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1、第十八讲 解析几何II【考点说明】 解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。【知识引入】一 椭圆中的经典结论：1. 点在椭圆上上，则过的椭圆的切线方程是2. 点在椭圆上外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是3. 椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点，则椭圆的焦点三角形的面积为二 双曲线中的经典结论：1. 点在双曲线上（）上，则过的双曲线的切线方程是 2点在双曲线上（）外，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是3
2、.双曲线（）的左右焦点分别为，点为双曲线上一点，则双曲线的焦点三角形的面积为三抛物线：1.过抛物线的焦点的一条弦 , 记准线与轴交点为，分别交轴于两点，则：2. 端点坐标积恒定：过抛物线的焦点的直线，交抛物线于 ，则：(1)， ； (2) 。3. 共线： 过抛物线的焦点的直线，交抛物线于两点，如图示，有下列三个结论：（1）三点共线 （2）三点共线 （3）设直线与抛物线的准线的交点为，则平行于轴（4）设直线与抛物线的准线的交点为，则平行于轴【知识拓展】一圆锥曲线和直线的参数方程1.圆的参数方程是其中是参数。2.椭圆的参数方程是其中是参数，称为离心角。3.双曲线的参数方程是其中是参数。4.抛物线的
3、参数方程是其中是参数。5.过定点，倾斜角为的直线参数方程为为参数。 这里参数的几何意义是：表示直线上的点和定点的距离；当点 在点的上方时，当点在点的下方时，；当点与点 重合时，反之亦然。二圆锥曲线的统一极坐标方程以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为，其中为离心率，是焦点到相应准线的距离。三焦半径公式设为圆锥曲线上任一点，分别为点到焦点及相应准线的距离，则1.对于椭圆，、是它的两个焦点设是椭圆上的任一点，则有，解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标（对是纵坐标
4、）的一次函数（扩充）：焦半径公式的另一种形式()为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)2.对于双曲线（），、是它的两个焦点设是双曲线上的任一点，若点在双曲线的右支上，则有，；若点在双曲线的左支上，则有，（扩充）：焦半径公式的另一种形式(（）)为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)注意：当时，点在右支上，当时，点在左支上3.对于抛物线（），是它的焦点，设是抛物线上的任一点，则设，则四共轭直径二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径1.设椭圆的方程为，互为共轭直径的斜率关系为；2.设双曲线的方程为（），互为共轭直径的斜率关系为；
5、3.设抛物线的方程为（），一组斜率为的平行弦的中点轨迹为射线五过焦点的弦1.设椭圆的方程为，过的弦长为，过的弦长为过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数（扩充）：焦点弦长的另一种形式为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)2.设双曲线的方程为（），过的弦长为，过的弦长为（扩充）：焦点弦长的另一种形式为(是以为始边，为终边的角，不是的倾斜角)3.设抛物线的方程为（），设，则焦点弦长为六双曲线的渐近线1.如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线，使得与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线的一条渐近线双曲线的渐近线方程为，即2.共轭双曲线的方程为，共渐近线的双曲线系方程：互为共轭的
6、两条双曲线有以下性质：时得焦点在轴上的双曲线；时得焦点在轴上的双曲线；时即是双曲线的渐近线；两共轭的双曲线的离心率满足；它们的四个焦点在同一个圆上【典例精讲】例1（2011“卓越联盟”）已知抛物线的顶点在原点，焦点在上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若边所在直线的方程为，则抛物线方程为（ ）（A） （B） （C） （D） 分析与解答：如图，可令方程为。设。所以，依题意， 所以 由、，代入中，。另一方面，由、。所以（舍去）。所以抛物线方程为。例2（2003同济）已知抛物线。（1） 过焦点的直线斜率为，交抛物线于，求；（2） 是否存在正方形，使在抛物线上，在抛物线内？若存在，求这样
