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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 长沙理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 鲁岳 2. 段熙 3. 于彤 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012年 7 月 27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：深圳人口与医疗需求预测摘要 深圳市可谓是我国的高新城市，经济崛起之快令人咋舌，一个城市要保持长久的活力与兴盛，
3、医疗卫生系统的建设与完善是重中之重。 由近三十年的数据分析，我们发现深圳市人口具有流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势的特点，根据社会发展的一般规律，我们预见深圳市未来老龄人口将急剧增加，深圳市的医疗系统将面临巨大的变化与压力，为此我们希望建立合理的模型，给深圳市未来医疗系统完善提供可靠数据。首先针对问题一我们对深圳已有的近十年（2001-2010年）总人口、户籍人口和非户籍人口的数据进行处理，建立灰色预测GM（1,1）模型，用Matlab编程得出未来十年深圳市人口数情况和人口结构的发展趋势。以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需要。床位在一定程度上反映了医疗设施水平，而国民生产总值
4、和卫生投入会影响医疗设施水平，则进一步影响床位需求。由于影响床位需求的因素复杂且较多，这里只考虑GDP、卫生投入和年龄段结构三个因素对床位的影响。为了方便计算，把年龄段非为三个阶段：儿童、青壮年和老年。首先根据已有数据预测未来10年的GDP、卫生投入和三个年龄段的人数。各个年龄段的人数只有2000、2005、2010年的数据，根据这三年各年龄段的比例拟合函数求出2001年至2010年的各年龄段的人数比例，然后建立灰色预测模型，预测出未来10年各年龄段的人数比例，便得到各年龄段的人数。根据调查结果得出各年龄段的住院率，计算出三个阶段的住院人数，在excel中根据已有数据求解得回归系数和截距。根据
5、2001至2010年的床位数据运用灰度预测可得到未来10年的床位数。用求得的回归系数和截距计算出未来十年的床位数，然后两组数据进行比较检验。发现公式预测的结果准确。假设深圳市各地区的患病率相同，则每个地区的床位数即为总的预测床位数乘以各地区人口占总人口的比例。选取少儿肺炎和高血压两种病预测在不同的医疗机构就医所需的床位数。查阅相关资料得到2001年至2010年少儿肺炎和高血压的发病率，该比例均为相对总人口而言的，所以不用考虑年龄的问题。对已有的10年患病率数据进行灰色预测，得出未来10年该病的发病率。未来10年的总人口数已经预测出来，所以算出未来10年少儿肺炎和高血压的患病人数。划分医疗机构为
6、国有、集体合资、股份有限、私有和其他五大类。为不同的医疗机构设置权重来达到不同医疗机构合理的床位数预测值。不同的医疗机构我们考虑它的机构数、床位数、人员合计数，并设置权重分别为0.2、0.5、0.3。算得不同类型机构的权重。用总的患病人数与不同类型机构的权重相乘得到未来10年少儿肺炎和高血压在不同的医疗机构的床位预测。 【关键词】 人口、床位、预测一、问题重述 深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事
7、第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入
8、情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1. 分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求； 2. 根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。二、基本假设2.1基本假设1、假设题中附件3给出的2005年人口的预测数据较为准确，具有参考价值；2、假定国家今后十年的经济政策不发生根本性变化，
9、使深圳市经济能够持续稳定发展，且人口政策不改变；3、假设深圳各地区的患病率相同，且患者就医率相同并在当地治疗；4、不考虑自然灾害等突发情况对人口的影响，认为该过程中没有特别的突发病影响；5、虽然老年人口比例会增加但人口结构不会出现老龄化；6、不考虑个人差异，即相同的病在相同的医疗器械治疗下的时间相同，住院时间相同；7、假设各种病的患病率不随时间改变； 三、问题分析和基本思路3.1问题分析和建模思路 考虑题设，我们依据深圳市近10年来人口增长趋势对今后十年人口变化进行灰色预测。然后，通过对2000年，2005年，2010年数据的分析、对比，我们发现深圳市各年龄段人口数占总人口的比例大约保持不变，
10、这可能是本地人口的繁衍综合外来人口造成的。据此我们做出拟合比例函数，进一步求出2000年至2010年每一年各年龄段人数情况，并据此预测今后十年的各年龄段所占的比例。最后，我们通过查阅资料，得出各年龄段人口的住院率。为了方便计算把各年龄段人口划分为三个阶段（儿童、青壮年和老年）并通过excel中的宏进行计算，最终求得未来10年的床位数并以此为依据计算需要的病床数。另外根据2000年至2010年的床位数数据进行灰色预测得到另外一组数据，将两组预测数据进行比较检验。假设各区的率相住院率同，则可求出深圳市各区的床位数。选取少儿肺炎和高血压两种病，根据2001年至2010年的这两种病的发病率进行灰色预测
