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1、第九章 正弦稳态功率和能量 三相电路,9-1 元件的功率和能量关系9-2 单口网络的平均功率9-3 单口网络的无功功率9-4 复功率 复功率守恒9-5 最大功率传输定理9-6 三相电路,郑州大学信息工程学院,返回目录,本章学习目的及要求,本章重点：1、掌握有功功率、无功功率、视在功率、功率因数的概念和求法；2、掌握正弦交流稳态下最大功率传输定理；3、对称三相电路的计算。,9-1 元件的功率和能量关系,一、基本关系式：,p0，元件吸收功率，能量增加，有能量流入元件.p0，元件提供功率，能量减少，元件放出能量。,VAR:,二、周期信号的平均值,正弦函数在一个周期内的平均值为0。,三、电阻元件上的功
2、率,u(t)=Umcos(tu）i(t)=Imcos(ti）,瞬时功率为：,P(t)0，所以电阻只消耗能量。,平均功率(average power)也称为有功功率(active power)，简称为功率。电阻的平均功率的求法与直流电阻相同。,UI 恒定分量,四、电感元件的功率和平均贮能,1、瞬时功率：,3.电感元件的瞬时贮能为：,2.电感元件的平均功率：,4.电感元件的平均贮能为：,五、电容元件的功率和平均贮能 uC(t)=UCmcost,iC(t)=ICmcos(t+900)ICmsint 1、瞬时功率：pC(t)-UCmICmcostsint=UCICsin2t 2、电容元件的平均功率：P
3、C0,3、电容元件的平均贮能：,只有电阻的平均功率大于零，而电感和电容的平均功率等于零。以后提到的功率就是指平均功率，是电路中电阻消耗的功率，或指电源提供的功率，也称为有功功率。电容和电感不消耗也不再生能量，它只是从电源处吸收能量，贮存起来，在下一个时间段再向外放出，说明它与电源之间进行能量的交换。,结论,+,us,1,1H,1H,1F,1F,1,+,u1,+,u2,P73例9-4：已知us=cos2t v,求电阻的平均功率、电感和电容的平均贮能。,解法二：,一.瞬时功率,正弦稳态电路中，电流和电压是同频率的正弦量。不妨设,其中 是电压与电流的相位差。,9-2 单口网络的平均功率,网络 N 的
4、瞬时功率随时间而变化。若 0 且，则 p(t)的正负也随时间变化，说明网络 N 与外电路之间有能量往返，这是由于电路中存在储能元件的缘故。,网络 N 吸收的瞬时功率为：,p 有时为正,有时为负；p0,电路吸收功率；p0，电路发出功率；,UIcos 恒定分量,UIcos(2 t+)为正弦分量,下 页,上 页,返 回,这表明电路中的动态元件与外电路或电源进行能量交换。对无源网络，在一周期内电路吸收的功率大于供给的功率（有源网络则相反），电路的平均功率不为零。,网络 N 的平均功率与其端电压和端电流的有效值成正比，还与电压、电流相位差的余弦函数成正比。,可求得,平均功率-指瞬时功率在一周期内的平均值
5、，又称为有功功率，简称为功率。平均功率表示电路吸收或产生电功率的平均速率。,二、平均功率（有功功率）,2、当Z为纯电抗时:,对无源单口网络有：,1、当单口网络为纯电阻时:,(不含受控源时),4、有功功率为网络内所有电阻消耗的平均功率之和：,3、当ZRjX时：,或,5、网络所消耗的有功功率为电源提供的有功功率,例：电路如图，已知 U100V，求该单口网络吸收的总功率P。,解法一：利用公式,解法二：求单口网络的阻抗，网络消耗的功率等于端钮上电流有效值平方乘阻抗的实部。,显然有 P=PR1+PR2+PL+PC=PR1+PR2,平均功率守恒-单口网络从外电路吸收的总平均功率等于该网络内部各元件吸收的平
