排队论对眼科病床安排的应用—数学建模优秀论文.doc

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1、排队论对眼科病床安排的应用摘要医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象。它每天以这样或那样的形式出现在我们面前。由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的。如果医院增添服务人员和病床数,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少病床数,患者排队等待时间会加长,对患者和社会带来不良影响。因此，医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡。我们建立了模型1、模型2、模型3以及最终模型对某医院的眼科病床作出合理安排，提高了医院服务质量,降低了服务费用。模型1：M/M/c排队模型。按照以人为本的服务理念，以平均等待时间、排队长为主要标志建立模型，较好的解决了等待时间较长、排队长数值较大的问题。此模型不足

2、在于，未考虑到各类病种入院服务的优先级别、手术安排、准备时间等因素，可行性较低。因此，我们建立了模型2对模型1进行了优化。模型2：非强占优先制排队模型。根据数据由模型2的解得到各病种入院服务的优先级别。即当出现空床位时，应当按外伤、白内障（单眼）、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病等级顺序安排住院。此模型不足之处在于未考虑到手术安排、准备时间等因素，无法满足现实需求。因此，我们建立了模型3对模型再次优化。模型3：排队论优化。此模型较好的解决了如何在医院成本与患者治疗损失之间取得平衡的问题，此模型不足在于无法考虑手术安排、准备时间等因素。因此，我们综合三种模型得到最终模型。最终模型：1按照先到先

3、服务的原则安排住院，当发生2中情形时可以不遵循；2.当出现空床位时，应当按外伤、白内障（单眼）、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病等级顺序安排住院；3由于要调整白内障患者的手术时间，从原来的只有周一和周三手术调整为周一和周四手术，从而使白内障患者不至于等待时间过长；4.青光眼、视网膜疾病可以在任意一天内进行手术。关键词：排队论 以人为本 平均等待时间 服务时间 逗留时间 排队长 优先级别权限 。 问题重述该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内

4、障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼

5、科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安

6、排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。问题分析医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象。由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的。在给出问题中，亦是排队问题的一种体现。如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响。因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用。这就是我们要考虑的问题。评价

7、和优化医院排队系统,需要通过一定的数量指标来反映。建立医院排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、病床利用率与排队长。 根据给出的数据我们可以得到以下几个图：图（1） 病床利用率等待时间（天）外伤等待时间（人*天）视网膜疾病等待时间（人*天）白内障等待时间（人*天）白内障(双眼)等待时间（人*天）青光眼等待时间（人*天）总计155000055100201010307011013288666635212046825240818013081303513904161301287140266126126425601503030030901600160016总计5512679121026478373

8、8平均等待时间112.544512.6666712.512212.2564110.7106表（1） 等待时间表天数排队总人数平均排队长151107.857143表（2）平均排队长表 由以上可以知道医院现用的排队模型存在：1优势系统稳定后病床利用率高，即医院资源利用率高、效益好。2 劣势患者平均等待时间长，排队长值较大。模型假设1 假设不相重叠的时间区间内患者到达是互相独立的；2 假设对充分小的时间间隔内有1个患者到达的概率与时间无关且与时间长度成正比；3 假设对于充分小的时间区间内，有2个或2个以上患者到达的概率极小，以致可以忽略；4 假设门诊容量无限；5 假设单位时间内没有手术服务次数限制；

9、符号说明 患者平均到达率，表示单位时间内来到服务系统的平均患者数；1/ 相邻两个患者到达系统的平均间隔时间； 平均服务率，表示单位时间能够被服务完成的平均患者数；1/ 每个患者的平均服务时间。 服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间。Ls 队长，即系统中的患者的平均数；Lq 排队长，即在系统中排队等待的患者的平均数；Ws 患者在系统内平均停留的时间；Wq 患者在系统中平均排队等待的时间；、C 服务台的个数；P（x）变量小于或等于x的概率。模型建立I.模型预测1根据已知我们可以分析得到患者到达医院后的流程图： 图（2）病人入院后一定占有一张病床，故我们可以将病床视为医院服务台，在数据中病

