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1、长征医院的护士值班计划摘要本文就护士值班计划做了详细的论述，使得值班方案要做到在人员或经济上比较节省，又做到尽可能合情合理，并对人员安排做了一些较为人性化的考虑，同时又兼顾某些人的个人意愿。使得护士的值班计划高效合理并具有人性化的考虑。三种方案分别从不同的角度来安排人员的分配后续方案较前一方案有所改进，所考虑的因素更加合理全面。为了得出三种方案的最优解需对护士人数建立整数型线性规划模型。线性规划配置护士人力是通过准确估计护士人力资源需求数量, 考虑护士人力资源的实用及需求的内在变化性, 从而改变现行护士人力计划的方法。运用线性规划模型配置护士人数， 从而使每个班次相互衔接, 合理有效安排护士人
2、力。通过护士起始工作日期的不同将护士划分为不同的类别，护士的总数即为各个类别护士人数之和。又由于每天各个时间段对护士人数需求的不同，即成为对护士总人数的约束条件。整型线性规划的一般模型为： 一、问题重述 在实际的科学管理和社会、经济与生活的各种活动中，经常会用到一类合理地分配和使用有限资源（经济、人力、物力等）使能获得“最优效益”的问题。长征医院是长宁市的一所区级医院，该院每天各时间段内需求的值班护士数如表所示。 表1时间区段6:0010:0010:0014:0014:0018:0018:0022:0022:006:00(次日)需求数1820191712该医院护士上班分五个班次，每班8h, 具
3、体上班时间为第一班2:0010:00，第二班6:0014:00，第三班10:0018:00，第四班14:0022:00, 第五班18:002:00(次日)。 每名护士每周上5个班，并被安排在不同的日子，有一名总护士长负责护士的值班安排.。值班方案要做到在人员或经济上比较节省，又做到尽可能合情合理。 下面是一些正在考虑中的值班方案：方案1 每名护士连续上班5天，休息2天，并从上班第一天起按从第一班到第五班顺序安排.。例如一名护士从周一开始上班，则她于周一上第一个班，周二上第二个班，周五上第五个班；另一名护士若从周三起上班，则她于周三上第一个班，周四上第二个班，周日上第五个班，等等。方案2 考虑到
4、按上述方案中每名护士在周末（周六、周日）两天内休息安排不均匀，于是规定每名护士在周六、周日两天内安排一天、且只安排一天休息，再在周一至周五期间安排4个班，同样上班的五天内分别顺序安排5个不同班次。在对第1、2方案建立线性规划模型并求解后，发现方案2虽然在安排周末休息上比较合理，但所需值班人数要比第1方案有较多增加，经济上不太合算，于是又提出了第3方案。方案3 在方案2基础上，动员一部分护士放弃周末休息，即每周在周一至周五间由总护士长给安排三天值班，加周六周日共上五个班，同样五个班分别安排不同班次. 作为奖励，规定放弃周末休息的护士，其工资和奖金总额比其他护士增加a% 。人力成本是医院成本控制的
5、重要部分，护理人员配置是否合理直接关系到护理工作的效率和决策的质量。医院护士每天上一个八小时班，一周上五次。实际当中个个时段对护士的需求量又不同。这就要求在最少的人员配置情况下实现实际当中各时段对护士人数的要求。考虑到人员的合理休息即应使每名护士至少在周末有一天的休息时间，这样就得出了题中方案2的规划。如果从大局着想牺牲一部分人的周末休息时间但对其给予经济补偿，这样较之于方案2护士的人数有所减少。二、 模型假设在实际的科学管理和社会、经济与生活的各种活动中，经常会用到一类合理地分配和使用有限资源（经济、人力、物力等）使能获得“最优效益”的问题。根据题目要求每个护士的上班时间可分为五个班次：第一
6、班2:0010:00，第二班6:0014:00，第三班10:0018:00，第四班14:0022:00, 第五班18:002:00(次日)。为表述方便设第一班为，第二班为.以此第班为 。每一天的时间划分为五个时间段：6:0010:0010:0014:0014:0018:0018:0022:0022:006:00(次日) 设第一个时间段6:0010:00为 .以此第五个时间段22:006:00(次日)为 第个时间段为.设护士总人数为N三、符号说明与名词解释为方案一中从星期开始第一班工作的护士人数（）为方案二中从星期开始上第班工作的护士人数为一天中第个时间段为无个班次中第个班次N为护士总人数为方案
7、三中放弃周末休息的护士为的人数为方案三中工作在周一至周五之间工作四天，并保证周末工作一天的护士四、模型建立和求解方案一所有的护士可以根据第一天工作的时间来划分，设从星期开始工作的护士人数为人（=1,7）。则人数为决策变量，要解决的问题的目标是使目标函数=有最小值。 =但是由于护士的人数要受每天各时段的最少人数限制，因而也要在数学上描述这些限制因素，使得每天工作在各时段的护士人数不小于需求人数。考虑星期一的，只有上第一班和第二班的护士会工作在这一时段。而星期一上第一班和第二班的护士分别为和，即从星期一和星期日上班的护士。则相应的约束条件为+18,同理对于也有同样的约束条件。决策变量所受的约束条件
