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1、4.4 时间反演分立对称性,一、牛顿力学的时间反演变换经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图若x(t)是牛顿方程的解，令t=-t,有x(-t)也是牛顿方程的解(时间反演:xx,dx/dt-dx/dt)可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。,二、电动力学的时间反演变换,Maxwell方程：Lorentz力：对t-t变换,若则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。即若上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：t-t，xx,v-v(p-p),EE,j-j,B-B,三、薛定谔方程的时间反演变换,对薛定谔方程，作时间反演：可见(x,-t)与(x,t)满足不同的方程对上式取复共轭，得
2、：可见对解(x,t)，有相应解*(x,-t)因(x)=，时间反演波函数由*给出,四、反幺正算符,若一对称操作使，从前遇到的情况为内积不变，相应对称操作以幺正算符表征对时间反演,波函数变为复共轭,应有定义：对变换,如果称为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符。,一般而言，反幺正算符可写成=UK，U为幺正算符，K为复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即 若|不是基矢,可展开为以|a为基矢的矢量:K的作用效果依赖于基矢的选取（故U也必与基矢选取有关）是反幺正的说明：是反线性的 是反幺正的,五、时间反演算符,时间反演态（运动反演态）：|如由上面讨论知，动量本征态|p的时间反演态:|p=|-p时间
3、反演算符的基本性质假设态矢具有时间反演对称性：得：-iH=iH，应为反幺正算符H=H,六、时间反演算符的运算,仅考虑从左边作用于右矢，和利用 及左右矢的对偶对应关系重要等式：这是因为对，有故,对厄米算符A，有若A-1=A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称由此，可得A在时间反演态的期望值：由，知 p-1=-p类似地,x-1=x,|x=|x从 亦可知J-1=-J,七、厄米算符的时间反演对称性,八、波函数的变化,由知：对球谐函数：可见：定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并，则相应波函数是实的。证:H|n=H|n=En|n,|n与|n相同,故=*注意：时间反演态的动量空间波函数为*(-p),
4、九、自旋1/2体系的时间反演,因(时间反演的效果)得由于有 所以：对无自旋体系2=1两者很不相同！,十、一般角动量体系的时间反演,由，得而故对任意|:此外，由于不妨约定（对自旋1/2体系，该约定对应于取）一般地可约定：注：相位约定依处理问题方便而定，但2=1与相位约定无关。,十一、球张量的时间反演性质,对若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理只要考虑q=0的分量即可。对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：；由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态=0，这对非宇称本征态亦成立,十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并,电荷在静电场中，V(x)=e(x),H,=0由于,U(t,t0)0,不存在量子数的时间反演守恒。但H,=0导致非简并态波函数为实数更重要的推论是Kramers简并。由于|n与|n同为H的本征态，若非简并，|n=ei|n.对j半整数体系，则-|n=|n=ei|n=|n,故|n与|n不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不相同。有外磁场时,H含 在时间反演下是奇的,H0,不存在Kramers简并,作业,4.7、4.8、4.10,