10、床数为79，即c=79，因此医院服务为多台服务。2. 患者到达的过程，来医院就医的患者，因为每个人生病是互不影响的，所以患者一般不会相约一起来，故一位顾客的到达相对于另外的顾客的到达时独立的，没有关系的。医院通过调查又了解到患者到达医院的时间是随机的，有一个患者到达的概率与某一时刻t无关，但与时间的间隔长度有关，即在较长的时间间隔里有一位患者到达的概率也较大，并且当时间间隔t充分小时，有一位患者到达的概率与t的长度成正比例。并了解到在充分小的时间间隔里有两位患者同时到的概率极小，可以忽略不计。这些特征正好满足了泊松分布的三个条件，也就是说医院的患者到达过程形成了泊松流。运用泊松概率分布函数，知

11、道在单位时间里有x个患者到达的概率 P（x）= （x=0，1，2，. . . . .）,这里x为单位时间到达的患者数，为单位时间平均到达的患者数。1根据数据求得：=总人数/时间=349/53= 6.5849根据数据得到到达概率分布：到达人数个数概率040.074074140.074074250.092593320.037037440.074074530.055556670.12963740.074074830.055556950.0925931020.0370371130.0555561240.0740741310.0185191410.0185191510.0185191610.018519

12、 表（3） 患者到达概率分布表写出程序：x=0:1:16;y=0.074074, 0.074074, 0.092593, 0.037037, 0.074074, 0.055556, 0.12963, 0.074074, 0.055556, 0.092593, 0.037037,0.055556, 0.074074, 0.018519, 0.018519, 0.018519, 0.018519;plot(x,y)输入matlab7.0得到图 图（3）在matlab7.0中输入x=0:1:16;y=0.074074, 0.074074, 0.092593, 0.037037, 0.074074,

13、0.055556, 0.12963, 0.074074, 0.055556, 0.092593, 0.037037,0.055556, 0.074074, 0.018519, 0.018519, 0.018519, 0.018519;load xyplot(xy(:,1),xy(:,2);hold on;plot(xy(:,1),( 6.5849).(xy(:,1)*exp(-6.5849)./gamma(xy(:,1)+1)将图（3）拟合得到： 图（4）将= 6.5849代入泊松分布检验方程：在matlab7.0中输入：x=0:1:16;y=0.074074, 0.074074, 0.092

14、593, 0.037037, 0.074074, 0.055556, 0.12963, 0.074074, 0.055556, 0.092593, 0.037037,0.055556, 0.074074, 0.018519, 0.018519, 0.018519, 0.018519;load xyplot(xy(:,1),xy(:,2);hold on;plot(xy(:,1),( 6.5849).(xy(:,1)*exp(-6.5849)./gamma(xy(:,1)+1)hold onr=6.58;for x=0:15p(x+1)=rx*exp(-r)/gamma(x+1);endplot

15、(p)得到拟合曲线与泊松分布对比图图（5） 由图（5）知患者到达概率服从泊松分布。待添加的隐藏文字内容33.服务时间是指患者开始入院到出院完成所花费的时间，由于每位患者病情不同，又存在很多影响医院对患者治疗的随机因素，服务时间也是一个变量，一般来说负指数概率能较好地描述一些跑对系统里的服务时间的概率分布情况埋在负指数概率分布里，服务时间小于或等于时间长度t的概率 P(服务时间t)= 2这里为单位时间里出院的平均患者数 。根据数据求得=出院总人数/总时间=349/54=6.462963服务时间概率表： 服务时间（天）人数概率P（服务时间）390.0257880.0257879664160.045

16、8450.0716332385330.0945560.1661891126410.1174790.2836676227380.1088830.3925501438280.0802290.472779379290.0830950.55587392610370.1060170.66189111711360.1031520.7650429812230.0659030.83094555913220.0630370.89398280814150.042980.9369627511580.0229230.9598853871690.0257880.9856733521730.0085960.9942693

17、411820.0057311表（4）服务时间概率表在matlab7.0中输入服务时间概率和变化图得到服务时间概率和变化图图（6）将=6.462963代入 P(服务时间t)= 在matlab7.0中输入u=6.462962963;for t=3:18 p(t)=1-exp(-u*t);endplot（p）hold onx=3:1:18;y=0.025787966, 0.071633238, 0.166189112, 0.283667622, 0.392550143, 0.47277937, 0.555873926, 0.661891117, 0.76504298, 0.830945559, 0.

