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1、1.2.2,函数的表示法,课题,:,分段函数,问题提出,行进的,站数,1,2,3,4,5,6,7,8,9,票价,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1.5,1.5,1.5,某路公共汽车,行进的站数与票价关系如下表：,此函数关系除了用列表法之外,能否用图象法,和解析法表示？,可以用图象法表示：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1.5,1.0,0.5,O,x,y,0.5,1,2,3,1,4,5,6,1.5,7,8,9.,x,y,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,也可以用解析法表示：,分段函数,知识讲解,分段函数的定义：,分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是,几个函数，而是一个函数，
2、只是在定义域的,不同范围上取值时对应法则不同，分段函数,是普遍存在又比较重要的一种函数,如果函数,y,f,(,x,),，,x,A,，根据自变量,x,在定义域,A,中不同的取值范围，有着不同的,对应关系，这种函数通常称为分段函数,.,分段函数的定义域是各段上“定义域”的并,集，其值域是各段上“值域”的并集,命题方向,1,：分段函数的图象与解析式,例,1,(1),作,f,(,x,),x,|,x,|,x,的图象,(2),如图，根据函数,y,f,(,x,),的图象，写出它的,解析式,解,(1),f,(,x,),?,?,?,?,?,x,1,?,x,0,?,，,x,1,?,x,0,?,，,图象如图,命题方
3、向,1,：分段函数的图象与解析式,例,1,(1),作,f,(,x,),x,|,x,|,x,的图象,(2),如图，根据函数,y,f,(,x,),的图象，写出它的,解析式,解,(2),当,0,x,1,时，,f,(,x,),2,x,；,当,1,x,2,时，,f,(,x,),2,；,当,x,2,时，,f,(,x,),3.,故,f,(,x,),?,?,?,?,?,?,?,2,x,，,0,x,1,，,2,，,1,x,2,，,3,，,x,2.,说明：,1.,由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不,同，因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚,问题,2.,根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每,一段的解析式
4、，然后写成分段函数的形式,变式训练,1,已知,f,(,x,),?,?,?,?,?,x,2,，,1,x,1,，,1,，,x,1,或,x,1.,(1),画出,f,(,x,),的图象；,(2),求,f,(,x,),的定义域和值域,解：,(1),利用描点法，作出,f,(,x,),的图象，如图所示,(2),由条件知，函数,f,(,x,),的定义域为,R.,由图象知，当,1,x,1,时，,f,(,x,),x,2,的值域为,0,1,，,当,x,1,或,x,1,时，,f,(,x,),1,，,所以,f,(,x,),的值域为,0,1,命题方向,2,：分段函数的求值,学法指导：,分段函数的求值,设分段函数,f,(,
5、x,),?,?,?,?,?,f,1,?,x,?,，,x,I,1,，,f,2,?,x,?,，,x,I,2,.,已知,x,0,，求,f,(,x,0,),；,判断,x,0,的范围，即看,x,0,I,1,，还是,x,0,I,2,；,代入相应解析式求解,例,2,设函数,f,(,x,),?,?,?,?,?,x,2,1,，,x,1,，,2,x,，,x,1,，,则,f,(,f,(3),(,),A.,1,5,B,3,C.,2,3,D.,13,9,解析,当,x,3,1,时，,f,(3),2,3,1,，,f,(,f,(3),f,?,?,?,?,?,?,2,3,?,?,?,?,?,?,2,3,2,1,13,9,.,答
6、案,D,说明：,1.,分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所,在的范围，代入相应的解析式求得若题目含有,多层“,f,”，应按“由里到外”的顺序层层处理,2.,如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类,讨论的思想,变式训练,2,已知,f,(,x,),?,?,?,?,?,x,1,?,x,0,?,?,x,0,?,0,?,x,0,?,，求,f,(,f,(,f,(,3),解析：,30,，,f,(,3),0,，,f,(,f,(,3),f,(0),，,又,0,，,f,(,f,(,f,(,3),f,(),1,，,即,f,(,f,(,f,(,3),1.,命题方向,3,：分段函数的方程和不等式,学法指导：,分段
