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1、(1)均值 称E(X)=_为随机变量X的均值或_,它反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xi pi+xn pn,数学期望,平均,水平,2.均值的性质(1)E(aX+b)=_.3.两点分布与二项分布的均值(1)若X服从两点分布,则E(X)=_.(2)若XB(n,p),则E(X)=_,4.若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=_.,aE(X)+b,1.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于()A.B.C.D.解析 由分布列的性质,可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x=40 x=,C,2.已知某一随机变量 的概
2、率分布列如下,且=6.3,则a的值为()A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由分布列性质知：0.5+0.1+b=1,b=0.4.=40.5+a0.1+90.4=6.3.a=7.,C,3.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放 回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则E(X)=_.,(2008湖北理，17)袋中有20个大小相 同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标 号.求的分布列、期望；解(1)的分布列为,某中学组建了A、B、C、D、E五个不同 的社团组织，为培养学生的兴趣爱好,要求每个学生 必须参加，且只能参加一个社
3、团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的.(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法 种数；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率；(3)设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加A社 团的人数,求的分布列与数学期望.,解(1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方 法数是5种,故共有555=125(种).(2)三名学生选择三个不同社团的概率是三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为(3)由题意=0,1,2,3.,的分布列为的数学期望,题型三 均值与方差的实际应用【例3】(12分）(2008广东理,17)随机抽取某厂的某种产 品200件，经质检，其中有一
4、等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.(1)求的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望)；(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降 为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的 平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？,思维启迪 确定随机变量写出随机变量的分布列计算数学期望列不等式求解.解(1)的所有可能取值有6,2,1,-2.故的分布列为(2)E()=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(万元).
5、,(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的 平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29),依题意,知E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03.所以三等品率最多为3%.解决此类题目的关键是正确理解随机变 量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率,本题第(3)问充分利用了分布列的性质p1+p2+pi+=1.,探究提高,知能迁移3 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资 10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17 万元的概率分别为 已知乙项目的利润与 产品价格的调整有关,在每次调整中,价格
6、下降的概 率都是p(0p1).设乙项目产品价格在一年内进行 2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下 降次数为,对乙项目投资10万元,取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资 10万元一年后的利润.,(1)求1、2的概率分布和数学期望E(1)、E(2);(2)当E(1)E(2)时,求p的取值范围.解(1)方法一 1的概率分布列为,由题设得B(2,p),即的概率分布列为故2的概率分布列为所以2的数学期望是E(2)=1.3(1-p)2+1.252p(1-p)+0.2p2=1.3(1-2p+p2)+2.5(p-p2)+0.2
7、p2=-p2-0.1p+1.3.,方法二 1的概率分布列为 设Ai表示事件“第i次调整,价格下降”(i=1,2),则,故2的概率分布列为 所以2的数学期望为E(2)=1.3(1-p)2+1.252p(1-p)+0.2p2=1.3(1-2p+p2)+2.5(p-p2)+0.2p2=-p2-0.1p+1.3.(2)由E(1)1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)0,解得-0.4p0.3.因为0p1,所以当E(1)E(2)时,p的取值范围是0p0.3.,3.设随机变量的分布列如表所示且E()=1.6,则a-b 等于()A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4,5.某街头小摊,在不下雨
8、的日子一天可赚到100元,在 下雨的日子每天要损失10元,若该地区每年下雨的 日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)()A.60.82元 B.68.02元C.58.82元 D.60.28元 解析 选A.,A,6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分 的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c(0,1),已 知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情 况),则ab的最大值为()A.B.C.D.解析 设投篮得分为随机变量X,则X的分布列为 当且仅当3a=2b时,等号成立.,D,二、填空题7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若表示取到次
9、品的个数,则E()=_.解析 的取值为0,1,2,3,则,8.(2009上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E()=_(结果用最简分数表示).解析 的可能取值为0,1,2,三、解答题 10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量为此时已 摸球的次数,求:(1)随机变量的概率分布列；(2)随机变量的数学期望与方差.,解(1)随机变量可取的值为2,3,4,所以随机变量的概率分布列为：,(2)随机变量的数学期望随
10、机变量的方差,11.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次 统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每 个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通 过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当,每次 测试通过与否互相独立.(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参 加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.,解(1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事 件为(2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.,故X的分布列为：答 该生考上大学的概率为 所求数学期望是,12.(2009陕西理，19)某
11、食品企业一个月内被消费 者投诉的次数用表示,据统计,随机变量的概率 分布列如下表：(1)求a的值和的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影 响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概 率.,解(1)由概率分布列的性质有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.的概率分布列为E()=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7.,(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得P(A1)=P(=2)P(=0)=20.40.1=0.08,P(A2)=P(=1)2=0.32=0.09.P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.,返回,
