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1、5-4-5.完全平方数及应用（二）教学目标1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇
2、数因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且，则性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两
3、位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：例题精讲模块一、平方差公式运用【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否
4、得到数45045？【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这两个数分别是a和b，那么有ab(a-b)=45045,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到45045。【答案】不能得到这样的数【例 2】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个数减去为，减去为，则，可知，且，所以，这样这个数为【答案】424【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数
5、分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数所以不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的【答案】不存在这样的数【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是的倍数，就是奇数，所以不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到【答案】不存在这样的数【巩固】 一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数
6、是多少？【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设该正整数为a，根据题意得，两式相减得,注意到和的奇偶性相同，都是奇数因为，所以，或，或，解得，或，或，但是，不符合是正整数的条件因此，或者所以这个正整数是2269或97【答案】2269或97【例 3】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这两个完全平方数分别是和，且，则两个完全平方数的和可以表示为，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，当，时，取得最大值，此时两个完全平方数的和最大，为；当，时，取得最小值2，此时两个完全
7、平方数的和最小，为85【答案】最小85，最大2965【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数 【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这三个数从大到小分别为、，那么有，因为，、同奇同偶，所以有，或，分别解得，和，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，继而求得，所以这三个数分别为、【答案】三个数分别为、 【例 5】 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 (请写出所有可能的答案) 【考点】平方差公式运用 【难度
8、】4星 【题型】填空【关键词】2008年，清华附中【解析】 设这两个两位数中较小的那个为，则另外一个为，由题知， (为正整数)，即，由于，所以，由于与均为两位数，所以，故可能为25、50或者75，可能为18、43或者68经检验，、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82【答案】这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82【例 6】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为 【考点】平方差公式运用 【难度】4星 【题
9、型】填空【解析】 如果把B放在A的左边，得到的五位数为；如果把放在的右边，得到的五位数为；这两个数的差为，是一个完全平方数，而，所以是5与一个完全平方数的乘积A又是一个两位数，所以可以为、，A的所有可能取值之和为【答案】145【例 7】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数 【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这个四位数为，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故由得：将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即由于，
10、故，所以；又，所以，故；一一检验，只有满足且，所以，得，原来的四位数为【答案】1156模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用【例 8】 如果+=，-=b，=c，=d，a+b+c+d=100，那么，=_.【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第5题【解析】 根据题意，()，则，.【答案】【例 9】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空【解析】 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，
11、所以B不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，由于是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在6169中只有63和68符合条件，那么A为3或8那么可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368【答案】3163和8368【例 10】 称能表示成的形式的自然数为三角数有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数则 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2007年，走美【解析】 依题有，即因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数又由相邻自然数互质知，“奇数”
12、与“”也互质，于是奇数， ()，而为四位数，有，即，又与相邻，有当时，相邻偶数为50时，满足条件，这时，即；当时，相邻偶数为80和82都不满足条件；当时，相邻偶数为120和122都不满足条件所以，【答案】1225【例 11】 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，问：第612个位置的数字是几？【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】解答【解析】 1到3的平方是一位数，占去3个位置；4到9的平方是二位数，占去12个位置；10到31的平方是三位数，占去66个位置；32到99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从
13、612减去353，还有259个位置从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字因为，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而，它的第4个数字是0，所以第612个位置的数字是0【答案】0【巩固】 不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536，则从左向右的第l6个数字是_【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，11题【解析】 通过列举可得1。【答案】【例 12】 由，可以断定最多能表示为个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定最多能
14、表示为_个互不相等的非零自然数的平方之和【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【解析】 ，所以不能表示成个互不相等的非零自然数的平方之和，而，所以可以表示成个互不相等的非零自然数的平方之和，所以最多能表示为个互不相等的非零自然数的平方之和【答案】7【例 13】 有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数那么这18个数的平均数是： 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第12题【解析】 一般而言，4个不同的数字共可
15、组成（个）不同的4位数如果只能组成18个不同的4位数，说明其中必有0，即按算出来的在这四个不同的数中，则设最小的数，倒数第二个则是，两数正好是一对反序数根据完全平方数特点，“小”、“大”两数必是1，4，6，9之中的两个且中数在小大之间可以为以下3类：当“大”，在1024、1034中，1034不是完全平方数，但4201不成立当“大”，1026、1036、1046、1056、4056都不是完全平方数当“大”9，在的数中，取，而在的数中，取632，672不成立在的数中，取672，732不成立在的数中，取732，772不成立所以，符合条件的数只能是由1089开始的四位数，求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，另一种是概率法，可以作为方法来记：即，对于没有0的四位数，排列互不相同的四位数时，共有24个数，每个数字在每位上出现的概率机会是一样的，所以，每个数字在每位上都出现（次）则总和为：如果有一个数是0，则在此基础上，考虑0作首位的部分要排除即：，所以，本题的总和为，所以，这18个数的平均数为【答案】6444
