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1、2.2.3,独立重复试验与二项分布,复习引入,前面我们学习了,互斥事件,、,条件概率,、,相互独,立事件,的意义，这些都是我们在具体求概率时需要,考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便,.,P,(,A,?,B,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),（当,A,与,B,互斥时）,；,P,(,AB,),P,(,B,|,A,),?,P,(,A,),P,(,AB,),?,P,(,A,),P,(,B,),（当,A,与,B,相互独立时）,那么,求概率还有什么模型呢,？,探究一：,n,次独立重复试验,问题,1,分析下面的试验，,它们有什么共同特点,？,抛掷一枚质地均匀硬币抛掷,5,次,;,某人射击,
2、1,次，击中目标的概率是,0.8,，他射击,10,次,;,实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，,规,定,5,局,3,胜制,（即,5,局内谁先赢,3,局就算胜出并停,止比赛）,;,一个盒子中装有,5,个球（,3,个红球和,2,个黑球）,，,有放回地依次从中抽取,5,个球,;,生产一种零件，出现次品的概率是,0.04,生产这,种零件,4,件,.,共同特点是,:,多次重复地做同一个试验,.,共同特点：,1,）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；,2,）任何一次试验中，,A,事件发生的概率相同，即相,互独立，互不影响试验的结果。,基本概念,像这样的，在相同的条件下，重复的做,n,次试验，各
3、次试,验的结果相互独立，那么就称它们为,n,次独立重复试验,独立重复试验的特点：,1,）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；,2,）任何一次试验中，,A,事件发生的概率相同，即相,互独立，互不影响试验的结果。,在,n,次独立重复试验中,，,记,A,i,是“第,i,次试验的结果”,显然，,P,(,A,1,A,2,?,A,n,),=,P,(,A,1,),P,(,A,2,),?,P,(,A,n,),“相同条件下”等价于,各次试验的结果不会受其,他试验的影响,上面等式成立,.,问题,2,投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为,p,，则针尖,向下的概率为,q=1-p.,连续掷一枚图钉,3,次，仅出现,
4、1,次,针尖向上的概率是多少？,连续掷一枚图钉,3,次，就是做,3,次独立重复试验。用,A,i,(,i,?,1,2,3),表示第,i,次掷得针尖向上的事件，用,B,1,表示“仅出现一次针尖,向上”的事件，则,B,?,(,A,A,A,),?,(,A,A,A,),?,(,A,A,A,).,1,1,2,3,1,2,3,1,2,3,由于事件,A,1,A,2,A,3,A,1,A,2,A,3,和,A,1,A,2,A,3,彼此互斥，由概率加法公式,得,P,(,B,1,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),2,2,2,2,?
5、,q,p,?,q,p,?,q,p,?,3,q,p,所以，连续掷一枚图钉,3,次，仅出现,1,次针尖向上的概率是,3,q,2,p,.,思考？,上面我们利用掷,1,次图钉，针尖向上的概率为,p,，求,出了连续掷,3,次图钉，仅出现次,1,针尖向上的概率。类,似地，连续掷,3,次图钉，出现,k,(0,?,k,?,3),次针尖向,上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？,P,(,B,0,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,q,P,(,B,1,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,3,q,p,2,3,P,
