历各地高中数学青教师解题竞赛试题及参考答案（上）.doc

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1、1. 2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2. 2002年秋季广州市高中数学青年教师解题比赛试题3. 2003年广州市高中数学青年教师解题比赛试题4. 2005年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题5. 2004年广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题6. 2005年常州市武进区高中数学教师解题竞赛试题及参考答案2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分（1）常数T满足和,则T的一个值是（ ） （A） （B） （C） （D）（2）在等差数列中，,则的值为（ ） （A）24 （B）22 （C）20 （D）（3）设点P

2、对应复数是,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）设A、B是两个非空集合，若规定：,则等于（ ）（A） （B） （C） （D）（5）函数的图象与直线的交点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）0或1（6）设函数（其中）,则是为奇函数的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）如图，在斜三棱柱中，BAC90，过作底面ABC，垂足为，则（ ） （A）在直线AC上 （B）在直线AB上 （C）在直线BC上 （D）在ABC内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超

3、过3分钟收费0.2元；超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象可表示为（ ）（A） （B） （C） （D）（9）以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）（10）已知的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含项的系数是（ ）（A）56 （B）80 （C）160 （D）180（11）AB是过圆锥曲线焦点F的弦，l是与点F对应的准线，则以弦AB为直径的圆与直线l的位置关系（ ）（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）由离心率e决定（12）定义在R上的函数的反函数为，则

4、是（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）满足题设的函数不存在第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中的横线上（13）函数的反函数是 （14）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为,则其顶点坐标为（15）如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则直线AF、CE所成角的余弦值为 （16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 种

5、不同情况（用数字作答）.区（县级市） 学校 考生号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题三、解答题：本大题共6小题，满分74分 （17）（本小题满分10分）已知复数，其中A、C为ABC的内角，且三个内角满足2BAC.试求的取值范围.（18）（本小题满分12分） 已知曲线C上的任一点M（其中）,到点的距离减去它到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线于N.（I）求曲线C的方程；（II）求证：NQ平行于x轴.（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列,使对任意的自然数n，都有.（20）（本小题满分12分）如图，ABC是一个遮阳棚，点A、B

6、是地面上南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影ABD面积最大？（II）当AC3，BC4，AB5，30时，试求出遮影ABD的最大面积.（21）（本小题满分14分） 甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：项 目甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；

7、并确定x、y、z的值，使成本最低.（22）（本小题满分14分）定义在上的函数满足：对任意、,都有；当时，有.证明：（I）函数在上的图象关于原点对称； （II）函数在上是单调减函数； （III）.2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CABBDCBCACDD二、填空题：（13） （14） （15） （16）54三、解答题：（17）（本小题满分10分）解：由ABC的内角关系，又则由从而为所求. （18）（本小题满分12分）（I）解：由题设知：曲线C上任意一点M到定点距离等于它到直线的距离.由抛物线定义知： 曲线C的方程为（注：若不限制

8、，抛物线C还可为,即x轴负半轴）（II）证明：当过点A的直线PQ不与x轴垂直时，斜率存在， 设PQ方程为 由 又直线OP方程为 而点N在直线OP上，也在直线上（证Q、N点纵坐标相等） 故NO/x轴当过点A的直线PQ与x轴垂直时，结论显然成立（19）（本小题满分12分）解：若存在一个等差数列满足题设，则时，有；时，有；时，有.猜想存在这样的一个数列的通项为以下用数学归纳法证明：（1）当时， 满足（2）假设满足题设， 即成立 当时 , 即 则也成立. 综上（1）、（2）知对都有成立. HE（20）（本小题满分12分）（I）解：设H为点O在地面的射影，连结HD交AB于E.则，且OH平面ABD AB平

9、面ABDDE是ABD中AB边上的高又AB是南北方向，CD是西东方向，则CDAB 且CED是CABD的平面角. 在ABD中，要使面积最大，只须DE最大 而CDE中，由正弦定理.（目标函数中均为定值）所以，当DCE90时最大，则DE最大，从而时，遮影ABD面积最大.（II）解：当AC3，BC4，AB5，30时， 为所求.（21）（本小题满分14分）（I）依题设知：又代入上式 则为所求. （II）由题设得 将分别代入、得：此时 当且仅当即时取等号答：当千克，千克，千克成本最低为850元.（22）（本小题满分14分） 证明：（I）由条件可取则 再取则 在上图象关于原点对称（II）令由于.且 及则由（1

