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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,向量的定义,定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量加法,向量的线性运算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足八条运算规则：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若
2、干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组,定义,线性组合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,线性表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,线性相关,定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量组的秩,定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,定理,推论,推论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量方程,8齐次线性方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解向量
3、的性质,性质,性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量方程,9非齐次线性方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解向量的性质,性质,性质,解向量,方程 的解就是方程组 的解向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)求齐次线性方程组的基础解系,0线性方程组的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步：将其余 个分量依次组成 阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)求非齐次线性方程组的特解,机动 目录
4、 上页 下页 返回 结束,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为特解的第 个分量，其余 个分量全部取零，于是得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、线性方程组有关问题,典型例题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法1利用定义,整理得线性方程组,一、向量组线性关系的判定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1研究下列向量组的线性相关性,解一,机动 目录 上
5、页 下页 返回 结束,整理得到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解二,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,设,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,故方程组只有零解,则,所以 线性无关.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,以所给向量为列向量的矩阵记为A,当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,因为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示,而R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n,所以R(a1 a2 an)n,从而a1 a2 an线性无关,机动 目录 上页 下页 返回
6、结束,二、求向量组的秩,解,例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T,因为,而R(a1 a2 a3 a4)2,所以a2 b5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,记,要使,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、线性方程组有关问题,解,将I与II联立得非齐次线性方程组,III,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若此非齐次线性方程组有解,则I与II有公共解,且III的解即为所求全部公共解.,对III的增广矩阵作初等行变换得
7、,即I与II有公共解,其全部公共解即为III的通解，,方程组III有解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此时,方程组III基础解系为:,所以I与II的全部公共解为,k为任意常数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程组III有唯一解,此时,故方程组III的解为,即I与II有唯一公共解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3是它的三个解向量 且1(2 3 4 5)T 23(1 2 3 4)T求该方程组的通解,解,由于方程组中未知量的个数是4 系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于1 2 3均为方程组的解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由非齐次线性方程组解的结构性质得,21(23)(12)(13)(3 4 5 6)T,为其对应齐次方程组基础解系,故此方程组的通解,xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T(kR),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