6、均功率之和。由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总平均功率就等于网络内各电阻元件平均功率之和。,解法三：网络中只有电阻消耗功率，所有电阻消耗功率的总和即为单口网络的功率。,三、视在功率和功率因数 1、视在功率(apparent power)：指端口电压、电流有效值的乘积，反映了电气设备的容量或提供功率的最大值，电源设备的容量一般用视在功率表示，又称为表观功率。定义：SUI 单位为 伏安（VA）,由 S=UI 及,得,称 为网络 N 的功率因数，01，其大小反映了电源的利用程度，在工程上，0.9最好。:电压、电流的相位差，又称为功率因数角。,2.功率因素(power factor),若 0，
7、则网络 N 吸收电能。若 0，则网络 N 产生电能，N 中必含有源元件。若网络 N 中无独立源，则 为该网络的阻抗角。,若网络N中仅含 R、L、C，则必有 0，即,不能反映 的正负，需另加说明。常以“滞后”表示电流滞后于电压，角为正；以“超前”表示电流超前于电压，角为负。,7.功率因数的提高,设备容量 S(额定)向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。,P=UIcos=Scos,cos=1,P=S=75kW,cos=0.7,P=0.7S=52.5kW,一般用户：异步电机 空载 cos=0.20.3 满载 cos=0.70.85,日光灯 cos=0.450.6,设备不能充分利用，电流到了额定值
8、，但功率容量还有；,功率因数低带来的问题：,下 页,上 页,返 回,当输出相同的有功功率时，线路上电流大，I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。,解决办法：（1）并联电容，提高功率因数（2）高压传输,下 页,上 页,返 回,分析,并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。,特点：,下 页,上 页,返 回,已知：电动机 PD=1000W，U=220，f=50Hz，C=30F cosD=0.8，求：负载电路的功率因数。,例,解,下 页,上 页,返 回,并联电容的确定：,下 页,上 页,返 回,已知：f=50Hz,U=220V,
9、P=10kW,cos1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？,例,解,未并电容时：,并联电容后：,下 页,上 页,返 回,若要使功率因数从0.9再提高到0.95,试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？,解,cos 提高后，线路上总电流减少，但继续提高cos 所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将cos 提高到0.9即可。,下 页,上 页,注意,返 回,作业 P105：9-13、9-15,93 二端网络的无功功率(reactive power),瞬时功率可改写为：,UIcos(1+cos2 t)为不可逆分量。,UIsin si
10、n2 t为可逆分量。,下 页,上 页,返 回,上式第二项是正负半周对称的时间函数，它反映网络 N 与外电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量，其最大值 UIsin 定义为网络 N 的无功功率。,上式第一项符号不变，反映网络 N 与外电路之间的单向能量传送速率，其平均值即有功功率。,定义网络 N 的无功功率 Q 为：,单位为乏（Var）,R,X,阻抗三角形,1.电阻不吸收无功功率,2.电感吸收正值的无功功率,3.电容吸收负值的无功功率,6.对任何无源网络有:Q QL+QC 2（WLWC）,7、网络吸收的总无功功率为,4.Z为感性时，即X0，则Q为正5.Z为容性时，即X0，则
