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1、江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文浅谈数学中的有限与无限 Finite and infinite in College Mathematics 姓 名： 学 号：0907019116 学 院 科学技术学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2013年4月20日 浅谈数学中的有限与无限 【摘要】数学中有限和无限的关系体现了哲学中的辩证关系，本文将从具体的实例谈起如：定积分、数列极限公式、球表面积和体积公式的推导及结合率和分配率的使用。再将数学中的有限与无限从哲学的观点来体现，首先，本文讨论了数学中有限与无限的联系：无限是有限的基础，无限是由有限构成的；有限由无限组成；无限是有
2、限的延伸。有限与无限虽密不可分，但它们也有质的区别。其次，将会写到离了有限的超限数，如：就部分和整体来说，对于超限数，部分可以等于整体；就运算法则来说，超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的；就与现实的关系来说，超限数也是与有限数不同的。【关键词】有限；无限；联系；区别；超限数Finite and infinite in College MathematicsWang lian xue【Abstract】The mathematics of finite and infinite relations reflects the dialectical relationship of phil
3、osophy,in this paper we will start from the concrete examples such as: integral, sequence limit formula derivation, ball surface area and volume formula and collection rate and the use of rate.The mathematics of finite and infinite will be reflected from a view of philosophical point.First of all, t
4、his paper discusses the mathematics of finite and infinite connection:Infinity is the foundation of finity, and infinity is composed of finity;Infinity is the extension of finity .The finity and the infinity are inseparable, but they also have a qualitative difference.Secondly, we will write the tra
5、nsfinite number which if far away form finity,for exaple:On the part and the whole, ,the part can be equal to the whole for the transfinite numbers in terms of the part and the whole; transfinite numbers algorithm is different from limited numbers in terms of algorithm; transfinite number is differe
6、nt with finite number in terms of the relationship with reality too.【Key words】Limited; unlimited; relation; difference; transfinite number目录前言11. 例谈数式中有限与无限21.1 定积分21.2 数列极限的公式21.3 球表面积、体积公式的推导21.4 结合律和分配律的使用32 无限与有限的联系42.1 无限是有限的基础42.2 无限是由有限构成的42.3 有限由无限组成52.4 无限是有限的延伸62.4.1 数学归纳法62.4.2无穷远点73 有限与
7、无限的区别74 离了有限的超限数84.1 就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体94.2 就运算法则来说, 超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的94.3 就与现实的关系来说, 超限数也是与有限数不同的95 小结11参考文献12前言有这样一个故事,据说出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口。一天夜里已经很晚了,一个人走进一家旅馆想要住店。店主回答说:“对不起，我们没有任何空房间,但是让我看一下,或许我们能为您找到一个房间。” 然后店主离开了他的桌子,他不情愿地叫醒他的每位房客, 并且请他们换一换房间：1 号房间的房客搬到2 号房间,2 号房间的房客搬到3 号房间,依次类推,直到每位房客都
