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1、分类号 论文选题类型 师范类教育研究U D C 编号 本科毕业论文（设计）题 目 中学数学直观性教学与生动性教学的 实现 华中师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。学位论文作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文
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3、像直观 5 2.4.2 运用语言直观 63. 中学数学生动性教学的实现 7 3.1 创设情境结合苏格拉底“产婆术”7 3.2 设计课堂小试验 8 3.3 语音语调体态8 3.4 结合多媒体教学 104. 结 语11参考文献12 内容摘要：本文以高中数学知识的教学为例，主要探讨直观性教学与生动性教学在中学数学教学的实现方式，旨在让学数学变得简单有趣，提高学生的主观能动性，从而促进有效教学的实现。关 键 词：高中数学 直观性教学 生动性教学Abstract: In this paper, we mainly discuss measures to implement intuitive and v
4、ivid teaching by examples of the teaching of senior high school mathematics. We aim at making mathematics learning easier and funner and improving the subjective dynamics of students, thus promoting the effective teaching.Keywords: senior high school mathematics intuitive methods of teaching vivid m
5、ethods of teaching1. 中学数学直观性教学与生动性教学的理论依据及意义直观性教学是指在教学过程中，通过实物、模型、语言的形象描写，使学生对要学习的事物形成清晰的表象，丰富学生的感性经验，为学生形成新概念，掌握新规律奠定基础。生动性教学是指用具有活力能感动人的方式进行教学活动。直观形象利于学生理解记忆抽象的数学结论。在中学数学的教学中，利用语言直观、图像直观、模型直观来处理数学中的一些问题，可以适当降低数学学习的难度。如果直观性教学运用微妙，还可让学生体会代数与几何，数与形的转换联系的奇妙。传统数学课堂是相对比较枯燥的课堂，采取一些措施使课堂生动起来，提高学生的主观能动性，对课
6、堂效率的提高大有裨益。教育心理学研究结果也表明：学习某一份材料，单凭听觉学习记忆率为16 %，单凭视觉学习记忆率为27 %，而视听并用记忆率可达66%1 。直观性教学和生动性教学再结合起来，我们的数学课堂将会变得简单有趣，学生也会想去学敢去学数学，这样我们数学课的有效教学才能得以实现。2. 中学数学直观性教学的实现 2.1 对抽象概念直观解释中学数学中抽象概念是少不了的，如果能给予这些抽象概念直观解释，学生理解起来将会事半功倍。特别是一些有几何背景的代数概念，用直观的几何解释出来，教学效率将会大大提高。例如高中数学中的导数、定积分的概念，这些都是属于高等数学的知识，对于高中生来说是一个学习难点
7、，我们可以借助直观解释去突破难点。在新人教A版高中教材2中，导数是先由变化率提出，再解释其几何意义。笔者认为由导数的几何意义出发，再提出变化率的概念，这样学生更容易接受这个抽象概念。先提出曲线切线的概念，然后去找切线的斜率，最终提出函数在某一点切线的斜率就是函数在该点的导数。如图1所示，当趋近于时，函数在点的割线会趋于函数在点的切线，这条切线的斜率就称为函数在点的导数。我国著名数学家徐利治先生说过“无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了”3。这里是类似的，有了对导数的直观印象之后，再提出变化率的概
8、念，进而揭示导数与变化率的关系，这样学生将会有更深刻的理解。图1 2.2 提高知识的应用性（模型直观）数学是许多学科的基础学科，是一门应用性很强的学科。在中学数学的教学中，仅仅教授学生抽象的概念、定理，培养其严谨的数学逻辑思维能力，提高做题运算技巧，往往会使学生感到单调乏味。因此在中学数学的教学中加入一些应用性的东西，会使我们的数学“生动”许多，也更利于学生理解应用知识。在高中数学中，函数的强应用性毋庸置疑，我们一般是由具体的实际问题中抽象出函数模型。类似的还有线性规划，也是从实际应用中抽象出来的模型。所以在讲授此类知识时，我们建议这样处理：先提出一个实际问题，然后抽象出数学模型，再去研究这个
