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1、2000级高等数学(上)期中试题一、填空题（47=28分）1设，则 ； 。2设为连续函数，则 。3设，则 。4在对应点处的切线方程为 。5设由方程确定，其中是可微函数， 则 。6设，则 。7曲线的是渐近线是 。二、选择题（44=16分）8当时，无穷小量关于与，是( ) （A）低阶无穷小； （B）高阶无穷小； （C）等价无穷小； （D）同阶但非等价无穷小。9设，则（ ） （A）只有一个间断点； （B）存在间断点，； （C）存在间断点，； （D）存在间断点，。10下列命题正确的是（ ） （A）若曲线在点处有切线，则一定存在。 （B）若有唯一驻点，则是的极值点。（C）若是曲线的拐点，则必有；（D）若
2、在上，且在的任一子区间内不恒等于零，又，则在内。11设，则在处（ ） （A）导数连续但二阶不可导，； （B）二阶可导，且； （C）二阶可导，且； （D）二阶导数连续。三、计算题 （64=24分）12求。13求。14设，求。15由拉格朗日中值定理知：，求。四、解答题（9分）16在区间上研究方程的实根个数。五、证明题（7分）17设，在连续，在内可导， 证明：，使。六、应用题（16分）18当油船破裂后时，有体积为的石油漏入海中，假定石油在海面上以 厚度均匀的圆形扩散开来，已知油层的厚度随时间的变化规律为 （为常数），试求油层向外扩散的速率。（10分）19设水以常速（即单位时间注入水的体积为常数）注入如图所示的容器中，直 止将容器注满。（1） 画出水面高度随时间变化的函数的 图形（不要求精确图形，但应画出曲线的 凸性并表示出拐点）。 （2）在何处增长得最快？何处最慢？估 计这两个增长率的比值。(6分)