11、得出未来10年的发病率数据。进一步求得所需的床位数。并且引入权重的概念预测不同类型医院的床位数。划分医疗机构为国有、集体合资、股份有限、私有和其他。通过考虑不同医疗机构的机构数（0.2）、床位数（0.5）、人员合计数（0.3），构造函数求得不同医疗机构的权重。根据权重合理的计算出不同医疗机构的床位数。3.2思路流程图拟合各年龄段的人口比例灰色预测未来十年总人口数查阅资料得出各年龄段的患病率医疗床位需求 四、模型的建立与求解4.1 GM（1，1）模型（灰色模型）的建立与求解以预测未来十年人口4.11 2001-2010年深圳人口变化趋势图首先我们做出深圳市近十年（2001-2010年）的人口变化
12、趋势图（见图1），蓝色系列1为户籍人口数据曲线，红色系列2为非户籍人口数据曲线。图1 深圳2001-2010年户籍与非户籍人口变化趋势图4.12 对未来10年总人数的预测设有n个观察值，通过累加生成新序列 ，其中为个2001年到2010年的总人口数据：X(0)=（724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1,912.37,954.28,995.01,1037.2）X(1)=（1471.19,2249.46,3050.26,3878.01,4749.11,5661.48,6615.76,7610.77,8647.97）则GM（1，1）模型相应的微分方程为： （4
13、3）其中：为发展灰数；为内生控制灰数。设为待估参数向量，可利用最小二乘法求解。解得： （44）其中：，将代入微分方程式，解出为： （45）运用Matlab编程（程序代码见附录1）得到人口总数：表1 预测深圳未来10年的人口总数2011201220132014201520162017201820192020预测人口总数1079.381125.651173.911224.231276.721331.451388.531448.061510.141574.88Matlab拟合图形见图2图2 未来10年总人口预测图4.13 预测未来10年常住人口 设X(0)为2001年至2010年常住人口数：X(0)
14、=（132.04,139.45,150.93,165.13,181.93,196.83,212.38,228.07，241.45，251.03）； 通过累加生成序列X(1)=（132.04,271.49,422.42,587.55,769.48,966.31,1178.69,1406.76,1648.21,1899.24）; 同样运用灰色预测模型，用Matlab编程（程序代码见附录1）得到预测未来10年的常住人口数（见表2）：表2 预测未来10年常住人口数2011201220132014201520162017201820192020预测常住人口数278.51299.73322.57347.1
15、5373.60402.07432.71465.68501.16539.35 Matlab拟合图形（见图3）图3未来10年常住人口预测图4.14 预测未来10年非常住人口 设X(0)为2001年至2010年非常住人口数：X(0)=（592.53,607.17,627.34,635.67,645.82,674.27,699.99,726.21,753.56,786.17 ）； 通过累加生成序列X(1)=（592.53,1199.7,1827.04,2462.71,3108.53,3782.8,4482.79,5209，5962.56,6748.73）; 同样运用灰色预测模型，用Matlab编程（程
16、序代码见附录1）得到预测未来10年的非常住人口数（见表3）：表3 预测未来10年非常住人口数2011201220132014201520162017201820192020预测非常住人口数802.70829.40857.00885.50914.90945.40976.901009.401042.901077.70Matlab拟合图形（见图4）：图4 未来10年非常住人口预测图4.15深圳市人口结构预测综合未来10年深圳常住人口、非常住人口和总人口的预测数据得到深圳市人口结构预测图（如图5）图5 深圳市人口结构预测图计算深圳未来10年常住人口与非常住人口占总人口的比例得到深圳市人口结构比例预测图
17、（如图6）图6 深圳市人口结构比例预测图4.2 预测未来全市和各区医疗床位需求4.21 分析与思路床位在一定程度上反映了医疗设施水平，而国民生产总值和卫生投入会影响医疗设施水平，则进一步影响床位需求。由于影响床位需求的因素复杂且较多，这里只考虑GDP、卫生投入和年龄段结构三个因素对床位的影响。为了方便计算，把年龄段非为三个阶段：儿童（0-14）、青壮年（15-65）和老年（65 以上）。这就需要我们预测未来10年的GDP、卫生投入和三个年龄段的人数。各个年龄段的人数只有2000、2005、2010年的数据，根据这三年各年龄段的比例（见附录2）拟合函数（见附录3）求出2001年至2010年的各年
18、龄段的人数比例（附录4），然后建立灰色预测模型，预测出未来10年各年龄段的人数比例(附录5)，便得到各年龄段的人数。根据调查结果得出各年龄段的住院率（附录7），即可得出各阶段的住院人数，在excel中根据已有数据求解得回归系数和截距。根据2001至2010年的床位数据运用灰度预测也可得到未来10年的床位数（附录5）。用求得的回归系数和截距计算出未来十年的床位数，然后两组数据进行比较检验。发现公式预测的结果准确。4.22 模型的建立与求解 为了综合GDP、卫生投入和年龄段结构三个因素对床位的影响引入矩阵的算法，将各个因素转化成矩阵表4 各符号说明符号yxk定义预测值变量相关系数截距列出预测公式如
