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1、第30课 正弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P7例1改编)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2bsin A，则角B=.【答案】【解析】由正弦定理，可得sin A=2sin Bsin A，sin B=.由B为锐角，得B=.2.(必修5P8练习1改编)在ABC中，已知BC=12，A=60，B=45，那么AC=.【答案】4【解析】利用正弦定理=，得AC=4.3.(必修5P11习题6改编)在ABC中，若a=2，b=3，C=，则ABC的面积为.【答案】【解析】SABC=absin C=23=.4.(必修5P7例2改编)在ABC中，若a=
2、4，c=4，C=30，则角A=.【答案】60或120【解析】由正弦定理=，得sin A=，所以角A=60或120.5.(必修5P10练习5改编)在ABC中，若A=60，a=，则=.【答案】2【解析】由正弦定理=2R，得=2R=2.1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理：=2R(其中R为ABC的外接圆的半径，下同).变式：(1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C；(2)sin A=，sin B=，sin C=；(3)abc=sin Asin Bsin C；(4)=(合比性质).2.利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边
3、，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.如：已知a，b和A，用正弦定理求B时解的情况如下：若A为锐角，则absin A无解a=bsin A一解bsin Aab一解3.由正弦定理，可得三角形面积公式：SABC=absin C=bcsin A=acsin B=r(a+b+c)(r为内切圆半径).4.三角形内角定理的变形：由A+B+C=，知A=-(B+C)，可得出：sin A=sin(B+C)，cos A
4、=-cos(B+C).而=-，有sin=cos，cos=sin.【要点导学】要点导学各个击破利用正弦定理判断三角形的形状例1在ABC中，已知b=asin C，c=asin B，试判断ABC的形状.【思维引导】减少角或边的个数，本题可减少边a；边角化为同一形式，如题中可把边化为角；高次可降次，如题中的单角化为倍角等.【解答】由b=asin C，c=asin B，得=.由正弦定理得=，所以sin2B=sin2C.所以=，所以cos 2B=cos 2C.又B，C是三角形的内角，所以2B=2C，所以B=C.由b=asin C，得sin B=sin Asin C，所以sin A=1，所以A=，所以ABC
5、是等腰直角三角形.【精要点评】三角形形状的判断方向主要有等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形等；主要的判断方法是借助三角函数中的各个定理及运算公式，考查边角的等量关系等.变式在ABC中，已知a=2bcos C，求证：ABC为等腰三角形.【解答】因为a=2bcos C，所以由正弦定理，得2Rsin A=4Rsin Bcos C，所以2cos Csin B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.所以sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0，所以B-C=k(kZ).又B，C是三角形的内角，所以B=C，即ABC为等腰三角形.利用正弦定理解
6、三角形例2在ABC中，根据下列条件解三角形： (1)c=，A=45，a=2；(2)c=，A=45，a=2；(3)c=3，A=45，a=2.【思维引导】三小题均属于“已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，要先求sin C.【解答】(1)因为c=，A=45，a=2，所以由=，得sin C=.所以C=60或C=120.当C=60时，B=75，b=+1；当C=120时，B=15，b=-1.(2)同(1)可得sin C=，所以C=30或C=150.又因为C+A1，所以此三角形无解.【精要点评】解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边
7、，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，也不可能无解；对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.例3(2015湖南卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=btan A.(1)求证：sin B=cos A；(2)若sin C-sin Acos B=，且B为钝角，求A，B，C.【思维引导】(1)由题根据正弦定理结合所给已知条件可得=，所以sin B=cos A；(2)根据两角和公式化简所给条件可得sin C-sin Acos B=cos Asin B=，进而可得sin2B=，结合所给
8、角B的范围可确定角B的大小，进而可得角A的大小，由三角形内角和可得角C的大小.【解答】(1)由a=btan A及正弦定理，得=，所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin Acos B=sin180-(A+B)-sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B，所以cos Asin B=.由(1)知sin B=cos A，因此sin2B=.又因为B为钝角，所以sin B=，故B=120，由cos A=sin B=知A=30，从而C=180-(A+B)=30.综上所述，A=30，B=
9、120，C=30.【精要点评】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；当以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.变式设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A-C)+cos B=1，a=2c，求角C的大小.【解答】由B=-(A+C)，得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C，由已知得sin Asin C=.由a=2c及正弦
10、定理得sin A=2sin C.由得sin2C=，于是sin C=-(舍去)或sin C=.又因为a=2c，所以C=.利用正弦定理解三角形的面积问题例4(2015徐州、连云港、宿迁三检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C=，sin A=cos B.(1)求tan B的值；(2)若c=，求ABC的面积.【解答】(1)因为cos C=，C(0，)，所以sin C=.因为A+B+C=，所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=sin B+cos B，所以sin B+cos B=cos B，即sin B=cos B，所以tan B=.(2
11、)由(1)知tan B=，所以sin B=，cos B=.由正弦定理得=，所以b=.又因为sin A=cos B=，所以ABC的面积为S=bcsin A=.变式(2014南京一调)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=-3bcos A，tan C=.(1)求tan B的值；(2)若c=2，求ABC的面积.【解答】(1)由正弦定理得sin C=-3sin Bcos A，即sin(A+B)=-3sin Bcos A.所以sin Acos B+cos Asin B=-3sin Bcos A.从而sin Acos B=-4sin Bcos A.因为cos Acos B0，所以=-4.