6、(,B,2,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,3,qp,P,(,B,3,),?,P,(,A,1,A,2,A,3,),?,p,.,仔细观察上述等式，可以发现,3,2,P,(,B,k,),?,C,p,q,k,3,k,3,?,k,k,?,0,1,2,3.,探究二：二项分布,推广,:,一般地,在,n,次独立重复试验中,用,X,表示事件,A,发生的次数，,设每次试验中事件,A,发生的概率是,p,，,那么事件,A,恰好发生,k,次的概率,P,n,(X=,k,),是多少呢,?,P,n,(X=,k,),?,C,p,(
7、1,?,p,),或,P,n,(X=,k,),?,C,p,q,（其,中,q,?,1,?,p,一次试验中事件,A,发生的概率为,p,）,此,时,称,随,机,变,量,X,服,从,二,项,分,布,（,binomial,distribution,）,记作,XB(,n,p,),，并称,p,为,成功概率,.,k,n,k,n,?,k,k,n,k,n,?,k,注,:,k,k,n,?,k,n,P,n,(,k,),?,c,n,p,q,是,(,p,?,q,),展开式中的第,k,?,1,项,.,形成概念,一般地，在,n,次独立重复试验中，用,X,表示,事件,A,发生的次数，设每次试验中事件发,生的概率是,，那么在,n,
8、次独立重复试验中这,个事件,恰好,发生,k,次的概率是,:,P,(,X,?,k,),?,C,p,(,1,?,p,),事件,A,发生的次数,实验总次数,k,n,k,n,?,k,（其中,k=0,，,1,，,2,，,，,n,）,事件,A,发,生的概率,n,p,k,分别表示什么意义？,事件,A,不,发生的概率,二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？,1,两点分布是特殊的二项分布,?,?,?,(1,?,p,),2,一个袋中放有,M,个红球，,(,N,?,M,),个白球，,依次从袋中,取,n,个球，记下红球的个数,?,.,如果是,不放回,地取,则,?,服从超几何分布,.,C,C,P,(,?,?,
9、k,),?,C,k,M,n,?,k,N,?,M,n,N,(,k,?,0,1,2,?,m,),(,其中,m,?,min(,M,n,),M,),如果是,有放回,地取，则,?,?,B,(,n,N,探究三：深入学习,P,(,x,?,k,),?,C,p,(,1,?,p,),k,n,k,n,?,k,例,1,：,某射手射击一次命中目标的概率是,0.8,，求这,名射手在,10,次射击中,（,1,）,恰有,8,次击中目标的概率；,解：设,X,为击中目标的次数，则,P,(,X,?,8),?,C,?,0.8,?,(1,?,0.8),（,2,）,至少有,8,次击中目标的概率；,解：,P,(,X,?,8,),?,P,(
10、,X,?,8,),?,P,(,X,?,9,),?,P,(,X,?,10,),?,C,0,.,8,0,.,2,?,C,0,.,8,0,.,2,?,C,0,.,8,8,10,8,2,9,10,9,1,10,10,10,8,10,8,10,?,8,?,0.30,（,3,）,仅在,第,8,次击中目标的概率。,9,解：,P,?,(1,?,0.8),7,?,0.8,?,(1,?,0.8),2,?,.,8,?,0,.,2,?,0,0.0000004,例,2,:1,名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有,5,个,交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概,率都是,1/3.(1),求这名学生在途中
11、遇到,3,次红灯的,.(2),求这,名学生在途中至少遇到一次红灯的概率,.,1,解,:,记为学生在途中遇到红灯次数，则,?,B,(5,),3,(1),遇到,3,次红灯的概率为：,40,3,1,3,2,2,P,(,?,?,3),?,C,5,(,),(,),?,3,3,243,(2),至少遇到一次红灯的概率为,:,2,5,211,P,?,?,?,1,?,?,1,?,P,?,?,?,0,?,?,1,?,(,),?,.,3,243,例,3,实力相等的甲、,乙两队参加乒乓球团体比赛，,规定,5,局,3,胜制,（即,5,局内谁先赢,3,局就算胜出并停止比赛）,试求甲打完,5,局才能取胜的概率,按比赛规则甲