10、）（2）得由条件知,从而，故在上单调递减函数. （III）由奇函数的对称性知：在上仍是减函数，且对条件 则有.由式知：时有故.高中数学青年教师解题比赛试卷1若，则的值等于（A） （B） （C） （D）-2若函数y=f（x）的反函数的图象经过点，则此函数可能是3双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于 (A)(B)(C) 4(D) 24圆台母线与底面成450角，侧面积为，则它的轴截面面积是（A）2 （B）3 （C） （D）5若an是无穷等比数列，且a1a2a3=, a2a3a4=，则此数列所有项的和为 （A） （B） （C）1 （D）6设函数（），则下列各式中成立的是 7如图，点P是正方形ABCD

11、所在的平面外一点，则PA与BD所成角的度数为（A）30 （B）45 （C）60 （D）90 9. 有5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站在中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也是一个比一个矮，则这样的派法有(A) 6种 （B）8种 （C）12种 （D）16种10. 设点P在直线上变化，O为坐标原点以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是(A)两条平行直线 （B）一条直线 （C）抛物线 （D）圆11由(x+)100展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有(A)50项 (B)17项 (C)16项 (D)15项DEGFIHABC111212223333445312

12、. 某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不建立部分网线，而使得中心与各部门、各院系都能连通（直接或中转），则最小的建网费用是(A)16万元 （B）14万元 （C）13万元 （D）12万元第卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上)13.如果直线与圆相切，则实数的值为_； 14.已知则= ；15.已知、均为锐角），那么的最大值等于_；16.定义在R上的偶函数f（x）满足：，且在-1，0上是增函数，下面是关于f（x）的判断：（1）f（x

13、）是周期函数；（2）f（x）的图象关于直线x=1对称；（3）f（x）在0，1上是增函数；（4）f（x）在1，2上是减函数；（5）f（2）=f（0），其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分） 已知函数 求函数的周期; 若,求,使函数为偶函数.18.（本小题满分12分）已知函数, 为非零常数， 解不等式; 设时，的最小值为6,求的值.19.（本小题满分12分）PCBA如图，三棱锥P-ABC中，APB=APC=600，PA=3，PB=2，PBC为正三角形（1） 求证：平面PBC平面ABC；（2

14、） 求棱PA与侧面PBC所成的角；（3） 求点B到侧面PAC的距离.20.（本小题满分12分）已知点A（，0）和B（，0），动点P到A、B两点的距离差的绝对值为2,(1) 求动点P的轨迹方程;(2) 过点C（1，1）能否作直线，使它与动点P的轨迹交于两点M，N，且点C是线段MN的中点，问这样的直线是否存在，若存在，求出它的方程，若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）国内某大报纸有如下报道：学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密. 在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案. 一是每年年末加一千；二是每半年结束时加300元. 例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得

15、1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得300+600=900（元），第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元. 如果在该公司干十年，问选择第一种还是第二种的方案所加的工资高？高多少？ 如果第二种方案中的每半年加300元改为每半年加元，问为何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？22.（本小题满分14分）已知在(0,1)是增函数,求实数的取值范围(1) 当时,定义数列满足,且,求证:对一切正整数均有.2003广州市高中青年教师解题比赛试卷一、选择题： 1、下列各式中正确的是（ ） A、0= B、= C、 D、2、若，（0）的周期函数，则是（ ）

16、A、周期为的周期函数 B、周期为2的周期函数 C、周期为的周期函数 D、不是周期函数7、将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到 函数的图象，则是（ ） A、 B、2 C、 D、8、四边形中，则成为空间四面体时，的取值范围是（ ） A、（0，1） B、（1，2 ） C、1，2 D、（0，2）9、定义在R上的奇函数为减函数，设0，给出下列不等式：（1）0；（2）0；（3）；（4）其中成立的是（ ） A、（1）和（3）； B、（2）和（3）； C、（1）和（4）； D、（2）和（4）10、移动通讯公司对“全球通”手机用户收取电话费标准是月租50元+通话费，其中 通话费按每分钟元计算。

17、对“神州行”卡手机用户则不收月租费，只收通话费，其中通话费按每分钟元计算。假如你是移动通讯公司的用户，每月通话时间为分钟，为了便宜，当在下列哪个区间时，你会选择“全球通”？（ ） A、200，240 B、250，290 C、220，260 D、230，27011、某宇宙飞船的运行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面公里，远地点B距离地面公里，地球半径为公里，关于椭圆有以下四种说法：（1）焦距长为；（2）短轴长为；（3）离心率；（4）以AB方向为轴的正方向，为坐标原点，则左准线方程为；以上正确的说法有：（ ） A、（1）（3） B、（2）（4）C、（1）（3）（4） D、（1）（