7、的满足的方程。分析与解答：（1）直线方程是，设。依抛物线定义知。又，由韦达定理知， ，故 。（2） 先设，如图13-11，令，则。又，故，即。又，且。所以，即。另一方面，将代入中，有（这里利用求根公式取“-”号根）。由知，化简得。同理，时，求得方程为。综上，这样的k满足方程。注：笔者对原题作了简单改动，原问题所问的是“正方形ABCD有什么特点。”此问题有相当难度，尤其是对代数功夫要求较高。 图13-11例3（2011“华约”）双曲线，是左、右焦点，是右支上的任一点，且，。（1） 求离心率；（2） 若为双曲线左顶点，为右支上任一点，且恒成立？分析与解答：（1）在中，由余弦定理，。所以。所以，双曲
8、线方程：。（2） 先设轴。此时，为等腰，。下证。令。，。所以存在常数，使恒成立。注：设P是双曲线（或椭圆）上一点，（分别是左、右焦点），则。例4（2007武大）如图，过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于两点。（1） 求直线的斜率；（2） 如果两点均在上，求面积的最大值。分析与解答：（1）不妨设，则。同理，。依题意，。于是（2） 的直线方程为：，即。P到AB的距离。由（1）知，故。所以 。又由，且，知。令，则，所以。注意到是一个偶函数，故只考虑的情况。此时记，对求导，故在上是严格单调递增的函数，从而，即。例5（2011“北约”）已知是平面上两定圆，另有一动圆C与均相切，问圆心C
9、的轨迹是何种曲线？说明理由。分析与解答：设半径分别为，由圆锥曲线定义，可得下列结论：时，与相离：圆心C的轨迹是直线（的中垂线）及双曲线（与一个内切，另一个外切）；与相交：圆心C的轨迹是直线（去掉两个点）（与都外切或都内切）及椭圆（与一个内切一个外切）；与相外切：圆心C的轨迹是直线去掉切点（包括C与，都外切或都内切或一个外切，另一个内切）时，与外离：圆心C的轨迹是双曲线（C与都外切或与中一个内切一个外切）；与相交：圆心C的轨迹是双曲线（C与都内切或都外切）及椭圆去掉两个点（C与一个内切，一个外切）；与外切：圆心C的轨迹是双曲线（C与都外切）及直线去掉切点（C与一个内切，一个外切）；与内切：圆心C
10、的轨迹是直线去掉切点及与（C与都外切或都内切）及椭圆去掉切点（C与一个内切一个外切）；与内含：圆心C的轨迹是椭圆（不是同心圆，C与一个内切，一个外切）及圆（是同心圆，C与一个内切一个外切）。例6.（2011年上海理）已知道平面上的线段及点，任取上的一点，线段的最小值成为点到线段的距离，记作。 （1）、求点到线段：的距离； （2）、设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积； （3）、写出到两条线段、距离相等的点的集合，其中；A，B，C，D是下列三组中的一组。 对于下列三中情形，只需选做一种，满分分别为2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分。 分析与解答：（1） 、如
11、图1所示，由图可知，显然在线段的端点处取得最小值，故最小距离为： （2） 、如图2所示，D是边长为2的正方形和半径为1的两个半圆构成的区域，故面积为： （图1） （图2）（3） 、如图3所示，由图可知，该集合就是整个轴，即：； 如图4所示，由分类讨论得出，由三段组成： 第一段是轴上，所有满足的点，即：； 第二段是抛物线，原因是到顶点的距离等于到定直线的距离，该抛物线为： 第三段是直线，该直线为： （图3） （图4） 如图5所示，由四部分组成。由四条直线将坐标平面分成9个区域，对这9个区域依次讨论满足条件的点集： 第区：到两直线距离相等的点是角平分线，即：； 第区：到定点D的距离等于到定直线轴的
12、距离，是抛物线，但该抛物线不在第 区，故第区域没有满足条件的点； 第区：到两个定点的距离相等，是AD中垂线，即：； 第区：到定点A与到定直线轴的距离相等，是抛物线，即：； 第区：、到两个定点A、D的距离相等，应该是线段AD的中垂线，但该线不经过第区，故在第区没有满足条件的点； 第区：到定直线轴的距离等于到定点O的距离，轴经过点O，故满足条件的点只有轴的非正半轴，即：； 第区：到同一个点O的距离相等，是整个第三象限的点，即：； 第区：到定直线轴，与到定点O的距离相等，轴经过O点，故满足条件的点为轴的非正半轴，即：； 第区：到定点O、D的距离相等的点，为线段OD的中垂线，但该线不经过 第区，故在第
