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1、一元二次方程一) 一元二次方程的定义是一元二次方程的一般式,只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。这三个方程都是一元二次方程。求根公式为二)。a是二次项系数;b是一次项系数;c是常数项,注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢?1、当0时方程有2个不相等的实数根;2、当0时方程有两个相等的实数根;3、当 0时方程无实数根.4、当0时方程有两个实数根(方程有实数根);5、ac0)0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0负根绝对值较大(正根绝对值较小)b0一根为0另一个根为负根b0有两个相等的负根b0
2、有两个相等的正根b =0有两个相等的根都为0注:凡是题中出现了x1.x20 即a、c异号方程必有解。例题 m为何值时,方程 有两个相等的实数根;无实数根;有两个不相等的实数根;有一根为0;两根同号;有一个正根一个负根;两根互为倒数。例题 已知方程的两根一个大于1,另一个根小于1,求m的值的范围。例题已知方程ax2+bx+c 0 (a0)的实数根为m、n求下列对称式子的值;。例题已知实数a、b满足,且求的值。例题已知关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)求k的取值范围。(2)化简例题 设a、b是方程的两个实数根,求的值。根据题意得a+b=-1,ab=-2009,a2+2a+b=a2+a+a+b
3、=a2+a-1,又a是x2+x-2009=0的根,a2+a-2009=0,a2+a=2009,a2+2a+b=2009-1=2008六)解一元二次方程中的应用 直接开平方法:用简明图表可表示为:直接开平方法:形如(mx+n)2=p (m0,p0)两个一元一次方程。配方法:用简明图表可表示为:配方法:一元二次方程 形如(mx+n)2=p (m0,p0)的方程因式分解法:用简明图表可表示为: 因式分解法:一元二次方程两个一元一次方程 公式法:x1,x2一元二次方程应用题部分一、列方程解应用题的一般步骤是1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?2.设:设未知数,语句要完整,有单位
4、(同一)的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.注:列方程解应用题的关键是: 找出等量关系;所谓的列方程其实质上就是把要求的数用一个末知的数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有末知数),用等于号把这两个代数式连接起来就得到了方程式。二、一元二次方程,其应用题的范围也比较广泛,归纳起来可大致有以下几种类型:求互相联系的两数(数与数字方面的应用题):例:两个相邻偶数的积是168,求这两个偶数。解:设其中一
5、数为x,另一数为x+2,依题意得:x(x+2)168x2+2x-168=0(x-12)(x+14)0x1=12,x2 =14当x12时,另一数为14;当x-14时,另一数为-12.答:这两个偶数分别为12、14或-14、-12.四)银行利率应用题(含利滚利问题):年利息本金年利率(年利率为a%)存一年的本息和:本金(1+年利率) ,即本金(1+ a%)存两年的本息和:本金(1+年利率)2, 即本金(1+a%)2存三年的本息和:本金(1+年利率)3, 即本金(1+a%)3存n年的本息和:本金(1+年利率)n, 即本金(1+a%)n例:我村2006年的人均收入为1200元,2008年的人均收入为1
6、452元,求人均收入的年平均增长率。解:设均收入的年平均增长率,则1200(1+x)2=1452解得:X1=0.1,X2=-2.1(不合题意,舍去)人均收入的年平均增长率为10%。五)销售利润方案类题(含薄利多销问题及价格与销量问题)六)函数与方程 七)信息题 八)背景题 九)古诗题 十)象棋比赛题十一)几何类题:等积变形,动态几何问题,梯子问题,航海问题,几何与图表信息,探索存在问题,平分几何图形的周长与面积积问题,利用图形探索规律最常见的如:求直角三角形的边。例:一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积是9cm,求较长的直角边的长。解:设较短的直角边的长为x厘米,较长的直角边的长为(x3
7、)厘米,根据三角形的面积公式,得x(x+3)=9解得:X=3或X=-6(不合题意,舍去)故X=3,X+3=6所以较长的直角的边长为6厘米。常见的还有就是:求矩形的边:例:利用一面墙(墙的长度不限),用20m长的篱笆,怎样围成一个面积为50m2的矩形场地?解:设靠墙的一边为x x(20-2x)=20解得:x=5设靠墙的两边为5m,另一边为10m十二)赛制循环问题:单循环:设参加的球队为x,则全部比赛共 x(x-1)场;双循环:设参加的球队为x,则全部比赛共x(x-1)场;【单循环比双循环少了一半】例:参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人握手10次,有多少人参加聚会?解:设一共有x人x(x-1
8、)=10解得:x=5 或x=-4(不合题意,舍去)一共有5人销售利润方案类题(1)经济类一1、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元? 解:设每件售价x元,则每件利润为x-8, 每天销售量则为所以每天利润为640元时, 则根据:(每天销售量)(每件利润)= 每天利润 故有:则有x2-28x+192=0 即(x-12)(x-16)=0 所以x1=12或x2=16。 答:当每件售价为12元或16元时,每天利润为640元
