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1、求极限的方法摘要 求数列和函数的极限是数学分析的基本运算。求极限的主要方法有用定义,四则运算,两边夹法则,函数连续性等。除这些常规方法外,还有许多技巧,这些技巧隐含在函数的相关理论中,对这些技巧进行探讨归纳,不仅有教材建设的现实意义,而且便于解决极限相关问题。在这里简单综述了一些常用的求极限的方法，目的在于大家更好地学习极限，并为以后的学习打下坚实的基础。关键词 极限 洛必达法则 重要极限 等价无穷小The limit of the methodAbstract For the sequence and function limit is the basic operation mathema
2、tical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not only have the pra
3、ctical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some commonly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundation. Key word Limit LH
4、ospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal 引言 极限是研究变量变化趋势的基本工具，数学分析中许多基本概念，如连续，导数，定积分，无穷级数都是建立在极限的基础上，极限方法又是研究函数的一种最基本的方法，因此学好极限在高等数学学习中具有重要意义。本文介绍了一些求极限的方法有：利用或定义求极限、函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展式求极限、微分中值定理、积分中值定理、夹逼准则等等。那么在运用这些方法时应该注意一些细节问题。在利用或定义，求解的关键在于不等式的建立，在求解过程中往往采用放大
5、、缩小等技巧。运用连续性求极限时，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。运用极限四则运算时，要注意分子分母有理化，当然对于简单的一类，直接代入，如果代入后分母为零，就化简，比如分解因式，然后代入其中。当极限形式中含有三角函数时，这时我们一般可通过三角公式恒等变换和等价变换，然后利用重要极限来求解。在运用重要极限求极限时，可通过配系数法、变量替换来转换成型极限。在利用等价无穷小量求极限，那就要求要先熟记几个替换了，如：，也要注意到只有对所求函数式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替换,而对于极限式中的相加或相减的部分则不能随便替换。而在运用
6、夹逼准则时，关键在于构建两个函数。在求极限的过程中，会经常发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。那我们在解题时，最常用的方法是洛必达法则，等价无穷小代换，两个重要极限公式在做题时，如果是分子或分母的一个因子部分，如果在某一过程中，可以得出一个不为0的常数值时，我们常用数值直接代替，进行化简。也可以用等价无穷小代换进行化简，化简之后再考虑用洛必达法则。对0/0和/型的，用洛必达法则，还有一些待定型函数的极限，先化为0/0或的再用此法则。求极限必须是在极限存在的前提下进行的，根据不同的形式可以选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得
7、求极限的方法更明了，算法更加简单。1 利用或-定义设为定义在,+）上的函数，为定数.若对人给的0，存在正数，使得当M时有：，则称函数当趋于+时，以为极限，记作： .1例1 求证.证明 = = +，先限制在点（2，1）的=1的方域：（x,y）|1，1内讨论，于是有 +45=+57,7+57（+）.设为任给的正数，取=min1，则当，（x,y）（2，1）时，就有： 7=14.用极限的定义时，只需要证明存在（或），故求解的关键在于不等式的建立，在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧.但是不能把含有（或）的因子移到不等式的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需要加入一些限制条
8、件.限制条件必须和所求的（或）一致，最后结合在一起考虑.2 利用导数的定义求极限设函数于上有定义，(,b)固定，则定义导数(x)为差商/的极限：(x)= =，如果(x)存在且有限，则称在点可导.2例2 求 .解 取=.则=,利用导数定义求极限时，要注意判断题目给的函数是否可导,若可导，就可以在于构造函数与.3 利用函数连续性求极限若函数在点处连续,则在点有极限,且极限值等于函数值.可以用连续性的一种推广定理：设复合函数是由函数，复合形成的，并且，则在处的极限存在且=.3例3 求.解 令=，则,当，于是有：= =,由此可见，利用连续性可以求复合函数不连续点处的极限，只要该函数满足定理条件.4 利
9、用定积分求几个和式的极限利用定积分求几个和式的极限时首先选好恰当的可积函数，取特殊的点，把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限，即是所求的极限等于在上的定积分，因此遇到求一些和式的极限时，若能将其分化为某个可积函数的积分和，就可以用定积分求此极限.例4 计算数列极限 （）解 将数列通项变形为 =+=，令，它是等分区间0，1，取区间的右端点构成的积分和。已知函数在0，1可积，于是由定积分求和式有=.5 利用函数极限的四则运算求极限利用函数极限的四则运算法则求极限是最基本、最直接的方法，但需注意的是各个函数的极限必须存在且分母的极限不能为零.有些情况下能直接利用极
