浅谈数学中的有限与无限毕业论文设计.doc
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1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文浅谈数学中的有限与无限 Finite and infinite in College Mathematics 姓 名: 学 号:0907019116 学 院 科学技术学院 专 业:数学与应用数学 指导老师: 完成时间:2013年4月20日 浅谈数学中的有限与无限 【摘要】数学中有限和无限的关系体现了哲学中的辩证关系,本文将从具体的实例谈起如:定积分、数列极限公式、球表面积和体积公式的推导及结合率和分配率的使用。再将数学中的有限与无限从哲学的观点来体现,首先,本文讨论了数学中有限与无限的联系:无限是有限的基础,无限是由有限构成的;有限由无限组成;无限是有
2、限的延伸。有限与无限虽密不可分,但它们也有质的区别。其次,将会写到离了有限的超限数,如:就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体;就运算法则来说,超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的;就与现实的关系来说,超限数也是与有限数不同的。【关键词】有限;无限;联系;区别;超限数Finite and infinite in College MathematicsWang lian xue【Abstract】The mathematics of finite and infinite relations reflects the dialectical relationship of phil
3、osophy,in this paper we will start from the concrete examples such as: integral, sequence limit formula derivation, ball surface area and volume formula and collection rate and the use of rate.The mathematics of finite and infinite will be reflected from a view of philosophical point.First of all, t
4、his paper discusses the mathematics of finite and infinite connection:Infinity is the foundation of finity, and infinity is composed of finity;Infinity is the extension of finity .The finity and the infinity are inseparable, but they also have a qualitative difference.Secondly, we will write the tra
5、nsfinite number which if far away form finity,for exaple:On the part and the whole, ,the part can be equal to the whole for the transfinite numbers in terms of the part and the whole; transfinite numbers algorithm is different from limited numbers in terms of algorithm; transfinite number is differe
6、nt with finite number in terms of the relationship with reality too.【Key words】Limited; unlimited; relation; difference; transfinite number目录前言11. 例谈数式中有限与无限21.1 定积分21.2 数列极限的公式21.3 球表面积、体积公式的推导21.4 结合律和分配律的使用32 无限与有限的联系42.1 无限是有限的基础42.2 无限是由有限构成的42.3 有限由无限组成52.4 无限是有限的延伸62.4.1 数学归纳法62.4.2无穷远点73 有限与
7、无限的区别74 离了有限的超限数84.1 就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体94.2 就运算法则来说, 超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的94.3 就与现实的关系来说, 超限数也是与有限数不同的95 小结11参考文献12前言有这样一个故事,据说出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口。一天夜里已经很晚了,一个人走进一家旅馆想要住店。店主回答说:“对不起,我们没有任何空房间,但是让我看一下,或许我们能为您找到一个房间。” 然后店主离开了他的桌子,他不情愿地叫醒他的每位房客, 并且请他们换一换房间:1 号房间的房客搬到2 号房间,2 号房间的房客搬到3 号房间,依次类推,直到每位房客都
8、从一个房间搬到下一个房间为止。令这位迟来者感到吃惊的是,1 号房间竟然被空出来。他很高兴地搬进去,然后安顿下来过夜。但是,一个百思不得其解的问题使他无法入睡: 为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间,第一个房间就空出来了呢? 这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆,它是城里一个据认为有无数个房间的旅馆!这个故事说明了无限是作为有限的对立面而存在的,有限与无限有质的区别。贝尔指出,19 世纪的数学家已经认识到,“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论;没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析;没有数学分析,像现在大部分数学包括几何和大部分应用数学就不再存在了。”
9、可见,无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础。“自古以来,没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪,没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神。同时,也没有别的概念像它这样迫切需要澄清”1. 例谈数式中有限与无限1.1 定积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分,它们均来源于求曲多边形的面积方法大致为:分割、近似求和、取极限这里的分割是一种动态无限的过程在保证最大区间长度趋于零的条件下,分割而成的区间数目趋于无穷 从有限个矩形到无限块和,利用积分可以计算不规则图形面积例如:求由函数,直线,所围成的曲边梯形的面积。步骤如下:将区间a,b分成n个小区间(1),每个区间上任取一点,
10、以作为矩形的高,求出个矩形的面积并求和: =1.2 数列极限的公式 数列极限是极限的重要基础知识,其运算法则必须满足:若存在及存在,则存在,且=例如:如何计算?按照有限的计算法则,=0,显然这个例题的结论是错的,所以不能用有限个的运算法则来替代无限的运算此处有限和无限是无法统一于一个运算法则中数学极限公式中蕴含的无限思想,体现了无限是有限的延伸,但有限到无限是引起“质变”的。1.3 球表面积、体积公式的推导 球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用。 图一图二如图一所示, = =如图2,将球分割成份四棱锥,其体积=由上述球的体积公式,得:1.4 结合律和分配律的使用 大家都知道,这在
11、有限相加的世界里似乎没什么问题然而在无限相加的世界里,若把这种结合律再看成是正确的,那你就会铸成大错,不妨看下式如何计算:,假如数的加法可以任意结合,那么:=,好像不错,注意还可以这样用结合律:,也没有问题,这是推出的结论:就有大问题了,原因何在呢? 解释并不困难:结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确,它们在有限数学中的确是正确的,但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误所以说,有限到无限毕竟是引起了“质变”。2 无限与有限的联系2.1 无限是有限的基础 自然数有无穷多个,但没有最后一个,设想如果确实存在这种数,例如10000,那我们不但得忽略比10000 大的任何数,而结果超过1
12、0000 的所有计算(例如9999+2 或3000+8000)都变得“不合法”,换句话说,通常的计算技巧必须抛弃,数字计算的整个系统我们熟悉的计算规则,将会像一个用纸牌搭成的纸房子那样倒塌。所幸的是情况并非如此,我们总是把计数数的无限性当作一个公理,即当作一个其实效性可被认为理所当然的语句,如果以一种更正规的方式叙述,该公理可表述为:每个自然数n 都有一个后继数n+1。可见,有限的运算是建立在无限的基础保证之上的,无限就像一个个无孔不入的微尘充满在大气中, 不论喜欢不喜欢它,它都存在且帮着你。 在几何学中十分重要的“直线”概念,也是以类似假定为基础的:我们能够在两个方向上无限地延长直线至少在原
13、理上如此。在同一个平面内两条直线平行,我们是说它们永远不相交,没有交点。“平行”和“相交”没有无限作基础,很难说清楚,更难理解。甚至在像概率这样看起来“有限的”数学分支中,无限的概念也起着一种微妙的作用:当我们掷十次硬币时,可能会得到五次“正面”和五次“反面”,或者六次“正面”和四次“反面”,或者得到其它结果,但是当我们说到“正面”或“反面”的概率相等时,我们心照不宣地假定:当掷币的次数无限多时,就会产生相等的结果。2.2 无限是由有限构成的自然数无限多,但任何一个自然数却都是有限的。由一切有限的自然数构成一个无限的自然数集合,这看来矛盾,但实际上正是如此。现代的人谁也不会妄言自然数有限多,但
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