妨设他选了第四道，则4号运动员可能选择第一、二、三道，有3种选法，2、3号运动员只有一种方法，共有不同的满意抽签方法为3319种,例2、（1）将3封信投入4个不同的信箱，共有_ 种不同的投法；,（2）4名学生争夺3项冠军，每项冠军只能由一人获得，则冠军归属有_种；,（3）将4个不同的球放入3个不同的盒子，共有_种不同的放法；,（4）3个不同元素的集合到4个不同元素的集合的映射的个数为_。,43,43,34,43,巩固提高,、个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是。,2、某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有种.,3、（改编题）由1，2，3，4可
12、以组成多少个自然数？（数字可以重复，最多只能是四位）,例3、用6张一角硬币，4张一元硬币，3张五元纸币，共能组成不同币值为多少种？,分析：一角纸币可以取0张，1张，2张6张,共7种取法；,共有7 54=140种不同取法，每种取法对应不同币值,又每种币值取0张，不能构成币值，故所求币值总数为140-1=139,同理：一元硬币有5种取法，五元纸币有4 种取法,例4、用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色。（1）共有多少种涂色方法？（2）若要求有公共边的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？,（2）分析：若1、4两个区域同色，则 此时，共有5414=80涂法；若1、4两个区域不同色，则1区域有5种涂法，2区域有4种涂法，4区域有3涂法，3区域有3种涂法，此时，共有5433=180种涂法。故共有80+180=260种涂法。,变形：如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种。,答案：72种,1区域有5种涂法，2区域有4种涂法，,