9、。3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣,以每件50元售出,平均每月能售出300件,经过试销发现,每件内衣涨价10元,其销量就将减少10件,为了实现每月8700元销售利润,假如你是商场营销部负责人,你将如何安排进货?解:设涨价10x元,销量将减少10x件:(300-10X)(50+10X-30)=8700 6000+3000X-200X-100X=8700X-28X+27=0 (X-1)(X-27)=0X1=1,以每件50+101=60元售出,平均每月能售出300-101=290件,进货290件,以每件60元售出.X2=27,以每件50+1027=320元售出,平均每月能售出300-1027
10、=30件,进货30件,以每件320元售出.因为售出价320元太高,此解舍去.(此解舍去不是太有道理的)函数与方程1.某工厂生产的某种产品质量分为10个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件,每件利润10元。每提高一个档次,每件利润增加2元,但每天产量减少4件.(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1x10),求出y关于x的函数关系式;(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元,求该产品的质量档次.解:1)生产数量为:76-4(X-1)利润为:10+2(X1)则函数为:Y=764(X1)10+2(X1)整理为:Y=-8X2+128X+6402)当Y=1
11、080时,则有:1080=-8X2+128X+640 整理得:X2-16X+55=0解之得X1=5或X2=11(不合题舍) 固为第五档.例1【实际背景】预警方案确定:设如果当月W6,则下个月要采取措施防止“猪贱伤农” 【数据收集】 今年2月5月玉米、猪肉价格统计表 月 份2345玉米价格(元/500克)0.70.80.91猪肉价格(元/500克)7.5m6.256【问题解决】(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等,求3月的猪肉价格m;(2)若今年6月及以后月份,玉米价格增长的规律不变,而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降,请你
12、预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”;(3)若今年6月及以后月份,每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍,而每月的猪肉价格增长率都为a,则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农” 解:(1)由题意, , 解得: m=7.2(2)从2月5月玉米的价格变化知,后一个月总是比前一个月价格每500克增长0.1元(或:设ykx+b,将(2,0.7),(3,0.8)代入,得到y=0.1x+0.5,把(4,0.9),(5,1)代入都符合,再得到(6,1.1)6月玉米的价格是:1.1元/500克;5月增长率: ,6月猪肉的价格:6(1)=5
13、.76元/500克.W=5.246, 要采取措施(3)7月猪肉价格是:元/500克; 7月玉米价格是:元/500克;由题意,+=5.5,解得, 不合题意,舍去 7.59, ,不(或:不一定)需要采取措施几何类题(1)等积变形例1将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.解:都能.(1)设小路宽为x,则1
14、815,即x233x+1800,解这个方程,得,即(舍去);(2)设扇形半径为r,则3.14r21815,即r257.32,所以r7.6.说明:等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.图2图4图3(2)动态几何问题例:如图4所示,在ABC中,C90,AC6cm,BC8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半.若存在,
15、求出运动的时间;若不存在,说明理由.解:因为C90,所以AB10(cm).(1)设xs后,可使PCQ的面积为8cm2,所以 APxcm,PC(6x)cm,CQ2xcm.则根据题意,得(6x)2x8.整理,得x26x+80,解这个方程,得x12,x24.所以P、Q同时出发,2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后,PCQ的面积等于ABC面积的一半.则根据题意,得(6x)2x68.整理,得x26x+120.所以方程无实数解。由于此方程没有实数根,所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.说明:本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据:路程速