19、下X1 X2y1 y2 yn=1 2 n+k Xn表5 已知数据年份卫生投入（X1）GDP（X2）儿童住院数（X3）青壮年住院数（X4）老年住院数（X5）床位数（y）200194937.0 1954.6 12466.4421866410284.7111159.0 2002105817.0 2256.8 13097.13225115.910902.412404.0 2003127010.0 2860.5 13905.19234385.31168213588.0 2004115333.0 3422.8 14577.282409241227115069.0 2005137847.2 4926.9 1
20、5346.49248676.413022.7216824.0 2006164970.2 5813.6 16443.41261392.614060.3117553.0 2007223670.2 7050.8 17518.87273530.315013.0318086.0 2008281265.4 7800.0 18644.82285744.616002.3219913.0 2009306253.6 8245.0 19775.5329764517091.3921399.0 2010336483.2 9510.0 20997.730985818337.0922842.0 在excel中运用宏，选择数
21、据分析中的回归。即可计算出结果见表6：表6 回归系数和截距结果Coefficients标准误差Intercept23791.5330898.08X Variable -0.021280.009109X Variable 0.0316050.416986X Variable 11.947856.911037X Variable -0.491440.365905X Variable -5.044664.350534得到具体的预测公式的表达式为X1X2y1 y2 yn=0.009109 0.416986 6.911037 0.365905 4.350534+23791.53xn 为预测未来10年的床
22、位数做数据准备，计算得到未来10年的卫生投入（x1）, GDP（x2）,儿童住院数（x3），青壮年住院数（x4），老年住院数（x5）的数据（见表7）表7 预测数据表年份卫生投入(X1)GDP(X2)儿童住院数(X3)青壮年住院数(X4)老年住院数(X5)2011410900.0 11851.0 22250322620194842012483600.0 13852.0 23623336130207992013569200.0 16190.0 25080250200222032014669900.0 18924.0 26627364860237012015788300.0 22119.0 2826
23、9380130153012016927800.0 25854.0 300133960501700920171091900.0 30220.0 318654126301883220181285000.0 35322.0 338304299003077020191512300.0 41286.0 259174479003285520201779800.0 48257.0 3813346665035070运用具体的预测公式和表7中的预测数据计算出未来10年的床位数（见表8）表8 预测公式床位数2011201220132014201520162017201820192020床位数24423260712
24、687829426314703301634445352653929146803运用灰色预测根据2001年到2010年的床位数预测出未来10年的床位数（见表9）表9 灰色预测床位数2011201220132014201520162017201820192020床位数24697265452853030665329593542538075409234398447275比较两组数据每一年的床位数发现没有较大的差异这说明预测公式的预测结果还是比较准确的。通过查阅资料得到了2010年深圳市各地区人口分布情况（见图7）图7 2010年深圳市各地区人口分布情况假设深圳市各区的住院率相同根据预测公式预测的未来1
25、0年的床位数乘以各区所占的人数比例即得到未来10年深圳市各区床位数的预测（见表10）表10 未来10年深圳市各区床位数的预测表光明新区坪山新区罗湖区福田区南山区宝安区龙岗区盐山区2011732.692173.653101.722613.269476.124738.06488.461123.462012782.132320.323311.022789.6010115.555057.77521.421199.272013806.342392.143413.512875.9510428.665214.33537.561236.392014882.782618.913737.103148.581141
26、7.295708.64588.521353.602015944.102800.833996.693367.2912210.366105.18629.401447.622016990.482938.424193.033532.7112810.216405.10660.321518.7420171033.353065.614374.523685.6213364.666682.33688.901584.4720181057.953138.594478.663773.3613682.826841.41705.301622.1920191178.733496.904989.964204.1415244.
