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1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 所属学校（请填写完整的全名）：
2、参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 7 月 日钢管订购和运输摘要:本文在详细分析的基础上，通过合理假设并引人等价转换原则，将管道订购与运输等实际性问题转化为数学问题，并建立模型进行求解。在铺设主管道为线型前提下，我们建立一个钢管订购和运输模型。分析得从钢厂到主管道结点的运费是影响总费用的重要因素，为使总费用最小，须使从钢厂到主管道结点的运费钢管运输费最小，通过计算得出最小费用路径(最短路径)，在此基础上，建立总费用的函数并建立模型。利用Lingo软件，求得最优的订购和运输方案。然后通过灵敏度分析比较各个钢厂钢管销价变
3、化对总费用影响的大小，以及钢厂钢管产量上限变化对总费用和购运计划的影响。对于铺设网络型管道，建立了与铺设管道为线型时相类似的数学模型，对网状模型管道情况下的最优钢管订购和运输方案，从而大大拓广了模型的使用范围。在本文中，我们还对所建立的模型的优缺点和需要改进的方向进行了讨论。关键字： 优化模型、管道运输、Lingo软件、最优路线1 问题的提出现要铺设一条线型输送天然气的主管道，经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有1、2、3、4、5、6、7七家钢厂。由于每个钢厂的生产量和单价不同，并且钢厂生产出来的管道要经过铁路和公路的运输才能到达铺设地点。因此要选择最合理的订购方案和运输路线使总费用最小。试
4、分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。改变铺设管道路线，如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，求出相应的最合理的订购方案和运输路线使总费用最小。2 条件假设1、在满足钢材质量合格的情况下，钢材的市场价格在规划期内是恒定不变的。钢材厂的生产是连续的，符合标准的，并且能按定购量和上下限完成生产任务。2、对于管道铺设的路基是同质的，即考虑管道的铺设时，只需考虑铺设费用，而无须考虑因为路况不同而带来的额外费用。运输过程十分理想，不考虑误期、损坏钢材、装卸等影响，3、将钢铁厂和目的地理想化为一个
5、点，在分析运输、铺管道的时候，其距离简化为点到点的距离。4、公路路费为每公里0.1万元计算，不足1公里按1公里计算，铁路运费按表格中参考数据计算。3 符号说明 钢厂代号 某个钢厂最大生产量 某个钢铁订购量 某个钢厂生产的钢铁对应的单价 钢厂的总采购费用 铺设管道的总长度 铺设的主管道结点 与点的距离 i钢厂对钢铁的运输量 i钢厂对每单位钢铁的运输费用 从原点向一个方向铺设的长度 相对应长度的铺设费用 在点向左铺设的钢管量 在点向右铺设的钢管量 钢厂的总运输费用 管道铺设总费用 总的费用（运输费和订购费用） 与之间的距离 与之间的距离4背景分析4.1钢厂的最大生产量和单价钢厂在指定期限内能生产该
6、钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501604.2运输单价4.21铁路运输单价：1单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301-350351-400401-450451-500501-600601-700701-800801-900901-1000运价(万元)20232629323744505560 1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。4.22公路运输单价：1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。4.3管道铺设图A13258010
7、103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)A132580101031201242701088107062703020203045010430175060619420520168048030022021042
8、05006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7线型管道图 网状管道图5 问题的分析51题目分析本题需要建立一个钢管订购和运输模型，从钢厂到主管道结点的运费是影响总费用的重要因素，为使总费用最小，须使从钢厂到主管道结点的运费钢管运输费最小。通过计算得出最小费用路径(最短路径)，在此基础上，建立总费用的函数。把钢管的订购和运输问题归结为在一定约束条件下求最小总费用的二次规划问题。分别讨论改变钢厂
9、售价和钢厂的产量的上限变化对总费用的影响。改变铺设管道路线，建立新模型，求出最小费用。 52数据分析由铁路运价和公路运价，并根据线性管道图和网状管道图得：5.21线性管道： 从钢厂运输1单位的钢铁到各节点的最少运费表一钢铁厂铺设的主管道结点A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A151160.3140.21353820.53.121.264.29296106121.21281422205.3190.218511195.58671.2114.21421461561661781923220.3200.2200171105.59686.248.2828696111.21181
10、324250.3235.2230156140.5131116.284.262516171.283875245.3160.2175146130.5121111.279.257335171.283876255.3235.2235156140.5131121.284.262514526.211287265.3250.2245171155.5141131.299.277665638.2262表一的数据折线图5.22网状管道：从钢厂运输1单位的钢铁到各节点的最少运费表二钢铁厂铺设的主管道结点A2A3A4A5A6A7A8A9A10A111160.3140.21353820.53.121.209202205