18、893982808, 0.936962751, 0.959885387, 0.985673352, 0.994269341, 1;plot(x,y)得到负指数分布与服务时间概率和变化（图（10）的比较图图（7）由上图可知服务时间概率是服从负指数概率分布的，因此根据数据建立M/M/c排队模型。.模型1 M/M/c排队模型3在M/M/c模型里,其到达过程为泊松分布,每个服务台的服务时间分布为同样的负指数分布,排队的长度和顾客的来源都无限制,其排队原则为只排一个对,先到先服务,当其中一个服务台有空时,排在第一个的顾客就迎上去接受服务.我们假设系统的平均顾客到达率为,每个服务台的平均服务率都为,有c个

19、服务台,这样可知c个服务台的总的平均服务率为c,像单服务台的模型那样,我们认定c时,得到如下的计算数量指标的公式:(1)系统里没有顾客的概率 Po= .(2)平均的排队顾客数 Lq= .(3)在系统里的平均顾客数 Ls=Lq+ .(4) 一位顾客花在排队上的平均时间 Wq= .(5)一位顾客在系统里的平均逗留时间 Ws=Wq+ .(6)顾客到达系统时,得不到及时服务,必须排队等待服务的概率 Pw= .(7)在系统里正好有n个顾客的概率 Pn = Pn= 模型1中没有考虑到外伤优先权等因素，因此建立模型2优化模型1。III模型2非强占优先制排队模型4在给出数据各患病种类是在服务优先权上是分等级的

20、，假定将患者划分为N个等级，第1级享有最高优先权，第2级享有次高优先权，低N级享有最低优先权。对具有优先权的患者可分为(1)强占优先；（2）非强占优先；（3）共同占有；（4）反馈作用等。为第级患者的到达率，（因患者按泊松流到达，故系统的到达率为），为第级患者的平均服务率，为第级患者所需服务时间，S为系统的服务时间。那么记 ，由于第1第N级顾客均是相互独立的泊松流，股灾任何时刻到达系统的患者属于第 级（)的概率为，由此可见，系统的平均服务时间其中 为系统的业务量。当获有优先权的顾客到达系统时，发现服务正忙着，他不能强在服务窗，而只能排在无优先权顾客或比他次一级优先权顾客面前排队等待服务，先假定到

21、达的是第1级顾客，那么他在系统中所用的平均等待排队时间由两部分组成：1. 正在排队等待服务的所有第1级顾客平均服务时间之和。记排队等待 服务的第1级顾客平均人数为Lq1，则该顾客占用的总时间。 其中Wq1是第1级顾客的平均排队等待时间。2. 等待正在服务的服务窗空出来的平均时间，它应为可得整理后有 (7.1.1)其中为服务窗属于服务时间的值，因为所有各级顾客都要经过服务窗服务，新到达顾客遇到占用服务窗的顾客可以是任何一级的顾客，故在计算时应根据系统的服务时间分布来计算，设系统的平均服务时间为，方差，那么将其代入式（7.1.1），得其次，设新到顾客属于级优先权，那么，他的等待时间由下述三部分组成

22、：1.正在排队等待服务的第1-级顾客的平均服务时间之和Ti，设第i（1i）个级顾客平均排队等待人数为Lqi，则其接受服务的总时间 ，于是平均服务时间之和 （7.1.4）此处，Wqi是第i级顾客的平均排队等待时间。等待正在服务的服务窗空出来的平均时间 （7.1.5） 3.在新到的级 顾客排队等待期间，陆续到达的第1-i级顾客优先插队造成的平均耽误时间之和T3。由于新到级顾客所需要排队等待平均时间为Wl，在此时间内，第i级顾客到达的平均人数为,其需要的平均服务时间为 ，故（7.1.6）联合式（7.1.4）（7.1.6）有模型2未能考虑到白内障手术时间限制的因素故此建立模型3进一步优化模型IV模型3

23、排队论优化5系统中顾客最大限制数为N的情形在这种情形下,系统中如已有N个顾客,则后来的顾客即被拒绝,于是Pn即为被拒绝的概率(借用电话系统的术语,称为呼叫率).Pn即为能被接受服务的概率.(1-Pn)即为单位时间实际进入服务机构顾客的平均数,在稳定状态下,它也等于单位时间内实际服务完成的平均顾客数.设没服务一人能收入元，于是单位时间收入的期望值是（）元纯利润求，并令得最优的解应合于上式上式中，都是给定的但要由上式解出是很困难的通常是通过数值计算来求的，或将上式左方（对一定的）作为的函数做出图形从图形上直接观察V最终模型 即是模型1、模型2、模型3的综合。模型求解数据声明：采用数据为文件名为B2

