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1、圆专项练习1（配完整解析）一解答题（共15小题）1如图，O经过ABCD的A、B、C三个顶点，并与边AD相切，连接AO并延长交BC于点E，交过点C的直线1于点F，且BCF=ACD（1）判断直线1与O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，BC=4，求O的半径【解答】解：（1）结论：FC与O相切，理由为：过C点作直径CG，连接GB，如图，CG为直径，GBC=90，即G+BCG=90，ABDC，ACD=BAC，BAC=G，BCF=ACDG=BCF，BCF+BCG=90，即FCG=90，CGFC，FC与O相切；（2）AD是O的切线，切点为A，OAAD，BCAD，AEBC，BE=CE=BC=2，AC=
2、AB=6，在RtAEC中，AE=4，设O的半径为r，则OC=r，在RtOCE中，OE=4r，CE=2，OC=r，OE2+CE2=OC2，即（4r）2+22=r2，解得r=，O的半径为2已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧AC上的占（不与点A，C重合）延长BD至E，求证：AD的延长线平分CDE【解答】证明：AB=AC，ABC=ACB，四边形ABCD内接于圆，FDE=ADB，ADB=ACB，FDE=ADB=CB，FDE=FDC，DF平分CDE，即AD的延长线平分CDE3在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格的交点）（1）把ABC向上平移4个单位得到
3、A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）把ABC绕着点O顺时针旋转90得到A2B2C2，请画出A2B2C2，并求在（2）旋转的过程中，A点旋转的长度【解答】解：（1）A1B1C1如图所示；（2）A2B2C2如图所示，在旋转的过程中，A点旋转的长度l=4在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOyABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：（1）将ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的A2B2C2；（3）将ABC绕点C逆时针旋转90，画出旋转后的A3B3C【解答】解：（1）A1B1C1如
4、图所示，点A1的坐标为（4，1）；（2）A2B2C2如图所示；（3）A3B3C如图所示5如图，在O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，ADCB（1）求证：AB=CD；（2）如果O的半径为5，DE=1，求AE的长【解答】（1）证明：如图，AD=BC，=，=，即=，AB=CD；（2）如图，过O作OFAD于点F，作OGBC于点G，连接OA、OC则AF=FD，BG=CGAD=BC，AF=CG在RtAOF与RtCOG中，RtAOFRtCOG（HL），OF=OG，四边形OFEG是正方形，OF=EF设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角OAF中由勾股定理得到：x2+（x+1）2=5
5、2，解得 x=3则AF=3+1=4，即AE=AF+3=76如图，AB是O的直径，AC平分DAB交O于点C，过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P，弦CE交AB于点F，连接BE（1）求证：PD是O的切线；（2）若PC=PF，试证明CE平分ACB【解答】证明：（1）连接OC，如图，AC平分DAB，1=2，OA=OC，1=3，2=3，OCAD，ADCD，OCCD，PD是O的切线；（2）OCPC，PCB+BCO=90，AB为直径，ACB=90，即3+BCO，3=PCB，而1=3，1=PCB，PC=PF，PCF=PFC，而PCF=PCB+BCF，PFC=1+ACF，BCF=ACF，即CE平分ACB7
6、已知：如图，O是ABC的外接圆，AB为O直径，BC=6，AC=8，OEAE，垂足为E，交O于点P，连结BP交AC于D（1）求PE的长；（2）求BOP的面积【解答】解：（1）在直角ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，OEAC，AE=CD=AC=4，由三角形中位线定理得，OE=BC=3，PE=53=2；（2）过O作OFBP于F，由（1）可知OEAC，BCAC，OPBC，PEDBCD，=，CE=AC=4，ED=1，PD=，BD=3，PB=4，BF=2，OF=，SBOP=4=108如图，BC为O的直径，点D在O上，连结BD、CD，过点D的切线AE与CB的延长线交于点A，BCD=AEO，OE与CD
7、交于点F（1）求证：OFBD；（2）当O的半径为10，sinADB=时，求EF的长【解答】（1）证明：连接OD，如图，AE与O相切，ODAE，ADB+ODB=90，BC为直径，BDC=90，即ODB+ODC=90，ADB=ODC，OC=OD，ODC=C，而BCD=AEO，ADB=AEO，BDOF；（2）解：由（1）知，ADB=E=BCD，sinC=sinE=sinADB=，在RtBCD中，sinC=，BD=20=8，OFBD，OF=BD=4，在RtEOD中，sinE=，OE=25EF=OEOF=254=219如图，在ABC中，A=45，以AB为直径的O经过AC的中点D，E为O上的一点，连接DE
8、，BE，DE与AB交于点F（）求证：BC为O的切线；（）若F为OA的中点，O的半径为2，求BE的长【解答】证明：（）连接OD，OA=OD，A=45，ADO=A=45，AOD=90，D是AC的中点，AD=CD，ODBC，ABC=AOD=90，BC是O的切线；（）连接OD，由（）可得AOD=90，O的半径为2，F为OA的中点，OF=1，BF=3，AD=，DF=，E=A，AFD=EFB，AFDEFB，即，解得：BE=10如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D，CEAD，交AD的延长线于点ECE=2，DE=2（1）求AD的长；（2）求弧的长【解答】解：（1）AB是O的直径，AD
9、B=90，CEAD，BDCE，DCE=BDC，CD与O相切于点D，BDC=A，A=DCE，又E=E，AECCED，=，=，解得AD=4（2）在RtCDE中，tanDCE=，DCE=30，于是A=DCE=30，连结OD，BOD=2A=60，OB=OD=BD=ADtanA=4=，则弧BD的长是=11如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度【解答】解：（1）设圆的半径为r，D是弧AC中点，ODAC，AE=AC=4，在RtAOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r2）2+42，解得，
10、r=5，即圆的半径长为5；（2）连接BC，AO=OB，AE=EC，BC=2OE=6，AB是半圆的直径，ACB=90，BE=212如图，在O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），ABCD（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：CED=COB；（2）点E在劣弧CD上（不与C、D重合）时，CED与COB有什么数量关系？请证明你的结论【解答】（1）证明：如图所示，连接OD、OCAB是直径，ABCD，=，COB=DOB=COD又CED=COD，CED=COB；（2）解：CED与COB的数量关系是CED+COB=180理由：CED=COD，CED=（360COD）=180COD，CED+CED