11、Q为负,相似三角形,下 页,上 页,返 回,视在功率、平均功率和无功功率之间的关系,例,三表法测线圈参数。,已知：f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。,解法 1,下 页,上 页,返 回,解法 2,又,下 页,上 页,解法 3,返 回,感性负载并电容提高功率因数的另一种解释,由,得,感性负载,并电容前，QQ L,并电容后，QQ L+Q C,由于 Q C 为负值，故 Q 得到提高。,并联电容也可以用功率三角形确定：,从功率角度看:,并联电容后，电源向负载输送的有功UIL cos1=UIcos2不变，但是电源向负载输送的无功UIsin2UILsin1减少了，减少的这部分无功由电容“
12、产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。,下 页,上 页,返 回,定义：,其中 是电流相量的共轭复数，即复功率等于电压相量与电流相量之共轭复数的乘积，是 u 与 i 的相位差。,9-4 复功率(complex power)复功率守恒,复功率只是一个计算用的复数，定义复功率的目的是为了能直接用电压电流相量来求解功率问题。,复功率守恒：,用网络理论可以证明，网络 N 所吸收的总的复功率等于该网络内各元件吸收的复功率之和。这就是复功率守恒。复功率守恒包含着有功功率守恒和无功功率守恒。,例：电路如图，已知负载1的 P1=10kW，10.8(超前)；负载2的 P2=15kW，20.6
13、(滞后)；U=2300V。求两负载吸收的总复功率及输入电流有效值 I。,解：,9-5 最大功率传输定理,含源网络等效阻抗：,负载等效阻抗：,负载电阻获得最大功率的条件取决于电路内何者为定值，何者为变量。可分两种情况来讨论。,问题1：若 RL和 XL均可独立变化，（即 和 均可变），则 ZL为何值时，其吸收的平均功率为最大。,显然，要使 PL有最大值，必须 XL=-X0，此时,将上式对 RL求导，并令,可求得：RL=R0,结论：,若负载 ZL 的实部和虚部可独立变化，则当 时，负载吸收的功率为最大，此最大功率为，称为最大功率传输定理。,这种阻抗匹配称为最大功率匹配或共轭匹配。,问题2：若负载的
14、可变，不可变，则 ZL 为何值时，其吸收的平均功率为最大。,将上式对 求导，并令,可求得：,结论：,若负载 ZL 的模可变，阻抗角不可变，则当 时，负载吸收的功率为最大。,这种阻抗匹配称为负载与电源内阻抗(模)匹配。,说明：共扼匹配是最佳匹配，但共扼匹配做不到时，只能用模匹配，此时，获得的最大功率是在模可调情况下的最大功率。,例1：如图所示电路，求负载获得最大功率时，负载元件的参数值。并求负载平均功率 P。,（1）负载既有电阻也有动态元件；,（2）负载为纯电阻。,解：作相量模型如图所示，用戴维南定理化简，用节点法求开路电压。,将电压源短路，电流源开路，求等效内阻抗,等效电路如图所示,（1）当负
15、载即有电阻也有动态元件时，获得最大功率的条件是共轭匹配。即,电抗部分为正，是电感元件,即负载为 的电阻与 的电感串联。此时最大功率为,（2）负载为纯电阻时，获得最大功率的条件是模匹配。即,即负载为 的电阻，此时求负载上的功率不能用公式，可用公式 为此需先求负载电流:,最大功率,共轭匹配时负载获得的功率大于模匹配时获得的功率。,作业 P108：9-18、9-22、9-26,9-6 三相电路,9.6.1 三相电源和三相电路 9.6.2 对称三相电路的分析 9.6.3 不对称三相电路的分析,一、对称三相电源 二、三相电源的星形联接 三、三相电源的三角形联接 四、三相负载 五、三相电路,9.6.1 三