8、从一个房间搬到下一个房间为止。令这位迟来者感到吃惊的是,1 号房间竟然被空出来。他很高兴地搬进去,然后安顿下来过夜。但是,一个百思不得其解的问题使他无法入睡： 为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间,第一个房间就空出来了呢？ 这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆,它是城里一个据认为有无数个房间的旅馆！这个故事说明了无限是作为有限的对立面而存在的,有限与无限有质的区别。贝尔指出,19 世纪的数学家已经认识到,“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论；没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析；没有数学分析,像现在大部分数学包括几何和大部分应用数学就不再存在了。”
9、可见,无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础。“自古以来,没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪,没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神。同时,也没有别的概念像它这样迫切需要澄清”1. 例谈数式中有限与无限1.1 定积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积方法大致为：分割、近似求和、取极限这里的分割是一种动态无限的过程在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷 从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积例如：求由函数，直线，所围成的曲边梯形的面积。步骤如下：将区间a，b分成n个小区间（1),每个区间上任取一点，
10、以作为矩形的高，求出个矩形的面积并求和： =1.2 数列极限的公式 数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则必须满足：若存在及存在，则存在，且=例如：如何计算？按照有限的计算法则，=0，显然这个例题的结论是错的，所以不能用有限个的运算法则来替代无限的运算此处有限和无限是无法统一于一个运算法则中数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的。1.3 球表面积、体积公式的推导 球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用。 图一图二如图一所示， = =如图2，将球分割成份四棱锥，其体积=由上述球的体积公式，得：1.4 结合律和分配律的使用 大家都知道，这在
11、有限相加的世界里似乎没什么问题然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错，不妨看下式如何计算：，假如数的加法可以任意结合，那么：=，好像不错，注意还可以这样用结合律：，也没有问题，这是推出的结论：就有大问题了，原因何在呢？ 解释并不困难：结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”。2 无限与有限的联系2.1 无限是有限的基础 自然数有无穷多个,但没有最后一个,设想如果确实存在这种数,例如10000,那我们不但得忽略比10000 大的任何数,而结果超过1
12、0000 的所有计算(例如9999+2 或3000+8000)都变得“不合法”,换句话说,通常的计算技巧必须抛弃，数字计算的整个系统我们熟悉的计算规则,将会像一个用纸牌搭成的纸房子那样倒塌。所幸的是情况并非如此，我们总是把计数数的无限性当作一个公理,即当作一个其实效性可被认为理所当然的语句,如果以一种更正规的方式叙述,该公理可表述为:每个自然数n 都有一个后继数n+1。可见，有限的运算是建立在无限的基础保证之上的,无限就像一个个无孔不入的微尘充满在大气中, 不论喜欢不喜欢它,它都存在且帮着你。 在几何学中十分重要的“直线”概念,也是以类似假定为基础的:我们能够在两个方向上无限地延长直线至少在原
13、理上如此。在同一个平面内两条直线平行,我们是说它们永远不相交,没有交点。“平行”和“相交”没有无限作基础,很难说清楚,更难理解。甚至在像概率这样看起来“有限的”数学分支中,无限的概念也起着一种微妙的作用：当我们掷十次硬币时,可能会得到五次“正面”和五次“反面”,或者六次“正面”和四次“反面”,或者得到其它结果,但是当我们说到“正面”或“反面”的概率相等时,我们心照不宣地假定:当掷币的次数无限多时,就会产生相等的结果。2.2 无限是由有限构成的自然数无限多,但任何一个自然数却都是有限的。由一切有限的自然数构成一个无限的自然数集合,这看来矛盾,但实际上正是如此。现代的人谁也不会妄言自然数有限多,但
