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1、,一、偏导数的定义及其计算方法,二、偏导数的几何意义及函数偏 导数存在与函数连续的关系,三、高阶偏导数,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,由偏导数的定义，可以看出,计算f关于x的偏导数,可以先将y0固定,用一元函数求导的方法求导,再代入x0,即可求得fx(x0,y0)。,因此由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。,只要把 x 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 x 求导数即可。,只要把 y 之外的其他自变量暂时看成,常量，对 y 求导数即可。,其它情况类似。,偏导数的定义,偏导数的概念,可推广到二元以上的函数.,例如,三元函数,注:,上述定义表明,在求多元函数对某个
2、自变量的,只需把其余自变量看作常数,然后直接利,偏导数时,用一元函数的求导公式,之.,及复合函数求导法则来计算,如 在 处,例1.求,解法1:,解法2:,在点(1,2)处的偏导数.,例2,设,求证,证,因为,所以,原结论成立.,例3,解,例4,求,的偏导数.,解,利用函数关于自变量的对称性,可得,偏导数记号是一个,例5.已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,整体记号,有关偏导数的几点说明,1.,不能拆分;,2.,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;,例如，,二元函数,在点(0,0)处的偏导数为,有关偏导数的几点说明,有关偏导数的
3、几点说明,二、偏导数的几何意义 及函数偏导数存在与函数连续的关系,1几何意义,图示,2.偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,高阶偏导数,如果,这两个函数的偏导数存在,则称它们是函数,的二阶偏导数.,按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶偏导数:,高阶偏导数,其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.,类似地,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,例6,设,求,及,解,例7,解,设,求二阶偏导数.,例8,求,的二阶偏导数.,解,例9,满足拉普,验证函数,拉斯方程,证,例9,满足拉普,
4、验证函数,拉斯方程,证,例9,满足拉普,验证函数,拉斯方程,证,可以看出关于y的偏导可通过互换变量x,y而得到。,2）,然后互换x,y后，,若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，,则称该二元函数具有对称性，即,1）,若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，,则称该二元函数具有反对称性，即,若,具有对称性，计算二阶偏导数时，先,计算出,变得到,若,具有反对称性，,只需互换x,y后,再添加,一个负号即可到关于y的三个偏导。,例10,其中,证,由函数关于自变量的对称性,得,x换y，y换z，z换x，表达式不变,例10,其中,证,例10,其中,证,例11,设,试求,及,解,因,例11,设,试求,及
5、,解,例11,设,试求,及,解,例11,设,试求,及,解,例11,设,试求,及,解,所以,例11,设,试求,及,解,例11,设,试求,及,解,同理有,例11,设,试求,及,解,同理有,例11,设,试求,及,解,同理有,所以,我们有下面的定理：,那么一个函数具有什么条件时，它的二阶混合偏导数与求导的顺序无关呢？,则,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立。,由上例我们可以看到，同一函数不同顺序的同阶混合偏导数未必相等。,更一般地有如下的定理：,类似,对三元函数 u=f(x,y,z),说明:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序。,因为初等函数的偏导数仍为初
6、等函数,当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,而初等,例12,设,计算,（其中p,q为正整数）。,因此，关于y用 Leibniz 公式得,解:,关于x再用一次 Leibniz 公式就得：,命题：若f(x,y)在凸区域D上连续，对(x,y)D，且,f(x,y)在D上恒为一常数。,在一元函数中，函数的导数为0，则此函数必恒为一个常数。则在二元函数中，若它的两个偏导数都为0，此二元函数是否也恒为常数呢？,答案是成立的，但要满足一定的条件。,有 fx(x,y)=fy(x,y)=0,则,命题：若f(x,y)在凸区域D上连续，,则 f(x,y)在D上恒为一常数。,证：(x1,y1),(x2,y2)D,利用单变量的拉格朗日定理,由于在D上，fx(x,y)=fy(x,y)=0,便有f(x1,y1)=f(x2,y2)。,故 f(x,y)在D上恒为一常数。,对(x,y)D，且,有 fx(x,y)=fy(x,y)=0,1.,在该点的偏导数必定存在？,能否断定,2.,设,存在？,3.,设,课堂练习,