16、度时间;动态题的解题是思想是化动态为静态,在运动的某一时刻就是一个静态时的状态。(3)梯子问题例:一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m.(1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米?(2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?解:依题意,梯子的顶端距墙角8(m).(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2102,整理,得x2+12x150,解这个方程,得x11.14,x213.14(舍去),所以梯子顶端下滑1m,底
17、端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理,列方程(8x)2+(6+1)2100.整理,得x216x+130.解这个方程,得x10.86,x215.14(舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.则根据勾股定理,列方程 (8x)2+(6+x)2102,整理,得2x24x0,解这个方程,得x10(舍去),x22.所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.图5说明:求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形;在滑动的过程中梯子的长度没
18、有改变,也就是构成的直角三角形的斜边是一个常量10m。(4)、航海问题例:如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)解(1)F位于D的正南方向,则DFBC.因为ABBC,D
19、为AC的中点,所以DFAB100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DEx海里,AB+BE2x海里,EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里.在RtDEF中,根据勾股定理可得方程x21002+(3002x)2,整理,得3x21200x+1000000.解这个方程,得x1200118.4,x2200+(不合题意,舍去).所以,相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明:求解这类几何运动题题型时,一定要认真地分析题意,及时发现题目中的等量关系,并能从图形中寻找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程;或找出相似三角形,应用相似比构造出等
20、量关系式;或找出线段之间的倍数关系,从而找出等量关系式。探索存在问题例:将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.解(1)设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20x)cm.则根据题意,得+17,整理得:解得x116,x24,当x16时,20x4;当x4时,20x16,答:这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.(2)不能.理由是:不妨设剪成两段后其中一段为ycm,则
21、另一段为(20y)cm.则由题意得+12,整理,得y220y+1040,0所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2.说明本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b24ac来判定.若b24ac0,方程有两个实数根,若b24ac0,方程没有实数根,本题中的b24ac160即无解. 一元二次方程练习题一、 填空1一元二次方程化为一般形式为: ,二次项系数为: ,一次项系数为: ,常数项为: 。2关于x的方程,当 时为一元一次方程;当 时为一元二次方程。3已知直角三角形三边长为连续整数,则它的三边长是 。4. ; 。5直角三角形的两直角边是34,而斜边的长是15,那么这个三角形的面积是 。
22、6若方程的两个根是和3,则的值分别为 。7若代数式与的值互为相反数,则的值是 。8方程与的解相同,则= 。9当 时,关于的方程可用公式法求解。10若实数满足,则= 。11若,则= 。12已知的值是10,则代数式的值是 。二、 选择1下列方程中,无论取何值,总是关于x的一元二次方程的是( )(A) (B)(C) (D)2若与互为倒数,则实数为( )(A) (B)1 (C) (D)3若是关于的一元二次方程的根,且0,则的值为( )(A) (B)1 (C) (D)4关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是( )(A) (B) (C) (D)5关于的一元二次方程有实数根,则( )(
23、A)0 (B)0 (C)0 (D)06已知、是实数,若,则下列说法正确的是( )(A)一定是0 (B)一定是0 (C)或 (D)且7若方程中,满足和,则方程的根是( )(A)1,0 (B)-1,0 (C)1,-1 (D)无法确定 三、 解方程1. 选用合适的方法解下列方程(1) (2)(3) (4)四、解答题1. 已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根,求这个三角形的腰。2. 已知一元二次方程有一个根为零,求的值。答案一、 填空题1、,; 2、; 3、; 4、; 5、54; 6、-1,-6; 7、1或;8、; 9、; 10、 11、-4,2;12、19二、选择题1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、C 7、C 三、计算题1、-4或1; 2、1 3、; 4、四、解答题1、解 答等腰三角形的腰为52、解