8、为：对于星期二也有上述的约束条件：星期三的的约束条件为：星期四的的约束条件为：星期五的的约束条件为：星期六的的约束条件为：星期六的的约束条件为：由于护士人数为整数，可知方案一为整数线性规划模：Min = s.t.1 s.t.2s.t.3s.t.4s.t.5s.t.6s.t.7用lingo解得目标函数的最小值为70，（模型的求解源码见附件）。方案二此方案中所有的护士可以按照不同的标准分类：第一种分类标准为工作在星期一到星期五之间的护士；第二类分类标准为工作在星期六和星期日的护士。按照第一类标准所有护士可分为五类：为了使工作协调，可以这样安排工作：从星期一开始工作的护士上第一个班，周二上第二个班，
9、周四上第四个班；星期二开始工作的护士上第二个班，周五上第四个班；以此星期五开始工作的护士上第五个班，周一上第一个班，周三上第三个班。设这五类护士的人数分别为： ,即.根据对人数的需求约束可得如下整数型线性规划：S.t.s.t.s.t.s.t.s.t.据用lingo此求得目标函数的最优解为50人，下面就第二类标准进行讨论，所有的护士都无一例外的在星期六或星期日工作过。由于周末两天对护士的要求是相同的，所以可知工作在星期六和星期日的护士人数是相等的。现对星期六做一分析。工作在星期六的护士可以按班次分为五类：设上第班的护士人数为。在此种情况下的目标函数是由于受到时段需求人数的约束，可得约束条件为：于
10、是可得整数线性规划模型：s.t.用lingo解得目标函数的最优解为86，根据上述第一类分法求得的最少人数为50人，所以为保证各时段的需求最少安排86名护士。由两种方案的结果可知，第二种方案虽然在人员的分配是上更人性化使得每名护士都至少有一天的周末休息时间，但是在人数的设置上比第一种方案的多。因此第二种方案虽然更人性化，但并没有考虑到个体的差异，因为在现实中总会有一些人愿意在周末工作以便获取更多的薪水。综合这些问题便得出方案三。方案三要求在方案二的基础上，动员一部分护士放弃周末休息，即每周在周一至周五间由总护士长给安排三天值班，加周六周日共上五个班，同样五个班分别安排不同班次. 作为奖励，规定放
11、弃周末休息的护士，其工资和奖金总额比其他护士增加a% 。设为放弃周末休息的护士其人数为，其余工作在周一至周五之间工作四天，并保证周末工作一天的护士为。护士按照方案二中的方式进行分类。对于，因为周六与周日并无区别，所以可设工作在星期六与星期日的护士人数相等且为，设上班的护士人数分别为。则整数型线性规划模型为： 用lingo解得最优解为22，由此可知有22名护士放弃周末休息，在方案二下计算得最有人数为86人，所以方案三所需的护士最少为人。即类护士人数为22人，类护士人数为53人要对这些人的工资和奖金增加a%，设护士的工资为1，护士的工资为。则解得所以即要对类护士的工资和奖金增加50%综上所述方案三
12、需对放弃周末休息的护士的工资和奖金增加少于50%时方案三较之于方案二更经济。五、结果分析与评价由三种方案的优化结果可得：方案一所需的护士人数最少，而且方案的实施也非常容易，不需要做过多的安排。但是对人员的休息时间安排不均。方案二在方案一得基础上改进了周末的上班方式，使得每名护士都至少有一天的周末时间休息。因此使得周末人数聚集过多护士人数超过了需求人数，使得所需配备的护士人数总体增加。此方案虽增加了人数，但使得每个人的工作时间更人性化了。方案三实际上是在方案二的基础上解决人员过多的问题。考虑到一些人会放弃自己的周末休息时间进行工作，对于这些人给予一定的经济补偿。这实际上是将周末过剩的护士资源放置
13、到周内的工作时间中，使得护士总人数有所减少，实现资源的最优配置。护士总数的减少是由于护士排班策略的改变, ,人员的过剩和缺乏并存忙闲不均,人员过多浪费了人力资源,人员缺乏则不能满足各时段的人员需求,因此应根据不同时段工作量,进行合理调整,使之最优化,提高工作效率。六、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第3版），北京：高等教育出版社，2003【2】薛毅，数学建模基础，北京：北京工业大学出版社，2004【3】谢金星，薛毅，优化建模与lingo/lindo软件，北京：清华大学出版社，2005【4】费培之，数学模型实用教程，成都：四川大学出版社，1998【5】韩中庚，实用运筹学 模型、方法
14、与计算，北京.清华大学出版社，2007【6】王庚，王敏生，现代数学建模方法，北京：科学出版社，2008【7】胡运权，郭耀煌，运筹学教程，北京：清华大学出版社，1998【8】韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005附录：方案一求解程序：MODEL:sets:span/1,2,3,4,5/:b;nurse /x1.x7/endsetsmin=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;x1+x7=18;x7+x6=20;x6+x5=19;x5+x4=17;x4+x3=12;x2+x1=18;x1+x7=20;x7+x6=19;x6+x5=17;x5+x4=12;x3+x2=18;