16、相电源和三相电路,定义,三个同频率、等幅值、初相位依次相差120o的一组正弦电压源称为对称三相电源。,一、对称三相电源,它们的正极性分别标记为 a，b，c，负极性分别标记为 x，y，z。每一个电压源称为（电源的）一相，依次为 a 相，b 相和 c 相，分别记为，。,相序,三个电源波形到达最大值的先后次序称为相序。,电源相序为 abc，称为正序，反之，则称为负序或逆序。通常三相电源均指正序。如无特别说明，下面所讨论的三相电源均为正序。,其瞬时表达式为,表示它们的相量分别为,三相电源的瞬时值之和为零,由相量图很易求得,即：,在三相电路中，对称三相电源一般联接成星形或三角形两种特定的方式。,二、三相
17、电源的星形联接,三相负载,O(N)点：电源中性点。,端线(火线)：电源引向负载的导线。,中线(零线)：电源中性点与负载中性点之间的连线。,三相负载,星形联接的电源，有,线电流相电流,线电流：流过端线的电流。,相电流：流过每相电源的电流。,线电压：端线之间的电压。,相电压：每相电源的电压。,由相量图可求得,即,对称星形电源的线电压也是对称的，它们的有效值是相电压的 倍。,三角形联接的电源，有,线电压相电压,三、三相电源的三角形联接,三相电源应首尾相连,线电流 相电流,三相负载,必须注意，在上述正确联接的情况下，因为，所以能保证在没有输出的情况下，电源内部没有环行电流，如果接错，将可能形成很大的环
18、行电流。,四、三相负载,三相负载是由三个负载联接成星形或三角形所组成，分别称为星形负载和三角形负载。,星形负载：,线电压 相电压,线电流=相电流,若 Za=Zb=Zc，则为对称星形负载。,三角形负载：,线电压 相电压,线电流 相电流,若 Zab=Zbc=Zca，则为对称三角形负载。,五、三相电路,三相电源用输电导线与三相负载联接称为三相电路，也称为三相供电系统。,电源对称、负载对称、端线阻抗相等的三相电路为对称三相电路。,9.6.2 对称三相电路的分析,例：图示电路中，Z 为负载阻抗，ZL为端线阻抗，ZN 为中线阻抗，求负载端的电流和电压。,解：采用节点法，以 N 为参考节点，有,由于,故,一
19、、对称 Y-Y 三相电路的分析,负载端电流：,中线电流：,负载端相电压：,负载端线电压：,该电路特点：,负载和电源中性点间电压为零；负载端的相电流、相电压及线电压 均是三相对称的；中线电流为零（中线可省）；各相独立。,对称 YY 电路归结为一相的计算方法：,画出一相等效电路并计算该相的电流和电压；,根据对称性直接写出其余两相的电流和电压。,将电路化为等效 YY 电路；由等效 YY 电路算出负载端的线电压和线电流；回到原电路求相电压和相电流。,二、对称Y-电路的分析,9.6.3 不对称三相电路的分析,一、不接中线的不对称 Y-Y 三相电路 二、接有中线的不对称 Y-Y 三相电路,当三相电路中的电
20、源电压不对称或电路的参数不对称时，电路中的电流一般也不会对称。这种电路称为不对称三相电路。,注意：因为不对称三相电路失去了对称性的特点，所以不能应用前面介绍过的归结为一相的分析方法。,一、不接中线的不对称 YY 三相电路,采用节点法，以 N 为参考节点，有,负载相电压：,负载电流：,中性点间电压不为零；各相电流和电压均不再对称；各相负载工作情况相互影响。不能正常工作。,二、接有中线的不对称 YY 三相电路,若忽略中线阻抗，则有,各相负载电压等于各相电源电压，是对称的。,负载电流：,接有中线的不对称 YY 电路各相电压对称，但电流不对称，中线电流不为零。各相负载工作情况相互独立。对这种电路而言，
21、中线是非常重要的。,由于各相负载不对称，故各相电流不对称，有,中线电流：,作业 P109：9-27、9-30,86,第十章 频率响应&多频正弦稳态电路,87,10.1 基本概念,出现多个频率正弦激励大致可分为两种情况：其一：电路的激励原本就是多个不同频率的正弦波，但频率之间不一定成整倍数关系。其二：电路的激励原本为非正弦周期波，如方波、锯齿波等等，但展为傅立叶级数后，就可视为含有直流分量和一系列频率成整数倍的正弦分量（谐波分量）。,多频正弦稳态电路-就是多个不同频率正弦激励下的稳态电路。,频率响应-在多频正弦稳态电路中电路响应和频率的关系。,88,10.2 正弦稳态网络函数,1、网络函数 在电