11、.3190.218511195.58671.2014203220.3200.2200171105.59686.208204250.3235.2230156140.5131116.206205245.3160.2175146130.5121111.205706255.3235.2235156140.5131121.206207265.3250.2245171155.5141131.20770钢铁厂A12A13A14A15A16A17A18A19 A20A211106121.212814260951001051151302156166178192110145150155165180396111.2
12、1181324485909510511546171.2838780505560708055171.2838775325050657564526.211289055374420075638.2262956550553226表二的数据折线图6 模型的建立6.1路线运费根据表一中从钢厂运输1单位的钢铁到各节点的最少运费及相应路线的运输量得：钢厂的总运输费用： （1）6.2采购费用 由各钢厂的采购量和相应的价格得： 钢铁的采购费： （2）6.3管道铺设费用1、由于不足整公里按整公里计算，因而最优的铺设方法是每走一单位路线就铺设一单位钢管，得到某长度的运输费用： （3）2、由长度的运输费用，并根据向左铺
13、设量和向右铺设的量得管道铺设总费用： (4)64钢管的订购和铺设总的费用： 由上述模型得： (5)6.5问题一的模型6.51目标函数：由上述模型得： 6.52约束条件：6.6问题三的模型6.61将网状结构管道处理为线状结构根据图形可分析得，可将各钢厂运往的量先铺完再转运到，从而可将网状结构上的忽略。同理可将向下运输的量先铺完再将其余的量运到，从而可将看作向两个方向运输的节点。6.62模型三的目标函数由（1）到（5）得：6.63约束条件7模型求解与结果分析7.1模型结果7.11问题一的求解：1、利用lingo软件编写程序（见附录二）得到各钢厂的订购量及运输计划（如表三）钢管厂订购量到各点的运输量
14、A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A151800000334.5200265.500000000280017969.68510251.314900300000000031000057.587310278.41270006640000004000000000000000513960380.72760219.272400003514450000611750000000000453446211657000000000000000 表三2、依据上表中订购和运输方法得到最小费用：7.12问题二的求解：1、钢厂钢管的售价的变化对总费用影响：表四钢铁厂原总费用/万元单价增加5%后
15、总费用/万元单价增加5%后变化的百分比单价增加10%后总费 用/万元单价增加10%后变化的百分比1127900412854040.00500389412918040.0100082127900412852040.00484752212914040.0096953127900412867540.00605940212945040.0121194127900412790040127900405127900412882380.0072196812920700.0102166127900412876410.00675291112960200.013304712790041279004012790040
16、 由表四得单价调整后总费用的变化柱状图：比较单价增加5%和10%后单价的百分比2、钢厂钢管的产量的上限变化对总费用的影响：表五原总费用/万元钢厂上限增加100个单位后的总费钢厂上限增加200个单位后的总费钢厂上限增加300个单位后的总费12790041268704125840412481041279004127550412720041268504127900412765041274004127150412790041279004127900412790041279004127900412790041279004127900412790041279004127900412790041279004
17、12790041279004原总费用/万元钢厂上限减少100个单位后的总费钢厂上限减少200个单位后的总费钢厂上限减少300个单位后的总费12790041289304129960413099041279004128250412860041289504127900412815041284004128650412790041279004127900412790041279004127900412790041279004127900412790041279004127900412790041279004127900412790043、钢厂钢管的售价的变化对购运计划的影响：（1）订购的影响：根据灵敏度
18、分析得到各钢铁厂的售价对订购计划的影响，得到仅有钢厂5、6的价格变化对购运计划有较大影响。钢厂原采购量钢厂5的价格增加5%钢厂6的价格增加5%钢厂5的价格减少5%钢厂6的价格减少5%钢厂5的价格增加10%钢厂6的价格增加10%钢厂5的价格减少10%钢厂6的价格减少10%18008008008008008008008008002800800800800800800800800800310001000100010001000100010001000100040000000005139682214411441825.579614721475696611751749113011301746174910
19、99109618757000000000（2）运输计划影响：各钢铁厂的售价对运输计划影响得到一系列的图表（见附录），得到仅有钢厂6的价格变化对运输计划影响最大，影响8条路线的运输量。4、钢厂钢管的产量的上限变化对购运计划的影响：钢厂原采购量钢厂1产量上限增加100单位钢厂2产量上限增加100单位钢厂3产量上限增加100单位钢厂1产量上限减少100单位钢厂2产量上限减少100单位钢厂3产量上限减少100单位180090080080070080080028008009008008007008003100010001000110010001000900400000005139612961296129
20、61496149614966117511751175117511751175117570000000 通过对上述图表的分析得，各钢厂钢管的产量的上限变化在小范围内对购运计划的影响基本一致。7.13模型三的求解到各节点的运输量A9A10A11A12A13A14A15A16A17A18A19A20A210000000000000000000000000066400000000000000000000000000323.52890415000000000027.47106863330621165008510003600000000000000 1、利用lingo程序（见附录三）得到各钢厂的订购量及运
