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1、苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习矩形（提高）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【 特殊的平行四边形（矩形） 知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中
2、心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点
3、四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：(1)PBAPCQ30；(2)PAPQ【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90，利用条件PBC和QC
4、D都是等边三角形，容易求得PBA和PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明PABPQC(SAS)，从而证得PAPQ【答案与解析】证明：(1) 四边形ABCD是矩形， ABCBCD90 PBC和QCD是等边三角形， PBCPCBQCD60， PBAABCPBC30，PCDBCDPCB30PCQQCDPCD30，故PBAPCQ30(2) 四边形ABCD是矩形， ABDC PBC和QCD是等边三角形， PBPC，QCDCAB ABQC，PBAPCQ，PBPC PABPQC， PAPQ【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可 举一反三
5、：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处(1)求证：；(2)设AE，AB，BF，试猜想之间有何等量关系，并给予证明【答案】证明：(1)由折叠可得 ADBC， ， ， (2)猜想理由：由题意，得，由(1)知在中， ， 2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分BAD交BC于E，CAE15，求BOE的度数【思路点拨】BOE在BOE中，易知OBE30，直接求BOE有困难，转为考虑证BOBE由AE平分BAD可求BAE45得到ABBE，进一步可得等边AOB有ABOB证得BOBE【答案与解析】解： 四边形ABCD是矩形， DABABC90，A
6、OAC，BOBD，ACBD AOBO AE平分BAD， BAE45 AEB904545BAE BEAB CAE15， BAO60 ABO是等边三角形 BOAB，ABO60 BEBO，OBE30 BOE【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决类型二、矩形的判定3、（2015连云港二模）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且BAD=CAE（1）求证：ABEACD；（2）求证：四边形BCDE是矩形【思路点拨】（1）利用SAS证得两个三角形全等即可；（2）要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形
7、BCED是平行四边形，且对角线相等【答案与解析】（1）证明：BAD=CAE，EAB=DAC，在ABE和ACD中AB=AC，EAB=DAC，AE=ADABEACD（SAS）；（2）ABEACD，BE=CD，又DE=BC，四边形BCDE为平行四边形AB=AC，ABC=ACBABEACD，ABE=ACD，EBC=DCB四边形BCDE为平行四边形，EBDC，EBC+DCB=180，EBC=DCB=90，四边形BCDE是矩形【总结升华】本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法举一反三：【变式】（2016云南模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并
8、且A=D（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，1=22，若CE=4，CF=5，求DF的长.【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，A+D=180，又A=D，A=D=90，四边形ABCD是矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，四边形ABCD是矩形，DAB=B=90，ADBC，GAE=90，G=ECB，E是AB的中点，AG=BE，在AGE和BCE中， AGEBCE（AAS）AG=BC，设DF=，则即解得：，即类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD、CE是ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点 求证：FGDE【答案与解
9、析】证明：连接EG、DG， CE是高， CEAB 在RtCEB中，G是BC的中点， EGBC，同理DGBC EGDG 又 F是ED的中点， FGDE【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的根据这个性质又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题 举一反三：【 特殊的平行四边形（矩形） 例11】【变式】如图，MON90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB2，BC1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A. B. C. D. 【答案】A；解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ODOEDE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB2，BC1，OEAEAB1，DE，OD的最大值为：.
