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1、有关除环上幂等矩阵的秩 的等式的探讨 杨英媛（莆田学院数学系 指导老师：杨忠鹏）摘要：本文主要是探讨了除环上两个幂等矩阵的和、差、乘积的秩等式，得出了一个新的秩等式在域上也成立；同时也探讨了，假设系数为除环的中心时，除环上幂等矩阵的线性组合在与时的秩等式；在这篇文章中主要使用的方法是：标准型方法和矩阵分块技术以及分块矩阵高斯消元法。关键词：除环 中心 幂等矩阵 线性组合 秩等式Abstract:This paper mainly studys the rank identities of two idempotent matricessum,difference or product on d
2、ivision ring.Let coefficients are in the center of division ring,this paper also mainly studys the rank identities of idempotent matriceslinear combination when characteristic is two or not on division ring.In this paper,it is mainly studied by applying standard methods,block matrix technology and b
3、lock Gaussian elimination.Keywords: Division ring The center Idempotent matrice Linear combination Rank identities 0 符号说明及引言早在20世纪六十年代初，著名数学家华罗庚,万哲先院士在其专著序中就明确指出:“除环上的矩阵是一个值得注意的对象,因为它是一个不太失去普遍性的抽象事物,但同时又和成果丰富的具体的域上的矩阵距离不远.”除环上的矩阵理论属于非交换代数，它不可交换，无零因子，具有特征。因此不能用域上的矩阵理论去研究除环上的幂等矩阵。为了后面的写作方便，首先进行符号说明. :
4、除环上的阶矩阵 :除环的中心:除环上n阶幂等矩阵的集合 文3在文4已有的秩等式推广到了除环上，应用新的方法和技术来研究除环上幂等矩阵秩等式。文2采用标准型方法和矩阵的分块技术建立了除环上关于幂等矩阵秩的几个等式。本文也借鉴采用标准型方法和矩阵的分块技术方法。 文5给出域上的两个幂等矩阵的线性组合的秩等式，但没有证明。文6利用矩阵的核子空间及线性空间的同构的有关性质探讨了域上的幂等矩阵线性组合的秩等式。文7在文4的基础上证明了一些新的有趣的秩等式，通过它们给出了是可逆矩阵的一些充要条件，同时也涉及探讨了域上的幂等矩阵线性组合的秩等式。由于除环上元素的不可交换性，定义了除环的中心，除环的中心与除环
5、上的每个元素都可交换。本文假设系数为除环的中心，探讨了幂等矩阵的线性组合在的秩等式。 本文主要采用标准型方法和矩阵的分块技术得出除环上幂等矩阵的一个新的秩等式，在域上同样成立;采用分块矩阵高斯消元法探讨幂等矩阵的线性组合在的秩等式。1 预备定理引理设则存在可逆矩阵，使得，引理：设则 证明:这是引理1的自然结果.引理： 的分块矩阵，其中则 ，其中，的任意广义（1）逆，即为的一个解，类似有的一个广义（1）逆。引理：设则 ；引理：设则下述结论成立： （i） (ii) 引理: 设 则 引理: 设 则 引理：设 则 引理9：若是除环上幂等矩阵，则也是除环上的幂等矩阵。 证明：假设且,则,且所以即也是除环
6、上的幂等矩阵。引理：设引理11：设证明：在引理10中令代入便可得到引理12：若则 证明：由于，由引理4得到： = = 2 主要结果2.1 除环上幂等矩阵和、差，乘积的秩等式定理2.1.1：设且,则 （2.1）证明：由得一个广义逆，即，于是由引理3的结果知 (1)再由引理1，可设，其中为可逆阵，再设于是=从而由（1）知再由引理6知此等式在域上同样成立。定理2.1.2 若, (2.2)若时,则 (2.3)证明：由引理1知：若可设，其中为可逆阵，再设又且所以法一:由引理7知: ，用得到: 只要证出 便可又=所以.法二:实际上由于,则故证毕推论2.1.1：若，则 (2.4)证明:由引理4知：从而再由定
7、理2.1.2得到:推论2.1.2：若，则 (2.5)证明：由引理9知：若为除环上的幂等矩阵，则也为除环上的幂等矩阵。只要在定理2.1.2和推论2.1.1中用代替便可以得出结果。定理2.1.3：设则下述结论成立：（1） 若时， (2.6)（2） 若时， (2.7)证明：（1）当时，均有意义。对进行初等变换不改变矩阵的秩即由于= , （2） 由引理8:又知为的一个广义（1）逆，即所以 = （3）又(4)从而由（2）（3）（4）式得到 = (引理5知)(2)若时，对进行初等变换不改变矩阵的秩所以定理2.1.4：若，则(2.8)证明：在引理中令则可得 (5)又知也为幂等，再由推论2.1.2和引理12可