22、路分析中,电路的频率特性通常用正弦稳态电路的网络函数来描述。在单一激励的情况下，网络函数定义为：,网络函数H(j)是由电路的结构和参数所决定的,并且一般是激励角频率的复函数。反映了电路自身的特性。显然,当激励的有效值和初相保持不变而频率改变时,响应将随频率的改变而变化,其变化规律与H(j)的变化规律一致。也就是说,响应与激励频率的关系决定于网络函数与频率的关系。故网络函数又称为频率响应函数,简称频率响应。,89,2.幅频特性和相频特性,网络函数可表为为：,|H(j)|是H(j)的模,它是响应相量的模与激励相量的模之比,称为幅度-频率特性或幅频响应；()是H(j)的辐角,它是响应相量与激励相量之
23、间的相位差,称为相位-频率特性或相频响应。,其中：,90,3、策动点函数和转移函数（或传输函数）,根据响应和激励是否在电路同一个端口,网络函数可分为策动点函数和转移函数（或传输函数）。当响应与激励处于电路的同一端口时,则称为策动点函数，否则称为转移函数。根据响应、激励是电压还是电流,策动点函数又可分为策动点阻抗和策动点导纳；转移函数又分为转移电压比、转移电流比、转移阻抗和转移导纳。,91,92,低通滤波器,滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。,例,93,相频特性,幅频特性,1,0,94,分贝数定义：,95,10.3 正弦稳态的叠加,非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤：,(1)将电路中的激励
24、展开成傅里叶级数表达式，即分解为直流和一系列正弦谐波(一般计算至35次谐波即可)；,(3)分别求解各次谐波单独作用时的响应(相量法）；,(4)将解出的各谐波响应相量还原为正弦量；,(5)电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求响应。,96,设单端口电路的电压、电流分别为：,式中U0、I0为电压、电流的直流分量,角频率为(即k=1)的项称为基波,角频率为k(k=2,3,N)的项称为k次谐波,UK(IK)为k次谐波电压(电流)的有效值。设对各频率的阻抗角为，则该一端口电路吸收的平均功率为：,10.4 平均功率的叠加,97,【例】已知一个二端网络,试求该二端网络的平均功率P,98,解：,99,10
25、.5 RLC电路的谐振,谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。谐振电路由于其良好的选频特性,在通信与电子技术中得到广泛应用。通常的谐振电路由电感、电容和电阻组成。按照电路的组成形式可分为串联谐振电路、并联谐振电路和双调谐回路。,含有L 和C 的电路，如果无功功率得到完全的补偿，即端口电压和电流出现同相现象时，此时电路的功率因数cos=1，称电路处于谐振状态。,100,串联回路的总阻抗:,式中电抗：,串联电路中的电流相量：,其模和相角分别为:,一、串联电路的谐振,101,当频率较低时,L1/(C),电抗X为负值,电路呈容性。因而电流超前于电压S,如图(a)所示。随着频率的逐渐升高,|X|减
26、小,从而阻抗的模值也减小,电流的模值增大。当电源角频率改变到某一值0时,使0L=1/(0C),这时电抗X等于零,阻抗的模|Z|达最小值。这时电流达最大值,且与电源电压S同相。其相量关系如图(b)所示。,1.X、|Z|随角频率变化的情况,102,如电源频率继续升高,则L1/(C),电抗为正值,电路呈感性。因而电流落后于电压,其相量关系如图(c)所示。,X、|Z|随角频率变化的情况,103,2.电路的串联谐振频率,当回路电抗等于零,电流与电源电压同相时,称电路发生了串联谐振。这时的频率称为串联谐振频率,用f0表示,相应的角频率用0表示。电路发生串联谐振时,有 X=0L-1/(0C)=0故得,由上式