9、数学模型的解法，最后回归到最初提出的问题，应用研究结果去解决它。如此带着问题学习，带领学生感悟数学知识的发展过程，在解决过程中掌握知识，把“冰冷的美丽”与“火热的思考”结合起来。例如高中数学计数原理的教学，这一章是一个难点。这一阶段，学生会遇到许多棘手的问题，让他们无从下手，这时教师就可以在模型中教学。我们有“捆绑、插空、插板、分组”等模型，下面以分组模型为例说明在模型中教学。可以大致分为三步进行。第一步，2个人平均分成2组。许多同学可能会脱口而出，有种分法。实际上，和两人分成2组就1种分法：一组是，另一组是。上面那种算法，是把一组是，另一组是与一组是，另一组是看成了两种分法，但实际上应该是同
10、一种分法。这种错误的算法无意中把组排序了，所以算重复了。正确的算法应是种分法。类似的3人平均分成3组，应是种分法。第二步，4个人平均分成两组。，四人分成两组，有3种分法：与，与，与。算式为。类似的6人平均分成3组，应是种分法。至此，可以得出结论：平均分组，选好后要除以组数的阶乘。第三步，5个人分成3组，一组1人，另两组各2人。由“特元优先”的原则，我们先选出一人组，即。余下4人分成2组，每组各2人，这就回归到平均分组问题了，有种分法。所以总共的分法为种。 2.3 结合数学软件教学随着现代科学技术的发展，多媒体在中学越来越普及。在传统的“黑板教学”中加入数学软件的操作，会激发学生对数学的学习兴趣
11、，能够让学生“提神”。对于中学数学教学来说，专用的数学软件几何画板、超级画板或者GeoGebra，一些Excel的简单应用就足够了。几何画板、超级画板或者GeoGebra除了能绘制静态的几何图形外，还可以做一些几何动画。在基本初等函数的性质教学过程中，可以先使用他们做出函数图像，由直观感受到函数性质，再去证明其性质，这样学生的印象会更深刻。再如研究不同底数的指数函数，在同一坐标系中的相对位置。我们可以直接用几何画板先做出一个指数函数的图像，再去变换其底数，学生可以从图像的变换中留下直观的印象。Excel是比较容易操作的可以进行数据分析的软件，必修3中均匀随机数、整数值随机数、相关关系的研究等都
12、可用Excel来讲解。超级画板的轨迹功能在圆锥曲线中有许多应用，下面以椭圆为例说明数学软件在教学中的直观应用。方式一 ：利用椭圆的基本定义，平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹。打开超级画板，以A为圆心过B作圆，在圆内取一点C，在圆上任取一点D，连接线段AD、CD，作线段CD中点E；过点E作线段CD的垂线交AD于点F；作点D的动画，再跟踪点F，观察点F运动所得轨迹，如图2所示.由平面几何知识易知FA+FC等于圆的半径，这表明点F到定点A和C的距离之和为定值，因此当点D在圆上运动时，点F的轨迹是以A、C为焦点，以圆半径为长轴的椭圆。 图2方式二：利用椭圆的参数方程。在学习椭圆概念的过程中， 两
13、个同心圆生成椭圆是学生必须理解和掌握的内容，但教学过程中往往只是教师的描述，没有直观的展示，利用超级画板可以实现这个动态过程.如图3所示，通过这个动态过程的观察和学习，学生更容易体会到椭圆参数方程的意义。 图32.4 运用图像直观和语言直观2.4.1 运用图像直观图像直观主要是指教师在具体的教学过程中，利用具体的图像对数学概念进行直观表现。与这一点联系最紧密的当属“数形结合”这一重要的数学思想了。比如涉及函数极值时，把单调性的表格列出后，可以画一副函数图像的草图，这样就容易判断是极大值还是极小值，函数的单调性也更为直观，利于我们分析题目。还有解析几何的教学中，数形结合思想的渗透也是一个重点。再
14、来看一个具体的例子：（2013辽宁，11）已知函数，。设，。记的最小值为，的最大值为，则（ ）A.16 B.-16 C. D.分析：此题初看起来好像无从下手，但是如果能想到作图，问题就迎刃而解了。令解得或，刚好在两个对称轴处相交。与的图像如图4。由图易知，的最小值是，的最大值为，故，答案为B。 图4直观的图像可以促进我们快捷甚至巧妙的解决问题。不仅如此，图像直观还有利于学生理解概念，比如韦恩图在集合教学中的应用。2.4.2 运用语言直观苏霍姆林斯基在谈到教师的素质时指出：“教师的语言修养，在很大程度上决定着学生在课堂上的脑力劳动的效率”。语言直观主要是指教师在教学过程中，对抽象的数学概念用形象