14、同样谁也举不出一个无限的自然数。但这无限的现实世界却是由一个个具体的、有限的物质世界构成的,与之相应的任何一个自然数都是有限的。再如调和级数是发散的, 但它的任何一部分和都是有限的, 只是当时,部分和才超过任何一个指定的数,其它发散级数通常也是如此。 正是因为无限是由有限构成的,所以人们才可以通过有限来认识无限。分析数学中各种收敛性,正是通过有限(部分和)来判断有限(收敛)或无限(发散)的,这就是说,无限纯粹是有限构成的,哲学无限如此,数学无限也是如此。在一定条件下,有限可以转化为无限,这里所说的一定条件,在数学中是由严格的收敛性判则规定的。如“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。说的是,一尺之长
15、的短棍,今日取其一半,明日再取其剩余的一半,依次下去,这是一个无限的过程。但把所有“其半” 加在一起, 刚好就是原来的那个“一尺之棰”。无限的“万世不竭”的东西恰好与有限的“一尺之棰”相当,在这里,无限与有限的差别就消失了,也就是说,无限已转化为有限了。用数学中的级数公式表示,恰如其分地反应这一辩证关系。2.3 有限由无限组成有限范围内封闭无限。如在数轴上0 与1 之间的有限长度上有无限多个点,甚至不知为什么对这样的概念难以理解,但无论什么情况下,都是无限封闭在有限里。又如在正五角形、正方形等图形中,可以作出无限多个与其自身相似的图形。也就是说可以将无限封闭在这种正五角形、正方形中(如图1 和
16、图2）。 图1 正五角形 图2 正方形有限表示了无限。对于一般分数(分母为2、5及其自乘除外)而言,把它改写为小数后变成无限循环小数,而平方根数一般情况下也可用无限非循环小数表示。 圆周率,，等有限数可作为近似值表示,但实际却是无限非循环小数,可用其它无限小数表示的数很多。 圆周率 和自然对数的底e 是无序数字排列的无限小数,但其近似值可以用完美的分数和表示。圆周率(莱布尼茨公式)： =41自然对数的底 e=1=习惯上,人们总认为,无限比有限大,比有限多,无限应包含有限,无限由有限组成。然而,现在我们知道,这种看法并不总是正确的。现代数学的发展,使我们看到有限中的无限,有限与无限的这种新的联系
17、,是由数学家首次发现并运用的。 2.4 无限是有限的延伸 实际上,我们在初等数学中就已经接触到无限了,前面提到的自然数、直线就是两个很好的实例。2.4.1 数学归纳法 在数学中,我们如何由有限进入到无限,得到普遍的定理呢?是通过数学归纳法。通常将数学归纳法陈述如下:若一个命题,当 时成立。假定该命题当n=k 时成立的情况下,能证明当n=k+1 时也成立。那么就可以断言这个命题对于所有的自然数都成立。 例如，在自然数序列中，考察连续自然数的平方和：我们发现:自然数序列前一个,二个,n 个连续自然数的平方和等于这个和中加数个数n 与n+1、2n+1 的乘积的六分之一,即但这仅是一个猜想而已,对所有
18、的自然数都成立么?若不成立,举反例即可;若成立必须作进一步证明。用自然数一个一个地验算是不行的,因为自然数有无数多个,无论我们用了多少个自然数,也无法得到对于一切自然数都成立的普遍定理。这时就必须采用数学归纳法。这种数学归纳法也叫“将棋一个压一个横倒论证法”或“多米诺骨牌横倒论证法”。这是因为最初的一个骨牌滑倒下去后,后面的骨牌就跟着一个压一个无限地倒下去。 庞加勒在讲到数学归纳法的作用时指出:“棋手能预料四五步棋,不管他多么非凡,他也只能准备有限步棋,假使把他的本领用于算术,他也不能凭借单一的直觉直接洞察算术的普遍原理,为了获得最普遍的定理, 他也不得不借助于递推原理,因为这是能使我们从有限
19、向无限延伸的工具。”如果我们不能从有限走向无限,证明一个定理对一切自然数都成立,就得不到普遍定理。2.4.2无穷远点我们知道景物的照片与实际景物在一些方面有所不同:例如,一个圆可能会像一个椭圆,正方形可能会像一个梯形,一对平行线好像在地平线上汇合在一起。正是这个问题。在16 世纪产生了一个数学分支射影几何学。引进无穷远点和无穷远直线,使数学中的某些定理显得更简单、对称和美观,尤以笛沙格定理及其逆定理有特色。总之,包含无限多个自然数的集合和无穷远元素,都是从有限个自然数,从有限个元素中来的,是从有限中外推得到的。由这种外推,我们不仅得到了新的外数学实体,而且得到数学上很重要的数学归纳法和对偶原理
20、。在这里,数学家用巧妙的数学方法,把有限与无限联系在一起有限如何进入到无限,具体地展现在人们面前。3 有限与无限的区别 有限和无限是对立的、有区别的，有限集和无限集的性质有质的不同。如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对应关系。例如：设 ，是A的子集，不妨设B中元素与A中的元素对应，与对应，.，与对应，则A中元素在B中没有元素与它对应。如果B的元素继续减少，A中将出现更多元素在B中没有元素与之对应。无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。例如：=一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数，但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。数学
21、中有这样的符号:，与，它们差别相当大,既表现在量上,又表现在质上。而当时,质与量的差别的两方面便统一起来了。 在有限数学中正确的规则、法规,对于无限数学就不管用了。如: 1) 任何有限集合的元素都可以排列(共有n!种排列法,n 为集合中元素的个数)。但并非任何无穷集合的元素都可以排列,如无理数集、超越数集及一切含这类数的数集的元素是不可排列的。 2) 任何有限个数的集合都有最小数和最大数,但对于无限数集却不一定,如开集(0,1)中就无最大数和最小数。3) 有限个数或函数的加法运算满足结合律、交换律和分配律； 但对于无穷的级数却不能无条件地运用这些运算律, 只有级数是绝对收敛时,才具有项的可交换