18、2）（4）12、弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛， 使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有（ ） A、0颗 B、4颗 C、5颗 D、11颗第卷（共90分）二、填空题：（每题4分，共计16分）13、复数是实数，则实数= 。14、若直线 （）始终平分圆周 长，则的取值范围是 。15、ABC的三边成等差数列，且A=3C，则 。16、空间8个点，任意两点连成直线，最多有_对异面直线。三、解答题：17、（本题满分12分）正实数满足，且0，0）的右焦点为，过F作 一条动直线和双曲线右支相交于两点。 （）当存在斜率，试求斜率的取值范围。 （）求证：，并指出等号何时成立？

19、 （）当存在动弦的某一位置，使得的中点在轴上的射影满足条件 ，试求此时双曲线离心率的取值范围。22、（本题满分14分）已知为锐角，且，函数数列的首项，（）求的表达式；（）求证：；（）求证：2，（2且）广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题（考试时间：2004年12月12日9：0011：00）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应题号下）（1）设集合Aa，b，且ABa，b，c，那么满足条件

20、的集合B共有（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）已知a（1，2），b（x，1），当（a2b）（2ab）时，实数x的值为（A）6 （B）2 （C） （D）2，（3）给出四个命题：若直线a平面，直线b，则ab；若直线a平面，a平面，则；若ab，且b 平面，则a；若平面平面，平面，则.其中不正确的命题个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）已知a0，点A（a，a），点B（1，0），则|AB|的最小值为（A）9 （B） （C）3 （D）1（5）已知，函数f（x）2sinx在0，上递增，且在这个区间上的最大值是，那么等于（A） （B）或 （C） （D）（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率

21、分别是、，今三人各投篮一次至少有一人命中的概率是（A） （B） （C） （D）（7）已知复数z1的辐角为，z1的辐角为，则复数z等于（A） （B）（C） （D）（8）若关于x的方程x2xa0，x2xb0（ab）的四个实数根组成以为首项的等差数列，则ab的值为（A） （B） （C） （D）（9）把正方形ABCD沿对角线BD折叠后得到四面体ABCD，则AC与平面BCD所成角不可能是（A）30 （B）45 （C）60 （D）90（10）若以(y2)24（x1）上任一点P为圆心作与y轴相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点（A）（1，2） （B）（3，2）（C）（2，2） （D）不存在这样的点（11）设

22、F1、F2为双曲线1的两焦点，P在双曲线上，当F1PF2面积为1时，之值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）（12）设偶函数f（x）loga|xb|在（，0）上递增，则f（a1）与f（b2）的大小关系是（A）f（a1）f（b2） （B）f（a1）f（b2）（C）f（a1）f（b2） （D）不能确定第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的指定位置上）（13）直线yx绕原点逆时针方向旋转30后，所得直线与圆（x2）2y23的交点个数是_*_.（14）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名到第五名的名次.甲、乙两名参赛者去

23、询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，五人的名次排列共可能有_*_（用数字作答）种不同的情况.（15）过曲线yx32x上点（1，1）的切线方程的一般形式是_*_.（16）当kR，k为定值时，函数f（x）的最小值为_*_.黄埔区高中数学教师解题比赛试题答题卷一、选择题题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）答案二、填空题（13） ； （14） ；（15） ； （16） .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）要把两种大小

24、不同的钢板截成A、B二种规格的材料，每张钢板可同时截得两种规格较小的钢板数如图表： 规格类型钢板类型A规格B规格第一种钢板21第二种钢板12今需A、B两种规格材料分别为12及18张.试求：这两种钢板应各取多少张，才能既满足二种规格成品的需要又能使所用钢板总数最少？（18）（本小题满分12分）已知数列an中，a11，前n项和为Sn，对于任意n2，3Sn4，an，2总成等差数列.（）求a2，a3，a4的值；（）求通项an；（）计算.（19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是面积为2的菱形，ABC60，E、C1D1CA1B1ABDEFF分别为CC1、BB1上的点，

25、且BCEC2FB.（）求证：平面AEF平面ACC1A1；（）求平面AEF与平面ABCD所成角.（20）（本小题满分12分）如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山（P为上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个边落在BC及CD上的长方形停车场PQCR.求长方形停车场PQCR面积的最大值及最小值.（21）（本小题满分12分）以椭圆1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. （22）（本小题满分14分）已知，二次函数f（x）ax2bxc及一次函数g（x）bx，其中a、b、cR，a