7、函数的方程和不等式,设分段函数,f,(,x,),?,?,?,?,?,f,1,?,x,?,，,x,I,1,，,f,2,?,x,?,，,x,I,2,.,(1),已知,f,(,x,0,),a,，求,x,0,：,f,(,x,0,),a,?,?,?,?,?,?,x,0,I,1,，,f,1,?,x,0,?,=,a,，,或,?,?,?,?,?,x,0,I,2,，,f,2,?,x,0,?,=,a,.,(2),解不等式,f,(,x,),a,：,f,(,x,),a,?,?,?,?,?,?,x,I,1,，,f,1,?,x,?,a,，,或,?,?,?,?,?,x,I,2,，,f,2,?,x,?,a,.,例,3,已知函
8、数,f,(,x,),?,?,?,?,?,x,2,1,?,x,0,?,，,2,x,?,x,0,?,，,(1),若,f,(,x,),10,，则,x,_.,(2),若,f,(,x,),10,，则,x,_.,解析,(1),f,(,x,),10,?,?,?,?,?,?,x,0,，,x,2,1=10,，,或,?,?,?,?,?,x,0,，,2,x,=10,，,?,?,?,?,?,?,x,0,，,x,=,3,，,或,?,?,?,?,?,x,0,，,x,=,5,，,?,x,=3,或,x,=,5,.,例,3,已知函数,f,(,x,),?,?,?,?,?,x,2,1,?,x,0,?,，,2,x,?,x,0,?,，
9、,(1),若,f,(,x,),10,，则,x,_.,(2),若,f,(,x,),10,，则,x,_.,解析,(2),f,(,x,),10,?,?,?,?,?,?,x,0,，,x,2,1,10,，,或,?,?,?,?,?,x,0,，,2,x,10,，,?,?,?,?,?,?,x,0,，,3,x,3,，,或,?,?,?,?,?,x,0,，,x,5,，,?,0,x,3,或,5,x,0,?,5,x,3,.,变式训练,3,已知函数,f,(,x,),?,?,?,?,?,?,?,x,1,，,x,2,，,x,2,2,x,，,2,x,2,，,2,x,1,，,x,2.,(1),求,f,(,5),，,f,(,3),
10、，,f,(,f,(,5,2,),的值；,(2),若,f,(,a,),3,，求实数,a,的值；,(3),若,f,(,m,),m,(,m,2,，或,m,2),，求实数,m,的取值,范围,解析,(1),由,5,(,，,2,，,3,(,2,2),，,5,2,(,，,2,，知,f,(,5),5,1,4,，,f,(,3),(,3),2,2(,3),3,2,3.,f,(,5,2,),5,2,1,3,2,，而,2,3,2,2,，,f,(,f,(,5,2,),f,(,3,2,),(,3,2,),2,2,(,3,2,),9,4,3,3,4,.,(2),当,a,2,时，,a,1,3,，,即,a,2,2,，,不合题意
11、，,舍去当,2,a,2,时，,a,2,2,a,3,，即,a,2,2,a,3,0.,所以,(,a,1)(,a,3),0,，得,a,1,，或,a,3.,1,(,2,2),，,3,?,(,2,2),，,a,1,符合题意,当,a,2,时，,2,a,1,3,，即,a,2,符合题意,综上可得，当,f,(,a,),3,时，,a,1,，或,a,2.,(3),f,(,m,),m,?,?,?,?,?,?,m,2,，,m,1,m,，,或,?,?,?,?,?,m,2,，,2,m,1,m,?,m,2,，或,?,?,?,?,?,m,2,，,m,1,?,m,2,，或,m,2.,所以，,所求,m,的取值范围是,(,，,2,2
12、,，,),命题方向,4,：分段函数的应用,例,4,如图，在边长为,4,的正方形,ABCD,的边上有,一点,P,，沿折线,BCDA,由点,B,(,起点,),向点,A,(,终点,),运动，设点,P,运动的路程为,x,，,APB,的面积为,y,.,(1),求,y,关于,x,的函数关系式,y,f,(,x,),；,(2),画出,y,f,(,x,),的图象；,(3),若,APB,的面积不小于,2,，,求,x,的取值范围,解析,(1),y,?,?,?,?,?,?,?,2,x,?,0,x,4,?,8,?,4,x,8,?,2,?,12,x,?,?,8,x,12,?,.,(2),y,f,(,x,),的图象如图所示,(3),即,f,(,x,),2,，当,0,x,4,时，,2,x,2,，,x,1,，,当,8,x,12,时，,2(12,x,),2,，,x,11,，,x,的取值范围是,1,x,11.,点评,(3),可以作直线,y,2,与函数,y,f,(,x,),的图,象交于点,A,(1,2),，,B,(11,2),，要使,y,2,，应有,1,x,11.,