11、=180由（1）知，CED=COB，CED+COB=18013如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为P，若AB=2，AC=（1）求BAC的度数（2）求弧CBD的长（3）求弓形CBD的面积【解答】解：（1）连接BC，BD，AB是直径，ACB=90，AB=2，AC=，BC=1，BAC=30；（2）连接OC，OD，CDAB、AB是直径，BOC=2A=60，COD=120，弧CBD的长是：；（3）OC=OA=1，BOC=60，CP=OCsin60=1=，OP=OCcos60=，CD=2CP=，弓形CBD的面积是：14如图，已知ABC为直角三角形，C=90，边BC是O的切线，切点为D，AB经过圆心O并
12、与圆相交于点E，连接AD（1）求证：AD平分BAC；（2）若AC=8，tanDAC=，求O的半径【解答】（1）证明：连接OD，BC是O的切线，ODBC，又C=90，ODAC，ODA=CAD，OA=OD，ODA=OAD，OAD=CAD，即AD平分BAC；（2）解：连接CE，AE是O的直径，ADE=90，OAD=CAD，tanDAC=，tanEAD=，tanDAC=，AC=8，CD=6，由勾股定理得，AD=10，=，解得，DE=，AE=，O的半径为15如图在RtABC中，C=90，BD平分ABC，过D作DEBD交AB于点E，经过B，D，E三点作O（1）求证：AC与O相切于D点；（2）若AD=15，
13、AE=9，求O的半径【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OD=OB，1=2，又BD平分ABC，2=3，1=3，ODBC，而C=90，ODAD，AC与O相切于D点；（2）解：ODAD，在RTOAD中，OA2=OD2+AD2，又AD=15，AE=9，设半径为r，（r+9）2=152+r2，解方程得，r=8，即O的半径为8考点卡片1等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶
14、角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论2勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=（4）由于a2+b2=c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边3平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形
15、的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分（3）平行线间的距离处处相等（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等4垂径定理（1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧5圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心
16、角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分6圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上角的两条边都与圆相交
17、，二者缺一不可（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角7三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三
18、个顶点的圆，叫做三角形的外接圆（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个8直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：相离：一条直线和圆没有公共点相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点相交：一条直线和圆有两个公共
19、点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线（2）判断直线和圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线l和O相交dr直线l和O相切d=r直线l和O相离dr9切线的性质（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直10切线的判定（1）切线的
20、判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）在应用判定定理时注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”11切线的判定与性质（1）切线的性质圆的切线垂直于经过
21、切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（3）常见的辅助线的：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”12弧长的计算（1）圆周长公式：C=2R（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长题设未标明精确度的，可以将弧长用表示正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，
22、弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一13扇形面积的计算（1）圆面积公式：S=r2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=R2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积14作图-轴对称变换几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直
23、线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形15作图-平移变换（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形16作图-旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等17解直角三角形（1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形（2）解直角三角形要用到的关系锐角直角的关系：A+B=90；三边之间的关系：a2+b2=c2；边角之间的关系：sinA=A的对边斜边=ac，cosA=A的邻边斜边=bc，tanA=A的对边A的邻边=ab（a，b，c分别是A、B、C的对边）