21、输计划（如表六） 表六钢管厂订购量到各节点的运输量A2A3A4A5A6A7A81800000334.5200265.502800179114.47810206.52190030031000089.245480246.754500040000000051473.5290304.27640295.723600061777.4710000000700000000 2、依据上表中订购和运输方法得到最小费用：7.2结果分析通过对比表一和表三发现钢厂一般向离自己较近的节点进行运输，并且考虑选择路线运费较少的节点。这基本符合实际情况，可认为程序的求解基本无误。7.21结果检验： 取钢厂1为例，程序中钢厂1只
22、向节点运输基本满足从钢厂运输1单位的钢铁到各节点的运费相对较少的情况。7.3模型评价7.31模型优点：1、用Excel分析模型的网状图和线状图，清晰明了。2、选择路径最优算法，利用图形的特殊性，逐个计算，提高了运算的准确性。3、利用lingo软件计算模型的最优解，误差较小，精度较高。7.32模型缺点：1、利用图形的特殊性，逐个计算路径，缺乏系统的、成熟的理论支持。2、虽然逐个计算提高了运算的准确性，但增大了运算量，缺乏较强的系统理论支持。3、lingo对约束条件的个数、未知数的个数有较强的限制，一旦使用不当，将会使结论出现错误或者产生零结果。8参考文献1姜启源,数学模型，北京：高等教育出版社，
23、19962蔡锁章，数学建模原理与方法，北京：海洋出版社，20003杨桂元、黄己立，数学建模，安徽：中国科技大学出版社，20084严蔚敏，吴伟民，数据结构，北京：清华大学出版社，19929 附录附录一 价格和产量上限的变化对购运计划和总费用的影响（原）到各节点的采购情况及到个点的运输运输情况钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.500000000800217969.68510251.31490030000000008003057.587310278.41270006640000001000400000000000000050
24、380.72760219.2724000035144500001396600000000004534462116511757000000000000000钢厂1价格增加5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.500000000800217959.696830261.30320030000000008003062.3950273.6050006640000001000400000000000000050385.90820214.091800003514450000139660000000000453
25、4462116511757000000000000000钢厂2价格增加5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.50000000080021790032100300000000080030003360006640000001000400000000000000050508092000035144500001396600000000004534462116511757000000000000000钢厂3价格增加5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A1
26、4A15采购量1000334.5200265.5000000008002179003210030000000008003025.18530310.81470006640000001000400000000000000050482.81470117.1853000035144500001396600000000004534462116511757000000000000000钢厂5价格增加5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.5000000008002165.2500334.75003000000
27、000800300033600066400000010004000000000000000500064.500003514060000821.860535.50000000083.7534462116517497000000000000000钢厂6价格增加5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.500000000800217966.29740254.70260030000000008003064.885130271.11490006640000001000400000000000000050376
28、.81750223.1825000035147020000144160000000000034462116511307000000000000000钢厂1价格减少5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.500000000800217976.615760244.38420030000000008003060.37950275.62050006640000001000400000000000000050371.00470228.9553000035144500001396600000000004534
29、462116511757000000000000000钢厂2价格减少5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.500000000800217962.68960258.31040030000000008003060.842710275.15730006640000001000400000000000000050384.46770215.5323000035144500001396600000000004534462116511757000000000000000钢厂3价格减少5%后采购情况及到个点的运输钢厂A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15采购量1000334.5200265.500000000800217968.760920252.23910030000000008003055.421660280.578300066400