15、的语言进行阐释，让学生通过动员和组织原有知识和生活经验，对所学知识形成清晰的表象，深入浅出地理解数学的一种直观教学方法。有的问题用图像也不够直观，但用文字就可以轻易做到。比如积线成面的定积分，这是高等数学的内容，学生不容易理解。我们可以这样解释：正如织布一样，布是一个面，而这个面却是一根一根的细纱紧密排列在一起而成的。“织”与“积”两者原理相近。这样用文字给予数学概念一个表象，学生就容易接受理解了。再如线面垂直，我们可以用“大漠孤烟直”去想象；直线和圆相切，我们可以用“长河落日圆”去想象。把古诗词融入数学课堂，既给予学生抽象的数学概念的表象，又让学生领略到中国诗词文化的博大精深，这样的课堂必然
16、是直观生动的。3. 中学数学生动性教学的实现 3.1 创设情境结合苏格拉底“产婆术”在胡典顺老师等所著数学教学论4中，介绍了五种创设情景的方式：创设实际问题情境；创设操作、实验、观察的问题情境；从类比猜想中创设情境；立足于数学的内部矛盾，开门见山创设问题情境；立足于数学的概括、抽象过程及实质，创设问题情境。无论哪种方式，都可以自然生动的导入数学课题。此时，如果再结合苏格拉底的“产婆术”，把问题情境“进行到底”，一节连贯生动的数学课就诞生了。古希腊著名的哲学家、教育家苏格拉底，在与学生的谈话中，并不直截了当地把学生想知道的结论告诉他们，而是通过讨论、问答甚至辩论的方式进行引导，使得学生自己得出正
17、确的答案。苏格拉底的母亲是一个接生婆，他受母亲影响，把教师形象地比喻为“知识的产婆”，而这种教育方式则被后人称为“产婆术”。“产婆术”包含三个基本步骤，即讥讽、助产、归纳和定义。讥讽即苏格拉底通过不断的提问让对方陷入矛盾之中，承认自己的无知；助产是苏格拉底启发、引导学生，使学生自己思考得出结论；归纳与定义是使学生逐渐掌握明确的定义和概念。显然，“产婆术”与新课改的理念是不谋而合的，这里强调情境教学与“产婆术”的结合，下面举例来说明。这是课题为“直线与平面垂直（1）”的一节公开课的教学片断5。师：前面我们研究了直线与平面的位置关系，请大家回忆一下，一条直线与一个平面的位置关系有哪几种？生：平行、
18、相交和直线在平面内这三种位置关系.师：很好！现在请大家观察这里的几幅图片（多媒体分别展示了：旗杆桥柱电视塔比萨斜塔的图片）如果把旗杆、桥柱、电视塔和斜塔分别抽象成直线，而把地面与桥面分别抽象成平面，请问这里的直线与平面都是什么样的位置关系？生：都是相交的追问：与最后一张图片相比，前三张图片中的直线与平面间的位置关系给人的感觉有何特殊性？生：垂直师：那么什么叫做直线与平面垂直？又如何判定直线与平面垂直呢？这就是我们今天这节课将要研究的问题.这是创设情境引入新课了，下面就是施展“产婆术”了。问题1 如果比萨斜塔真的倒了，它会向哪个方向倒去？生：略.问题2 如果从斜塔所在直线与地面上过塔基的直线所成
19、的角度来考察，你认为它为什么会向这个方向倒去？生：因为这个方向的角度最小师：那么前面的旗杆、桥柱、和电视塔为何不会倒？生：因为它们与地面或桥面上每个方向上的直线所成的角都相等，都等于90.问题3 由此，你认为什么情况下直线就与平面垂直了呢？生：当直线与平面内所有方向上的直线都垂直时，直线就与这个平面垂直.问题4 进一步地，当直线与平面垂直时，这条直线与平面内的任意一条直线是何位置关系？理由是什么？生：因为相互平行的直线与同一条直线所成的角相等，所有这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.问题5 这里的“所有”能不能换成“任意”？生：可以.追问：能不能改为“无数”呢？生：不可以.这样一气呵成探究式
20、的教学方式，能很好的引导学生发现事物的本质和核心。同时，探究对话式的方式使得数学课堂不那么枯燥死板，可以增强学生的参与性。 3.2 设计课堂小试验让学生在玩儿中学知识是教学中的最高境界了，数学课堂也可以做到，如果加入一些小试验。笔者曾经接连听过两节“随机事件的概率”，一节由一名高级教师讲授，另一节由一名实习生讲授。高级教师在讲授硬币试验时，让同学们两或三人一组拿出硬币做试验。先是每组抛掷10次，统计正面朝上的频率，做完试验的小组直接说出来，由教师记录在黑板上；再是三个小组把试验结果合起来，又得到一组频率；最后是10个小组把试验结果合起来，得到一组频率。做试验时，基本上每个学生都参与其中，积极的
21、做试验，统计结果，课堂上非常“热闹”。当然做完试验后，教师再去讲解频率与概率。学生就容易理解并掌握“概率是稳定的，频率是概率的近似”。实习生在讲授硬币试验时，只是把教材给的试验过程解释了一遍，最后给出一个条形图，根据条形图再去讲解，并未让学生亲自做试验。课堂上非常“安静”，基本上是教师的“独角戏”。同样是硬币试验，前者让学生操作了，而后者没有。试验揭示的数学知识必然是前者的学生理解记忆更深刻，因为那是学生自己试验得出的结论。做试验可以激发学生的学习兴趣，让学生主动参与课堂，让其在玩儿中学到知识。教师引导学生让其自己去探索知识必然会成就生动的课堂。 3.3 语音语调体态在概念、公理、定理、逻辑推