10、限的四则运算法则，而有时我们无法直接利用极限的四则运算法则，这时就要求我们对所给的函数进行化简变形，之后再利用四则运算法则求解.例5 求 解 由于时，故无法直接用四则运算，应先化简原函数原式= =，对要求的函数进行适当变形和化简,常用的变形或化简有：分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换.6 利用两个重要极限求函数的极限灵活运用两个重要的极限: ，对所求的函数进行适当变形,将其变为与两个重要极限的形式相同,再求解.例6（1） 求.解 =.当极限形式中含有三角函数时，一般可通过三角公式恒等变换，然后利用重要极限来求解.例6（2）
11、 求，.解 当时，=1, 当时，此极限为型，且=,=，.对于这类求极限的题目，可以通过配系数法、变量替换，来转换成型极限，函数中含有幂指函数时，往往出现这种情形，这时可通过变换化成或的形式，再利用重要极限求解.7 利用等价无穷小量代替求极限例7 求.解 由于 ,时，,，,故有 =.在利用等价无穷小量求极限时应注意，只有对所求函数式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替换,而对于极限式中的相加或相减的部分则不能随便替换.如在上题中,若用 ,而推出 =,则得到的是错误的结果.8 利用洛必达法则求极限洛必达法则是以导数为工具研究不定式极限,只能对型和型的不定式极限直接使用, 其他待定型必须先化成这两
12、种类型之一，然后再应用洛必达法则.利用这种方法求解既简单又有效,但并不是任何比式极限都可以按洛必达法则来求解,需注意其条件极其繁琐程度. 对无穷小（大）进行降价处理，使得过未定式一步步的转化，最终分子或是分母中至少有一个不再是无穷小（大），这时就可以直接用极限的四则运算法则求出结果.4例8(1) 求 .解 令,易知、在点的领域内满足,且在的空心邻域内两者都可导,则，当用洛必达求解极限不存在时,不能说明原函数极限不存在.例8(2) 求极限.解 = ,但用洛必达法则时:,极限不存在.9 利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数收敛,利用该条件,可以求极限,而且利用此条件可以判断级
13、数的敛散性.对于级数收敛性有这样的一个推广定理：设数列，对n=1,2,及某一自然数p，满足：，则：的必要充分条件是.5例9 设数列一般项为：=+ ，其中，证明收敛，并求其极限.解 +- =-,=+=,令，则=,故由定理知：收敛，且.10 利用泰勒公式求极限在处理某些特殊函数（高阶函数或几种不同类型的初等函数的混用）的极限时,用其他方法会受到一定的限制或是计算过于繁琐,则可考虑用泰勒公展式（或麦克劳林公式）来求极限，但在运算过程中,必须注意高阶无穷小的运算及处理.例10 求极限解 因为分母是的阶无穷小，所以只需将分子中各函数展开到含项即可， , ,因此 = , .在运用泰勒公式时，将分母中各函数
14、在点按泰勒公式展开到第项，为使新分母不为0的最小项数，再化简得到新的分母，同时分子也如此展开到与分母具有同次幂的项止，化简得到新分子，然后再求极限.611 利用幂级数的展开式求极限 幂级数是一类最简单的函数项级数,可以看作是多项式函数的延伸，因此可以利用逐项求导、逐项求积分及将利用初等函数的幂级数展开式将复杂的多项式简单化,进而方便求其极限.例11 求.解 由题可得.12 利用拉格朗日中值定理求极限若函数满足：在连续 ，在可导；则在内至少存在一点，使： .7例12 求 . 解 ,=- .在运用此定理时，首先应确定连续函数，再找出范围.13 夹逼准则设,且在某内有,则.8应用夹逼准则时，要构造两
15、个函数，使得它们在点处的极限相等，而同时建立不等式使得在这两函数之间，此时极限就求得.例13 求 .解 当x0时,有,而 ,故由迫敛性可得: ,待添加的隐藏文字内容3另一方面,当时,有 ,故由迫敛性又可得: ,综上所述,我们可以得出: .14 单调有界性定理设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在.当，时其相应的单侧极限在其定义域内上述定理亦存在.9在运用此定理时，先确定定义域，再证明其单调性，然后就求极限.例14 设,证明:存在,并求之.证明 ,若,则 ,所以单调增加,且,于是由定理可知:存在,设,两边求极限,有:,即:,所以,= ,即 .16 柯西准则 设函数在内有定义,存在的充要条件是:
16、任给,存在正数,使得对任何,有：.10从定义出发，一般用于反正法，函数列中用的多，主要找准，然后作出的差.例16 求极限 .解 取,对任给,记,存在,使得 ,则由柯西准则可知:不存在.17 海涅定理（归结原理）设函数在内有定义,存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等.1此定理的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理,通常利用此定理的逆否命题来判断极限不存在.例17 求极限 .解 设,显然有,则,所以, ，则由归结原理可得:该极限不存在.结束语 以上所求函数极限的方法各有条件、各具特色,因此各种类型所采用的技巧方法都不尽相同,我们必须根据其条件来判断极限的类型,进而根
17、据类型来找到解决问题的方法。当然,有些题目有可能可以用多种方法来解决,此时,我们不可以死搬硬套,要从繁琐中找复杂,在复杂中找简单,而关于如何做到这一点,就必须在做题中不断总结、摸索、领悟各种方法的精髓,才能熟练而有灵活的掌握与运用各种求极限的方法。参考资料1 华东师大数学系.数学分析M.第三版.高等教育出版社.2001.6.2 欧阳光中.数学分析M.复旦大学出版社.2002.4.3 方明.如何利用连续性求极限J.贵州商专学报，1996.6,第2期：4546.4 冯志敏.使用洛必达法则的实质及其注意事项J.中国科技信息，2009.8，第15期：4446. 5 范钦杰.关于极限求法的进一步探讨J.松辽学刊，1990.2，第三期：2831.6 李怀林.一种用泰勒公式代换求极限的方法J.渭南师专学报，1995，第21期：68.7 张筑生.数学分析新讲M.北京大学出版社.2002.4.8 夏滨.探析夹逼准则在求极限中的应用J.读与写杂志，2009.11，第11期：76、125.9 毛钢源. 高等数学解题方法技巧归纳M.华中科技大学出版社.2010.4.10 陈纪修.数学分析习题全解指南M.高等教育出版社.2005.7.