12、获胜的概率,解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为,1,1,，乙获胜的概率为,2,2,甲打完,5,局才能取胜,相当于进行,5,次独立重复试验，,且甲第,5,局比赛取胜，前,4,局恰好,2,胜,2,负,甲打完,5,局才能取胜的概率,1,2,1,2,1,3,2,P,1,?,C,4,?,(,),?,(,),?,?,.,2,2,2,16,王新敞,奎屯,新疆,(2),记事件,A,?,“甲打完,3,局才能取胜”,，,事件,B,=,“甲打完,4,局才能取胜”,，,事件,C,=,“甲打完,5,局才能取胜”,事,件,D,“,按,比,赛,规,则,甲,获,胜,”,，,则,D,?,A,?,B,?,C,，又
13、因为事件,A,、,B,、,C,彼此互斥，,故,P,(,D,),?,P,(,A,?,B,?,C,),?,P,(,A,),?,P,(,B,),?,P,(,C,),1,3,3,1,?,?,?,?,8,16,16,2,1,答：按比赛规则甲获胜的概率为,2,练习巩固：,1,每次试验的成功率为,p,(0,?,p,?,1),，重复进行,10,次试验，,其中前,7,次都未成功后,3,次都成功的概率为（,）,C,3,7,7,3,3,3,7,3,3,3,(A),C,10,p,(1,?,p,),(B),C,10,p,(1,?,p,),(C),p,(1,?,p,),(D),p,(1,?,p,),2,某人参加一次考试，
14、若,5,道题答对,4,道题则为及格，已,知他解,1,道题的正确率为,0.6,，试求他能及格的概率,(,保留,2,位小数,),。,4,4,5,5,C,5,?,0.6,?,0.4,?,C,5,?,0.6,?,0.34,3.,某人对一目标进行射击，,每次命中率都是,0.25,，,若使至少,命,中,1,次,的,概,率,不,小,于,0.75,，,至,少,应,射,击,几,次,？,（,lg,2,?,0.3010,lg,3,?,0.4771,）,3,答案,3,某人对一目标进行射击，每次命中率都是,0.25,，,若使至少命中,1,次的概率不小于,0.75,，,至,少应射击几次？（,lg,2,?,0.3010,l
15、g,3,?,0.4771,）,解：设要使至少命中,1,次的概率不小于,0.75,，应射击,n,次,记事件,A,“射击一次，击中目标”,，则,P,(,A,),?,0.25,射击,n,次相当于,n,次独立重复试验，,n,事件,A,至少发生,1,次的概率为,P,?,1,?,P,n,(0),?,1,?,0.75,3,n,1,n,由题意，令,1,?,0.75,0.75,，,(,),，,4,4,1,lg,4,?,4.82,，,n,至少取,5,n,3,lg,4,答：要使至少命中,1,次的概率不小于,0.75,，至少应射击,5,次,王新敞,奎屯,新疆,王新敞,奎屯,新疆,4.,某射手有,5,发子弹，射击一次命
16、中的概率为,0.9,如,思考,2,解,:,果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，,求耗用子弹数,?,的分布列,.,解：,?,的所有取值为：,1,、,2,、,3,、,4,、,5,P,(,?,?,1),?,0.9,P,(,?,?,2),?,0.1,?,0.9,2,3,P,(,?,?,3),?,0.1,?,0.9,P,(,?,?,4),?,0.1,?,0.9,“,?,?,5,”,表示前四次都没射中,?,P,(,?,?,5),?,0.1,故所求分布列为,:,?,4,1,0.9,2,2,3,4,5,0.1,4,P,3,0.1,?,0.9,0.1,?,0.9,0.1,?,0.9,课堂小结：,1,、,
17、n,次独立重复试验,:,一般地,在相同条件下，重复做的,n,次试验,称,为,n,次独立重复试验,.,2,、二项分布：,注,:,一般地，在,n,次独立重复试验中，设事件,A,发生的,次数为,X,，在每次试验中事件,A,发生的概率为,p,，那么,k,k,n,?,k,n,P,n,(,k,),?,c,n,p,q,是,(,p,?,q,),展开式中的第,k,?,1,项,.,在,n,次独立重复试验中，事件,A,恰好发生,k,次的概率为,k,n,k,n,?,k,P,(,X,?,k,),?,C,p,(1,?,p,),k,?,0,1,2,.,n,.,此时称随机变量,X,服从,二项分布,，记作,XB(n,p),并称,p,为成功概率。,Thank you!,