27、可知,电路的谐振频率仅由回路元件参数L和C决定,而与激励无关,但仅当激励源的频率等于电路的谐振频率时,电路才发生谐振现象。谐振反映了电路的固有性质。,104,除改变激励频率使电路发生谐振外,实际中，经常通过改变电容或电感参数使电路对某个所需频率发生谐振,这种操作称为调谐。譬如,收音机选择电台就是一种常见的调谐操作。谐振时的感抗与容抗数值相等,其值称为谐振电路的特性阻抗,用表示,即,3.谐振电路的调谐和特性阻抗,105,在工程中,通常用电路的特性阻抗与回路的电阻r的比值来表征谐振电路的性质,此比值称为串联谐振电路的品质因数用Q表示（品质因数和无功功率符号相同，注意不要混淆）。即：它是一个无量纲的
28、量。,4.串联谐振电路的品质因数,106,此时,电流I 与 US 同相,并且I0达到最大值。谐振时,各元件电压分别为,谐振时：,5.串联谐振电路的电压和电流特性,107,结论,谐振时,电感电压和电容电压的模值相等,均为激励电压的Q倍,即UL0=UC0=QUS,但相位相反，故相互抵消。这时,激励电压US全部加到电阻r上,电阻电压Ur达到最大值。实际中的串联谐振电路,通常Q值可达几十到几百。因此谐振时电感和电容上的电压值可达激励电压的几十到几百倍,所以,串联谐振又称电压谐振。在通信和电子技术中,传输的电压信号很弱,利用电压谐振现象可获得较高的电压,但在电力工程中,这种高压有时会使电容器或电感线圈的
29、绝缘被击穿而造成损害,因此常常要避免谐振情况或接近谐振情况的发生。,108,输出电压可以取自电容、电感或电阻，这里进一步研究串联谐振电路的频率特性。,二、频率响应,109,通频带的定义,下降到最大值的70.7%时，两个频率点称为上半功率点频率2和下半功率点频率1，定义通频带为：BW=2-1,110,BW的计算：,由BW 的表达式可以看出：电阻越小，电感越大，通带越窄。显然通频带BW和品质因数Q是一对矛盾，实际当中如何兼顾二者，应具体情况具体分析。,111,幅频和相频特性曲线,常称为谐振电路的谐振曲线。,(BW=2-1=R/L),由相频特性知：=0，=000，容性，0，0，感性,谐振曲线,112
30、,结论：谐振电路对频率具有选择性,其Q值越高,幅频曲线越尖锐,电路对偏离谐振频率的信号的抑制能力越强,电路的选择性越好。常用谐振电路从许多不同频率的各种信号中选择所需信号。,但实际信号都占有一定的带宽,由于带宽与Q成反比,所以Q过高,电路带宽则过窄,这样将会过多地削弱所需信号中的主要频率分量,引起严重失真。,113,例子：如广播电台的信号占有一定的带宽,收音机为选择某个电台信号所用的谐振电路应同时具备两方面功能：一方面从减小信号失真的角度出发,要求电路通频带范围内的特性曲线尽可能平坦些,以使信号通过回路后各频率分量的幅度相对值变化不大,为此Q值低些较好;另一方面从抑制临近电台信号的角度出发,要
31、求电路对不需要的信号各频率成分能提供足够大的衰减,为此Q值越高越好。实际设计中,必须根据需要选择适当的Q值以兼顾这两方面的要求,郑州大学信息工程学院,作业,P144:10-6、10-19,115,(1)由谐振频率公式可得：,例：RLC串谐回路中的L=310H，欲接收载波f=540KHz的电台信号，问这时的调谐电容C=？若回路Q=50时该台信号感应电压为1mV，同时进入调谐回路的另一电台信号频率为600KHz，其感应电压也为1mV，问两信号在回路中产生的电流各为多大？,116,(3)600KHz的信号在回路中产生的电流为：,此例说明，当信号源的感应电压值相同、而频率不同时，电路的选择性使两信号在回路中所产生的电流相差10倍以上。因此，电流小的电台信号就会被抑制掉，而发生谐振的电台信号自然就被选择出来。,(2)540KHz的信号在回路中产生的是谐振电流：,