8、知： 代入（5）式便可得出（2.8）式。若时，令则同样成立。2.2除环的中心上幂等矩阵的线性组合的秩等式定义:称为除环的中心,若满足.定理2.2.1：如果,是除环上的非零数,且，则满足秩等式:1) 当 (2.9)2) 当若 若 ( 2.10)证明: 根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩对 ,有=,所以 （6）又= （7）1) 当,且=注意到所以故，再由引理5便知：说明只要与选取无关。2）当若明显若由（7）知= 又 进而由（6）可得： 证毕定理2.2.2：如果,是除环上的非零数,且，则满足秩等式:若时(1) （2.11）(2) （2.12）证明：(1):由于除环中心上矩阵进行初等变换不改变矩阵的
9、秩：取有所以另外有=令则 所以故即其中（2）对 有= 所以 (8)另外有又且所以 (9)令 则且， 所以 (10)联立（8）（9）（10）可得推论2.2.1：如果,是除环上的非零数,且，则满足秩等式:若时(1) （2.13）(2) （2.14）证明：（1）在上述定理2.2.2(1)中：令则 所以故即其中(2) 在上述定理2.2.2（2）中令 则且， 所以 (11)联立（8）（9）（11）可得定理2.2.3：如果,是除环上的非零数,且，则满足秩等式:1)当 （2.15） 2）当若 若 （2.16）证明:根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩对 ,有=,所以 又 （12） 2) 当,且=注意到所以故
10、， 说明只要与选取无关。所以2）当若明显若由（12）知= 结束语：本论文是在认真研究阅读文献123的文章之后，查阅大量相关资料的基础上，研究除环上幂等矩阵的秩等式。本文最大的亮点是把域上的幂等矩阵的秩等式推广到除环上。在这里，与分清讨论，定义了除环的中心，从而使系数与除环上的元素可交换。利用标准型方法和分块技术原理得到除环上幂等矩阵的一个秩等式，在域上也成立。也利用分块矩阵高斯消元法，探讨了除环上幂等矩阵线性组合的秩等式。本文不仅是原来研究内容的拓宽，研究程度的深入,在研究方法或所得结果都有创新之处。最重要的是此研究课题是几乎没有人涉及到的新问题,同时也得到了很多好的结论.本文只是研究两个幂等
11、矩阵在除环上的秩等式，还可以讨论它们的约当积，换位子的秩等式以及推广到个，这里有很大的研究空间。致谢：本论文是在导师杨忠鹏的悉心指导下完成的。导师严谨的治学态度，精益求精的工作作风，对我影响深远。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向杨忠鹏教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢数学系各老师的教育和帮助，感谢同组同学和班级同学的支持，在此表示深深的感谢。参考文献： 1Xiaoxia Feng.Zhongpeng Yang,The rank identities and its applications about the product and s
12、um of three matrices on arbitrary division ringJ,Proceeding of International Conference ofModelling and Simulation.ISBN 1-8462.20062 刘玉，曹重光，关于除环上矩阵秩的几个等式J安徽大学学报（自然科学版）2007.1第31卷第1期3 刘玉 关于幂等矩阵秩的一个等式J数学的实践与认识2007.7第37卷第13期4 Yongge Tian，George P.H. styan . Rank equalities for idempotent and involutory
13、matricesJ. Linear AlgebraAppl , 2001, 26 (335)：101-117. 5 Yongge Tian，George P.H. styan . Rank equalities for idempotent matrices with applicationsJ .Linear Algebra Appl， 2006(191)：77-97. 6 Zuo Ke-zheng. The nullity and rank of combinations of idempotent matricesJJ.of Math.(PRC)Vol.28(2008)No.67 左可正
14、 关于幂等矩阵与幂么矩阵的几个秩等式J湖北师范学院学报(自然科学版)2005.第25卷第3期8 杨忠鹏，柴华 任意除环上矩阵秩的恒等式J.北华大学学报（自然科学版）2008年8月第1卷第4期9庄瓦金 体上矩阵理论导引M科学出版社2006.110熊全淹 近世代数M 武汉，武汉大学出版社 1990.1211张禾瑞 近世代数基础M 北京 高等教育出版社 1978.312 刘永辉，郭文彬 关于除环上分块矩阵秩的等式J数学研究与评论，25(2)2005:376-38013谢帮杰 抽象代数学M. 上海,上海科学技术出版社, 1982.14王卿文.任意体上的双矩阵分解与矩阵方程J.数学学报，1996,39(3):39 6-40315屠伯勋.除环上矩阵的广义逆J1.数学学报,29(2)(1986)246-24816庄瓦金.体上矩阵的广义逆J1.数学杂志，1986,6( 1):10 5-112.