12、又tan C=-tan(A+B)=，将变形代入得=，解得tan B=.(2)由(1)得sin B=，tan A=-2，所以sin A=， 由tan C=，得sin C=.由正弦定理得a=.所以ABC的面积为S=acsin B=2=.1.(2015福建卷)在ABC中，已知AC=，A=45，C=75，则BC=.【答案】【解析】由题意得B=180-A-C=60，由正弦定理得=，则BC=，所以BC=.2.在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若2asinB=b，则角A=.【答案】【解析】因为2asin B=b，所以2sin Asin B=sin B.因为sin B0，所以sin A=，又
13、因为A为锐角，所以A=.3.若=，则ABC的形状是.【答案】等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，代入所给等式，可得tan B=tan C=1，注意到A，B，C是ABC的内角，所以B=C=，从而ABC是等腰直角三角形.4.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=，C=，则ABC的面积为.【答案】1+【解析】在ABC中，由正弦定理得c=2.又因为A=-(B+C)=-=，所以sin A=，SABC=bcsin A=22=+1.5.(2015山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B=，sin
14、(A+B)=，ac=2，求sin A和c的值.【解答】在ABC中，由cos B=，得sin B=.因为A+B+C=，所以sin C=sin(A+B)=，因为sin Csin B，所以CB，C为锐角，cos C=.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=+=.由=，可得a=2c，又ac=2，所以c=1.【融会贯通】融会贯通能力提升在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足ccos B+bcos C=4acos A.(1)求cos A的值； (2)若ABC的面积是，求的值.【思维引导】【规范答题】(1)利用正弦定理=，得sin Ccos B+si
15、n Bcos C=4sin Acos A，3分所以sin(B+C)=4sin Acos A，即sin A=4cos Asin A，5分因为sin A0，所以cos A=7分(2)由(1)得sin A=，9分由题意得SABC=bcsin A=，11分所以bc=8，12分所以=bccos A=214分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第5960页.【检测与评估】第五章解 三 角 形第30课正弦定理与解三角形一、 填空题 1.在ABC中，A=60，a=4，b=4，则角B的大小为. 2.在ABC中，若sin2A+sin2Bb，则角B=. 6.在ABC中，角A，B，C所对的边
16、分别为a，b，c.已知bcos C+ccos B=2b，则=. 7.在ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于. 8.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为.二、 解答题 9.(2014全国卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C=2ccos A，tan A=，求角B的大小.10.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B-bcos A=c，求的值.11.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C+asin C-b-c=0.(1)求
17、角A的大小；(2)若a=2，ABC的面积为，求b+c.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则的值为.13.在ABC中，已知A=，BC=3，则ABC的周长的最大值为.【检测与评估答案】第五章解三角形第30课正弦定理与解三角形1. 45【解析】由正弦定理，可得=，即sin B=，注意到内角和为180，且ab，所以B=45.2. 钝角三角形3. 【解析】由正弦定理及3a=2b得=.4. 60或120【解析】在ABC中，由正弦定理可得=，即=，解得sin C=，所以C=60或120.5. 【解析】由正弦定理及asinBcosC
18、+csinBcosA=b，得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB，即sin2B=sin B，故sinB=.又因为ab，所以AB，B=.6. 2【解析】利用正弦定理，将bcos C+ccos B=2b化简得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B，即sin(B+C)=2sin B.因为sin(B+C)=sin A，所以sinA=2sinB，利用正弦定理化简得a=2b，故=2.7. 或【解析】由正弦定理有=，得sin C=，即C=60或120，则A=90或30，所以ABC的面积为或.8. 直角三角形【解析】由bcosC+ccosB=asinA结合正弦定理得sin
19、BcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sinA=1，所以A=90.9. 由题设及正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A，故3tan A=2tan C.因为tan A=，所以tan C=，所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=-1.因为B(0，180)，所以B=135.10. 由acos B-bcos A=c及正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A=sin C，即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)，即5(sin Acos B-sin Bcos A)=3(sin Acos B+sin Bcos A)，即s
20、in Acos B=4sin Bcos A，因此tan A=4tan B，所以=4.11. (1) 由正弦定理及已知得sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin Csin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin Csin A-cos A=1sin(A-30)=A=60或180(舍去).(2) S=bcsin A=bc=4.a2=b2+c2-2bccos Ab+c=4.12. 3【解析】由正弦定理=，得=，即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B，化简可得，sin(A+B)=3sin(B+C)，又知A+B+C=，所以sin C=3sin A，因此=3.13. 9【解析】由正弦定理得=2，所以AB=2sin C，AC=2sin B，所以ABC的周长y=AB+AC+BC=2(sin B+sin C)+3=2+3=6sin+3.因为0B，所以B+，所以sin1，所以ymax=9.