24、009.doc的文件中附录部分（2008-07-13到2008-09-11的病人信息）.模型1：(1)系统里没有顾客的概率 Po= .(2)平均的排队顾客数 Lq= .(3)在系统里的平均顾客数 Ls=Lq+ .(4) 一位顾客花在排队上的平均时间 Wq= .(5)一位顾客在系统里的平均逗留时间 Ws=Wq+ .(6)顾客到达系统时,得不到及时服务,必须排队等待服务的概率 Pw= .(7)在系统里正好有n个顾客的概率 Pn = Pn= 有数据可以得到 =总人数/时间=349/53= 6.5849； =出院总人数/总时间=349/54=6.462963； c=病床数=79；将以上代入可解得一下数

25、据P0LqLsWqWsPw0.2462772.3067423.0604650.3505690.4651160.753723表（5）由表（5）可知，排队长数值明显减小，逗留时长数值明显减小，医院服务系统运行更加快速。模型2：联合式（7.1.4）（7.1.6）有整理后得到上式表明，级优先权患者的平均等待时间Wq1主要取决于优先权较高的业务量。当所有顾客中大部分有优先权时，则有有优先权的患者平均等待时间并不会缩短，反而使平均等待时间加以延长。当(1iN)中较大者作为优先级，则会延长所有顾客的平均等待时间，反之，若将作为优先级，则会延长所有患者的平均等待时间，反之若将中较小者作为优先级，则所有患者的平

26、均等待时间将缩短。 且由数据统计得：服务时间（天）外伤（人数）视网膜疾病（人数）白内障（人数）白内障(双眼)（人数）青光眼（人数）30090042014005120201061001515179291808112492957197103110121111313010101201406313018022140120031508000160900017030001802000 表（6） 服务时间人次表通过统计学方法解得： 外伤均服务时间（天）视网膜疾病平均服务时间（天）白内障平均服务时间（天）白内障(双眼)平均服务时间（天）青光眼平均服务时间（天）平均服务时间（天）7.03636412.54455

27、5.2361118.56097610.48718 表（7） 由上表结合给出条件可知各病种住院服务优先级应该为：住院服务优先级别第1级第2级第3级第4级第5级病种外伤白内障白内障(双眼)青光眼视网膜疾病 表（8） 由上表可知，当出现空床位时，应当按外伤、白内障、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病等级顺序安排住院。模型3：设没服务一人能收入元，于是单位时间收入的期望值是（）元纯利润求，并令得=总人数/时间=349/53= 6.5849；=出院总人数/总时间=349/54=6.462963；求得以下三图：6 图（8）由上图可知，存在使得患者等待成本（时间）与医院成本之和最小的点。7 图（9）上图为的

28、函数图，由上图可知N越大值越小II.最终模型：由上并根据已知条件可知：由于白内障手术时间受限导致整个系统中患者准备时间过长，使得等待住院的人数剧增，导致整个系统无法正常运行，为此我们要对该模型进行优化。1原则按照门诊顺序安排住院，当发生2情形时可以不遵循；2.当出现空床位时，应当按外伤、白内障、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病等级顺序安排住院；3.由于要调整白内障患者的手术时间，从原来的只有周一和周三手术调整为周一和周四手术，从而使白内障患者不至于等待时间过长；4.青光眼、视网膜疾病可以在任意一天内进行手术。模型检验及问题解答 由模型求解可以给出题中各问题的答案。问题一：根据给出的数据我们可

29、以得到以下几个图： 图（10） 病床利用率等待时间（天）外伤等待时间（人*天）视网膜疾病等待时间（人*天）白内障等待时间（人*天）白内障(双眼)等待时间（人*天）青光眼等待时间（人*天）总计155000055100201010307011013288666635212046825240818013081303513904161301287140266126126425601503030030901600160016总计55126791210264783738平均等待时间112.544512.6666712.512212.2564110.7106表（9） 等待时间表天数排队总人数平均排队长151