22、理、论证、数学思想方法等组成的数学知识中，经常有些关键点需要教师去强调。要突出这些关键点，除了口头强调和做重点记号外，语音语调体态也是很重要的途径。许多新教师常犯的毛病就是“一节课一个调子”，这样的课学生听着会很累，真正听进去的东西有多少可想而知。老教师讲课就不同，他们讲课有“抑扬顿挫”，有语音语调的调整，这样的数学课堂必然是生动的。学生听起来“有味道”，才能更多的吸收教师传达的数学知识。例如算法中电脑语言“”，我们读作“把赋值给”，停顿不同，重读不同，给出的强调的点也会不同。能通过语音语调的调整让学生潜意识记住你的关键点，这才是高手。在数学教学中，体态也是尤为重要的。有些运动变化的东西，想办
23、法通过体态表现出来，这样会使我们的数学知识“生动”许多。例如在讲授直线的斜率时，有许多求直线斜率或者倾斜角范围的题目。我们来看一个具体例子：（2012青岛模拟）实数x，y满足，则的最大值、最小值分别为_.分析：法一、数形结合（由斜率公式，找其与的联系）设，则表示线段AB：上的点与原点连线的斜率，其中A(1，-1)，B(3，2)。由图5易知的最大值为，最小值为. 法二、代数方法（二元化一元，消元）图5在第一种做法中，找到与斜率公式的联系后，下一步就转化为找斜率最值。这个过程可以通过手势或者教棍来完成：手或者教棍绕点旋转，从到，这就确定了活动范围，这样斜率最值就显而易见了。通过体态表现数学中的变化
24、过程，如此数学课堂便会生动许多。 3.4 结合多媒体教学多媒体的“遍地开花”给各科教学带来许多便利，数学学科也不例外。数学中往往有演算过程，有了多媒体，我们可以直接把这些过程投影出来。变板书为投影使得数学教学的效率提高了很多。除此之外，在课堂中融入多媒体课件，可以大大提高学生的学习兴趣，从而促进数学课堂的有效教学。下面以立体几何为例说明多媒体教学在数学课堂的应用。立体几何对学生的空间想象能力要求很高，在此之前学生接触的都是平面几何。因此刚接触这个新领域时，学生可能会感觉很难上手，遇到问题会无从下手。我们可以借助多媒体来帮助学生们度过这个“难关”。在立体几何这一块，多媒体最基本的功能就是通过改变
25、直线颜色、平面颜色与填充效果或者制作一些动画来增强立体感，用现在时尚的一个词就是“3D effect（三维效果）”。例如我们讲线面垂直，一方面可以在课件里加入一些带有线面垂直关系的实物图，如图6：图6第一幅图有旗杆与地面垂直，第二幅图有桥墩和桥面垂直，第三幅图是比萨斜塔，塔和地面不垂直。用实物图中的垂直和不垂直给学生直接的视觉冲击，这样生动直观的演示再结合教师的提问可以直接引发学生的积极思考。另一方面，我们可以改变直线颜色、平面颜色与格式，来提升立体感。如图7：图7第一幅图大概就是板书的效果了，第二幅图给平面和直线上了颜色，立体感稍微强一些，第三幅图增加了色差，立体感最强。对比起来，第三幅图显
26、然更加直观生动。对于更复杂的图形，这种方法更加适用。尤其是具体的题目中，改变平面或直线颜色，可以让图形中的几何元素关系更清晰，更利于学生观察解决问题。至于动画方面，除了翻折、移动这样简单的动画外，还有一些复杂的动画，立体感更强，比如让一个几何图形旋转、变形、作截面、作展开图。当然这些对于教师来说，也许不容易做到，不过我们可以直接从网上下载。平时没事的时候，教师也可以留心积累一些这样的动画，对我们讲课将会大有裨益。4. 结语直观性教学和生动性教学在中学数学教学中发挥着重要的作用，他们可以使我们的数学教学事半功倍。笔者想强调的是，各种实施方式并不一定是独立使用，几种方式结合起来效果会更好。比如数学
27、软件和多媒体可以结合使用，还可以再加入图像直观和语言直观等。教师在具体的教学过程中，要根据学生实际、结合教材具体内容，采取适当的实施方式，并能够灵活运用，提高教学质量和效果。参考文献：1 李玉琪. 数学教育概论M. 北京:中国科技出版社, 1994:179.2 刘绍学等. 普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（A版）M. 北京: 人民教育出版社，2008.3 徐利治. 谈谈我的一些数学治学经验J. 数学通报，2000,39(5):1-3.4 胡典顺，徐汉文等.数学教学论M.武汉:华中师范大学出版社,2012:162-163.5 李生，王克亮.让直观演示也散发出理性的光芒J. 数学通讯, 2013,8: 19-20.