13、区没有满足条件的点。(图5）点评：此题是典型的探究性问题，对学生的综合能力要求很高。题目中自定义了到线段的距离。第一问典型的最值问题，画出图像即可解决；第二问、第三问主要考察轨迹问题，解决这两问的关键在于充分理解圆锥曲线的定义。在能力方面要求考生具有较高的数形结合和分类讨论等相关能力，综合性很强。其他题目赏析：【方法总结】【真题训练】 1.（2011复旦）极坐标表示的下列曲线中不是圆的是（ ）（A）（B）（C）（D）2.（2009华南理工）已知圆O：，点是圆O内一点。过点P的圆O的最短的弦在直线上，直线的方程为，那么（ ）。（A） ，且与圆O相交 （B），且与圆O相切（C），且与圆O相离 （D
14、），且与圆O相离3.（2010复旦）已知常数满足。设和分别是以和为渐近线且通过原点的双曲线，则和的离心率之比等于（ ）。（A） （B） （C） （D）4.（2011复旦）设有直线族和椭圆族分别为为实数，为参数）和（是非零实数），若对于所有的，直线都与椭圆相交，则应满足（ ）。（A） （B） （C） （D）5.（2010同济）若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的斜率的取值范围是 。6.（2006武大）椭圆的半焦距为，直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则该椭圆的离心率是 。7.（2011中南财大）如图，已知椭圆C：的一个焦点到长轴的两个端点距离分别为和，直线与相交于点，与椭圆相交于两
15、点。（1） 求此椭圆的方程。（2） 若，求的值。（3） 求四边形面积的最大值。8.（2011“卓越联盟”）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切。（1） 求椭圆的方程（2） 过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值与最小值。9.（2001复旦）已知椭圆与抛物线在第一象限内有两个公共点，线段的中点在抛物线上，求。10.（2004同济）设有抛物线，点是抛物线的焦点，点在正轴上，动点在抛物线上，试问：点在什么范围内时，恒是锐角？【参考答案】1.【答案】D【分析与解答】：利用极坐标与平面直角坐标转换公式选项A、B、C分别为：，它们都表示圆；选项D，表示双曲线。2.【答案】：D【分
16、析与解答】：由于最短的弦与OP垂直，所以的直线方程为：。故与互相垂直。因为圆心O到的距离为。因为，所以，所以。所以与圆相离。3.【答案】C【分析与解答】：由条件可设的方程是，的方程是。又过原点，故由，知，故，从而前应带负号，带正号，且，所以，得。4.【答案】B【分析与解答】：注意到直线横过定点，对所有，直线与椭圆相交，则当且仅当在椭圆内部。所以，即，故选B。5.【答案】【分析与解答】：圆：，半径为。如图分别作两条与直线l平行的平行线，这两条平行线与直线l的距离都是，欲使圆上至少有三个不同点到直线l的距离都是，则这两条平行线与圆都有交点。设直线l的斜率为k，直线l:，则问题等价于圆心到直线l的距
17、离。所以。6.【答案】【分析与解答】：由。依题意，故离心率。7.【分析与解答】：（1）由题意得解得，所以所求的椭圆方程是。（2） 直线AB，EF的方程分别为。设，其中，且满足方程，故由知，得；由D在AB上知，得，所以，化简得，解得或（3） 根据点到直线的距离公式和式知，点E、F到AB的距离分别是，又，所以四边形AEBF的面积为。即当时，四边形AEBF有最大面积。8.【分析与解答】：（1）设椭圆方程为。因为它与直线只有1个交点，所以方程组只有一解。即方程有相等两根方程有相等两根。所以。得。因为焦点为，所以。所以所以椭圆方程为。（2） 若PQ斜率不存在（或为0）。则。若PQ斜率存在（且不为零），设
18、为k，则MN斜率为。所以直线PQ方程为。设PQ与椭圆交点坐标，联立方程。为方程的根，所以。同理，。所以 因为，当且仅当时等号成立。所以，所以。 综述，的面积的最小值为，最大值为2.9.【分析与解答】：联立消去，得（*）设交点横坐标为，则由韦达定理知则M横坐标，纵坐标。由题意，又其二根都为正数（A、B在第一象限），故，从而。将代入（*）中，其判别式。此时确有两个交点，故所求值为。yOx10.【分析与解答】：解法一：设，则恒为锐角恒成立，代入得 。若，显然上式恒成立，即为锐角；若，则恒成立，令，当，即时取等号。从而。解法二：设，恒为锐角，所以恒成立，即恒成立，又代入，所以。对恒成立方程无实根或有两负根。，故（1），（2）且，即。 综上，C点横坐标范围是。