30、107.857143表（10）平均排队长表 由图（10）、表（9）、表（10）可以知道医院现用的排队模型存在：1优势系统稳定后病床利用率高，即医院资源利用率高、效益好。2劣势患者平均等待时间长，排队长数值较大。问题二、问题三：所求模型为最终模型。根据数据为文件名为B2009.doc的文件中附录部分（2008-07-13到2008-09-11的病人信息）第二部分患者信息，按照本文最终模型计算得到以下出院安排表：序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1视网膜疾病2008-8-152008-8-292008-8-31/2008-9-102视网膜疾病2008-8-162008-8

31、-292008-8-31/2008-9-103白内障(双眼)2008-8-192008-9-12008-9-82008-9-102008-9-127白内障(双眼)2008-8-192008-9-12008-9-82008-9-102008-9-124青光眼2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-125视网膜疾病2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-146视网膜疾病2008-8-192008-9-12008-9-4/2008-9-148视网膜疾病2008-8-192008-9-22008-9-4/2008-9-1410白内障(双眼)2008-

32、8-192008-9-32008-9-82008-9-102008-9-1211白内障(双眼)2008-8-192008-9-32008-9-82008-9-102008-9-129视网膜疾病2008-8-192008-9-32008-9-5/2008-9-1512视网膜疾病2008-8-192008-9-32008-9-5/2008-9-1513白内障2008-8-192008-9-42008-9-8/2008-9-1019白内障(双眼)2008-8-202008-9-42008-9-82008-9-102008-9-1214视网膜疾病2008-8-192008-9-42008-9-6/20

33、08-9-1615视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1616视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1617视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1618视网膜疾病2008-8-202008-9-42008-9-6/2008-9-1621白内障(双眼)2008-8-222008-9-52008-9-82008-9-102008-9-1222白内障(双眼)2008-8-222008-9-52008-9-82008-9-102008-9-1226白内障(双眼)2008-8-23200

34、8-9-52008-9-82008-9-102008-9-1272外伤2008-9-42008-9-52008-9-6/2008-9-1224青光眼2008-8-232008-9-52008-9-7/2008-9-1525青光眼2008-8-232008-9-52008-9-7/2008-9-1520视网膜疾病2008-8-212008-9-52008-9-7/2008-9-1723视网膜疾病2008-8-222008-9-52008-9-7/2008-9-1728白内障(双眼)2008-8-232008-9-62008-9-82008-9-102008-9-1229白内障(双眼)2008-8

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36、08-9-1330青光眼2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1736青光眼2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1739青光眼2008-8-252008-9-62008-9-9/2008-9-1727视网膜疾病2008-8-232008-9-62008-9-9/2008-9-1931视网膜疾病2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1933视网膜疾病2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1934视网膜疾病2008-8-242008-9-62008-9-9/2008-9-1937视网膜

37、疾病2008-8-252008-9-62008-9-9/2008-9-1938视网膜疾病2008-8-252008-9-62008-9-9/2008-9-1943白内障2008-8-262008-9-72008-9-8/2008-9-1041白内障(双眼)2008-8-252008-9-72008-9-82008-9-102008-9-1244白内障(双眼)2008-8-262008-9-72008-9-82008-9-102008-9-1276外伤2008-9-62008-9-72008-9-8/2008-9-1442视网膜疾病2008-8-262008-9-72008-9-9/2008-9

38、-1945视网膜疾病2008-8-262008-9-72008-9-9/2008-9-1948白内障2008-8-272008-9-82008-9-10/2008-9-1246视网膜疾病2008-8-272008-9-82008-9-11/2008-9-2147视网膜疾病2008-8-272008-9-82008-9-11/2008-9-2149视网膜疾病2008-8-272008-9-82008-9-11/2008-9-2152白内障2008-8-282008-9-92008-9-10/2008-9-1277外伤2008-9-82008-9-92008-9-10/2008-9-1650白内障(双眼)2008-8-272008-9-92008-9-152008-9-172008-9-1959青光眼2008-8-282008-9-92008-9-11/2008-9-1951视网膜疾病2008-8-282008-9-92008-9-11/2008-9-2178外伤2008-9-92008-9-102008-9-11/2008-9-1779外伤