22、性,也只有级数在收敛时才能对其运用项的结合律和乘法的分配律。再如,对可积和可微函数关系,下列两个公式： =在有限和无限的情况下其正确性就大不同。在有限的情况下公式绝对成立,当无穷函数项级数一致收敛时,公式才正确。有限和无限密切相联系，没有有限也就没有无限，没有无限也就没有有限。无限性不能完全被证明或者被完全实现，不是因为无限性不存在，而是如果无限性一旦得到实现，那它就不再成为无限，而变成有限，若所有的无限都变成有限，无限就不存在了，因此有限也就不存在了。由于有限是存在的，所以无限是不能完全实现的。4 离了有限的超限数尽管有限与无限古人早已提及,但真正在数学界关于有限与无限打开“潘多拉”盒子的是
23、德国奇才康托尔(1845-1918),于1871 年发表了称为无限数学的“集合论”。康托尔的论断是以两个简单的数学概念为基础的: 集合的概念和一一对应的概念。康托尔把集合的元素个数叫做基数,有限集合的基数是自然数,无限集合的基数是超限数。康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数的,但它们之间存在着一一对应关系,也就是说有比自然数集更大的集合,有更大的超限数。超限数与有限数完全不同,有天壤之别。4.1 就部分和整体来说,对于超限数,部分可以等于整体 奇数集、偶数集是自然数集的一部分但它们能与自然数集建立一一对应关系,表明与自然数集一样大。无理数集明明只是实数集的一部分,但已经证明,无理数集合对
24、等于实数集合。总之,在无限集合里,部分可以和全体对等,这与我们的常识是如此的不相容,高斯在1831 年给舒马赫的信中,以十分坚决的口吻表明了自己的见解:“我必须最强烈地反对你使用无限大作为某种完善的东西,因为这在数学上是从来不允许的。无限大只不过是一种讲话方式,意味着一种极限,当允许某些比率无限增大时,一些特定比率可以任意地逼近该极限。”柯西同样不承认该无限集合的存在。4.2 就运算法则来说, 超限数的运算法则与有限数的运算法则是不同的 我们已经知道自然数集合的基数是超限数,是最小的超限数,康托尔用一个希伯来字母表示,读作阿列夫零。， ， ， ，这种运算是古怪的,是有限数学没有的。这就是希尔伯
25、特的故事答案,他说明了下面真理：即可数集加上一个或n 个元素仍是可数集; 加上可数个元素仍是可数集。4.3 就与现实的关系来说, 超限数也是与有限数不同的 一个有限数,无论它有多大,我们总可以找到它的现实背景,它与现实的联系。然而,我们确找不到超限数的现实背景,以及它与现实的联系。希尔伯特说:“在现实中找不到无限。它既不存在于自然界,也没有理论思维提供合理的基础。” 我们可以看出,超限数与有限数在各个方面都是完全不同的,没有任何相似之处,也没有任何联系, 我们还可以发现无限与现实之间的间接联系。而超限数的创立使我们认识到,无限可以脱离有限而存在,也就割断了无限与现实之间的联系。 有人说“惊人之
26、多的有限不就是无限么”,不是这样的,甚至沙子的数目、星星的数目也只是很少的有限而不是无限。有限和无限之间存在一条很大很深的鸿沟,两者之间的分歧完全可以说是两个不同的世界。有限和无限是一对很有特色的数学概念,也是哲学家十分关心的两个概念。它们既相互联系,你中有我,我中有你。又截然不同,水火不容,其中之奥秘,正是辩证之本性,值得深思和探究。5 小结本论文从哲学的角度辩证了有限与无限的关系，无限是作为有限的对立面而体现的，有限与无限有质的区别，又有密切的联系。论文体现了：没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论；没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析；没有数学分
27、析,像现在大部分数学包括几何和大部分应用数学就不再存在了。”可见,无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础。有限与无限对立统一！参考文献：1数学分析.上册/华东师范大学数学系编.-3版.北京:高等教育出版社.2001(2009重印):204-207.2数学分析.上册/华东师范大学数学系编.-3版.北京:高等教育出版社.2001(2009重印):23-28.3高一数学.必修2.第一章.北京师范大学数学系编写.北京：人民教育出版社.4徐利治.论无限:无限的数学与哲学.大连：大连理工大学出版社.2008:2-4.5徐利治.论无限:无限的数学与哲学.大连：大连理工大学出版社.2008:5-8.6华罗庚.数学归纳法.上海：教育出版社.1963.7戴勇.关于射影直线上的无穷远点.黔南民族师范学院数学系.黔南民族师范学院院报.2010年03期.8李铁木.数学与哲学M.北京:地震出版社.1999.9陈远南.无限中的有限M.上海:科学普及出版社.1991.10陈省身.数学中的有限与无限J.高等数学研究.2007(11):87-91.11张绥.数学与哲学M.上海:学林出版社.1998.12Rudin w. Principle of Mathematical analysisM.New York:John Pearson Edution 1990.