26、bc，abc0.（）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.黄埔区高中数学教师解题比赛参考答案一、选择题题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）答案DDBCDCBADCAB二、填空题（13）1； （14）54； （15）xy20或5x4y10； （16）当k1时，为2；当k1时，为.三、解答题（17）解：设所需第一种钢板x张，第二种钢板y张依题意，得 目标函数zxy.依图（图略）可得当x2，y8时，z最小为10 第一种钢板用2张，第二

27、种钢板用8张 （18）解：（）a2，a3，a4 （）n2时，an3Sn4，即3Snan4.3Sn1an14.两式相减，得3an1an1an，即 a2，a3，an，成等比数列故an （）. OMC1D1CA1B1A待添加的隐藏文字内容1BDEF（19）证明：（） BD平面ACC1A 设ACBDO，AE的中点为M，连OM，则OMECFBFBCEOMBOMF为平行四边形FMBO即FMBD由，知面AEF面ACC1A1 （）ACBD，平面AEF 平面ABCDl，l过A且lBDACl，又BD平面ACC1A1l平面ACC1A1，lAEEAC为所求二面角的平面角.ABC60，ACBCCE45 （20）解：设P

28、AB，0，则SPQCRf（）（10090cos）（10090sin）8100sincos900（sincos）10000 令sincost则tsin（）1， .SPQCRt29000t10000 当t时，SPQCD最小值为950（m2）当t时，SPQCD最大值为140509000 （m2） （21）.解：因a1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BCykx1（k0）则AByx1 把BC方程代入椭圆，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210（k1）k2（1a2）k10 k1或k2（1a2）k10当k2（1a2）k10时，（a21）24由0，得

29、1a由0，得a，此时，k1故，由0，即1a时有一解由0即a时有三解 （22）解：依题意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0，ac0，0f（x）、g（x）相交于相异两点 （）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2 ，而a0， 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 广州市黄埔区高中数学教师解题比赛试题（考试时间：2004年12月12日9：0011：00）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共60分

30、）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为的正确选择支填在答题卷的相应题号下）（1）设集合Aa，b，且ABa，b，c，那么满足条件的集合B共有（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）已知a（1，2），b（x，1），当（a2b）（2ab）时，实数x的值为（A）6 （B）2 （C） （D）2，（3）给出四个命题：若直线a平面，直线b，则ab；若直线a平面，a平面，则；若ab，且b 平面，则a；若平面平面，平面，则.其中不正确的命题个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（4）已知a0，点A（a，a），点B（1，0），则

31、|AB|的最小值为A9 （B （C）3 （D）1（5）已知，函数f（x）2sinx在0，上递增，且在这个区间上的最大值是，那么等于（A） （B）或 （C） （D）（6）甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别是、，今三人各投篮一次至少有一人命中的概率是（A） （B） （C） （D）（7）已知复数z1的辐角为，z1的辐角为，则复数z等于（A） （B）（C） （D）（8）若关于x的方程x2xa0，x2xb0（ab）的四个实数根组成以为首项的等差数列，则ab的值为（A） （B） （C） （D）（9）把正方形ABCD沿对角线BD折叠后得到四面体ABCD，则AC与平面BCD所成角不可能是（A）30 （B）45

32、（C）60 （D）90（10）若以(y2)24（x1）上任一点P为圆心作与y轴相切的圆，那么这些圆必定过平面内的点（A）（1，2） （B）（3，2）（C）（2，2） （D）不存在这样的点（11）设F1、F2为双曲线1的两焦点，P在双曲线上，当F1PF2面积为1时，之值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）（12）设偶函数f（x）loga|xb|在（，0）上递增，则f（a1）与f（b2）的大小关系是（A）f（a1）f（b2）（B）f（a1）f（b2）（C）f（a1）f（b2）（D）不能确定第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷的指定位置上）（

33、13）直线yx绕原点逆时针方向旋转30后，所得直线与圆（x2）2y23的交点个数是_*_.（14）甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名到第五名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，五人的名次排列共可能有_*_（用数字作答）种不同的情况.（15）过曲线yx32x上点（1，1）的切线方程的一般形式是_*_.（16）当kR，k为定值时，函数f（x）的最小值为_*_.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）要把两种大小不同的钢板截成A、B二种规格的材料，每张钢板可同时截得两种规格较 规格类型钢板类型A规格B规格第一种钢板21