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1、习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中为圆周， ；（2），其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界；（3），其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（4），其中为折线，这里、依次为点、；（5），其中为摆线的一拱，.2.有一段铁丝成半圆形，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。解 曲线的参数方程为 依题意，所求质量习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中是抛物线上从点到点的一段弧；（2），其中为圆周（按逆时针方向绕行）；（3），其中是从点到点的一段直线；（4），其中为有向闭折线，这里、依次为点、；
2、2.计算，其中是：（1）抛物线上从点到点的一段弧；（2）从点到点的直线段；（3）先沿直线从点到点，然后再沿直线到的折线；（4）曲线，上从点到点的一段弧。3.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：（1）在面内沿直线从点到点；（2）沿抛物线从点到点；（3）沿上半圆周从点到点.4.设为曲线，上相应于从变到的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。习题11-3 格林公式及其应用1. 利用曲线积分，求星形线，所围成的图形的面积。2.计算曲线积分，其中为圆周，的方向为逆时针方向。3. 证明曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值。.4.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1），其中为三顶
3、点分别为、和的三角形正向边界；（2），其中是在圆周上由点到点 的一段弧。5.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个：（1）；（2）6.计算，其中为由点到点的曲线弧解 原积分与路径无关， 故原式 习题11-4 对面积的曲面积分1. 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分。2. 计算，其中是锥面被平面和所截得的部分。3.计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为平面在第一卦限中的部分；（2），其中为球面上的部分；4.求抛物面壳的质量，此壳的面密度为.5.计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。解 ， ，在上，在面的投影为在上，在面的投影为 习题11-5 对坐标的曲面积分1
4、.计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中为球面的下半部分的下侧：（2），其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧；2.把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中（1）是平面在第一卦限的部分的上侧；（2）是抛物面在面上方的部分的上侧；3.计算，其中为球面在第一挂限部分曲面块的上侧，为正数。解 由对称性， 在面上的投影域为所以习题11-6 高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分：（1），其中为平面，所围成的立体的表面的外侧；（2），其中是界于和之间的圆柱体的整个表面的外侧；（3），其中为平面，所围成的立方体的全表面的外侧；2.计算曲面积分，其中是曲面的外侧.解 添加平面，取上侧，使构成封闭，应用
5、高斯公式地习题11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：（1），其中为圆周，若从轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；（2），其中为圆周，若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；（3），其中为圆周，若从轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；复习题十一1.计算下列曲线积分：（1），其中为圆周；（2），其中为摆线，上对应从到的一段弧；（3），其中为上半圆周，沿逆时针方向；2.计算下列曲面积分：（1），其中是界于平面及之间的圆柱面；（2），其中为锥面的外侧；（3），其中为半球面上侧；3.证明：在整个平面除去的负半轴及原点的区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。4. 计算曲线积分，其中是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。解法一 在内作一圆：，方向逆时针 由格林公式有 = ： 法二: 由参数法将得积分代入四部分之和5计算 ，其中为锥面介于平面及之间部分的上侧。解 添加，取下侧 由高斯公式得 （由对称性知，） 而