27、917622.45785.821807.3920201404.094165.475943.985007.9218159.569079.78936.062152.944.3 少儿肺炎、高血压在不同的医疗机构就医的床位需求预测查阅相关资料得到2001年至2010年少儿肺炎和高血压的发病率（见表11），由于该比例均为相对总人口而言的，所以不用考虑年龄的问题。对已有的10年患病率数据进行灰色预测（程序代码见附录6）得出未来10年该病的发病率（见表12）。由于未来10年的总人口数已经预测出来，则可以算出未来10年少儿肺炎和高血压的患病人数（见表13）表11 少儿肺炎和高血压的发病率20012002200
28、32004200520062007200820092010少儿肺炎0.19230.19050.18860.18660.18470.18280.18090.1790.17720.1753高血压0.02040.021250.022160.023040.02480.025680.026560.027440.028320.0292表12 未来10年少儿肺炎和高血压的发病率2011201220132014201520162017201820192020少儿肺炎0.17370.17190.17020.16840.16670.1650.16330.16170.160.1584高血压0.03080.0320.
29、03330.03470.03610.03750.03910.04060.04320.044表13 未来10年少儿肺炎和高血压的患病人数2011201220132014201520162017201820192020总人口数1079.381125.651173.911224.231276.721331.451388.531448.061510.141574.88少儿肺炎187.49193.50199.80206.16212.83219.69226.75234.15241.62249.46高血压33.2436.0239.0942.4846.0949.9354.2958.7963.8869.29划分
30、医疗机构为国有、集体合资、股份有限、私有和其他。所有的患病人数要分配到不同医疗机构就医。为不同的医疗机构设置权重来达到不同医疗机构合理的床位数预测值。不同的医疗机构我们考虑它的机构数、床位数、人员合计数（相关数据见表14），并设置权重分别为0.2、0.5、0.3。构造函数：M=*m+*l+*n来算出各类型医院通过权重算出的数据，再通过数据所占的比例可以得到医院的权重R，即可将病床数分给医院。算得不同类型机构的权重（见表15和图8）。用总的患病人数与不同类型机构的权重相乘得到未来10年少儿肺炎和高血压在不同的医疗机构的床位预测（见表16、表17）。表14 不同类型机构的相关数据表机构数(m)床位
31、数(l)人员合计(n)国有3621924751264集体合资14297963股份有限20163597私有1357285713775其他42278917表15 不同类型机构的权重国有集体合资股份有限私有其他权重0.7827460.0137410.008260.1820650.013189图8 不同类型的机构的权重饼图通过函数P2=R*P1可得每个医院所分得的病床数，即可得到下表表16 少儿肺炎在不同医疗机构的床位预测表国有病床数集体合资病床数股份有限病床数私有病床数其他病床数2011147323532012152323632013157323732014162323832015167323932
32、0161724240320171784242320181844243420197121172202019643464表17 高血压在不同医疗机构的床位预测表国有病床数集体合资病床数股份有限病床数私有病床数其他病床数201127117120122911712013311181201434118120153711912016401110120174311101201847111112019511112120205511131五、模型的分析一、优点分析1、对题目所给的数据我们进行了充分的利用。充分利用2001年至2010年深圳市总人口、户籍人口和非户籍人口的数据运用灰色预测模型预测未来10年的总人口
33、和人口结构问题。用2000年、2005年、2010年的各年龄段人口数据拟合比例函数，得到2000年到2010年10年的各年龄段人口数据。2.在求病床数的时候，我们通过公式求解和灰色预测检验两种方法确定结果，更加保证了数据的准确性。3.在综合权重求病床数时，我们采用了矩阵分析法，进行excel的宏运算，减少了计算量。二、缺点分析1、有的数据是通过预测得到的。因为对每个年龄段的人数求解时，我们只知道三年的数据就对它进行拟合，所以他会有很大的误差，但是考虑到它只间隔10年，误差不会过大。三、模型的改进在问题二中我们只考虑了卫生投入、GDP和人口结构三个因素，事实上还有好多复杂的自然和社会条件要考虑，比如：当地人口政策，医疗改革进程等。如果考虑更多因素，结果会更加准确。