15、x2+x1=20;x1+x7=19;x7+x6=17;x6+x5=12;x4+x3=18;x3+x2=20;x2+x1=19;x1+x7=17;x7+x6=12;x5+x4=18;x4+x3=20;x3+x2=19;x2+x1=17;x1+x7=12;x6+x5=18;x5+x4=20;x4+x3=19;x3+x2=17;x2+x1=12;x7+x6=18;x6+x5=20;x5+x4=19;x4+x3=17;x3+x2=12;运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 70.00000 Total solver iteratio
16、ns: 7 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 10.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 X5 10.00000 0.000000 X6 10.00000 0.000000 X7 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 70.00000 -1.000000 2 2.000000 0.000000 3 0.000000 -0.5000000 4 1.000000 0.000000 5 3.
17、000000 0.000000 6 8.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 -0.5000000 9 1.000000 0.000000 10 3.000000 0.000000 11 8.000000 0.000000 12 2.000000 0.000000 13 0.000000 -0.5000000 14 1.000000 0.000000 15 3.000000 0.000000 16 8.000000 0.000000 17 2.000000 0.000000 18 0.000000 -0.5000000 19 1.0000
18、00 0.000000 20 3.000000 0.000000 21 8.000000 0.000000 22 2.000000 0.000000 23 0.000000 -0.5000000 24 1.000000 0.000000 25 3.000000 0.000000 26 8.000000 0.000000 27 2.000000 0.000000 28 0.000000 -0.5000000 29 1.000000 0.000000 30 3.000000 0.000000 31 8.000000 0.000000 32 2.000000 0.000000 33 0.000000
19、 -0.5000000 34 1.000000 0.000000 35 3.000000 0.000000 36 8.000000 0.000000方案二求解程序：第一类情况：min=2*(x1+x2+x3+x4+x5);x1+x2=18;x2+x3=20;x3+x4=19;x4+x5=17;x5+x1=12;运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 86.00000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X1 6.000000 0.000000 X2 12
20、.00000 0.000000 X3 8.000000 0.000000 X4 11.00000 0.000000 X5 6.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 86.00000 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.000000 -1.000000 4 0.000000 -1.000000 5 0.000000 -1.000000 6 0.000000 -1.000000第二类情况：min=x1+x2+x3+x4+x5;x1+x5=18;x5+x4=20;x4+x3=19;x3+x2=17;x2+
21、x1=12;x2+x1=18;x1+x5=20;x5+x4=19;x4+x3=17;x3+x2=12;x3+x2=18;x2+x1=20;x1+x5=19;x5+x4=17;x4+x3=12;x4+x3=18;x3+x2=20;x2+x1=19;x1+x5=17;x5+x4=12;x5+x4=18;x4+x3=20;x3+x2=19;x2+x1=17;x1+x5=12;运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 50.00000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced C
22、ost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 10.00000 0.000000 X4 10.00000 0.000000 X5 10.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 50.00000 -1.000000 2 2.000000 0.000000 3 0.000000 -0.5000000 4 1.000000 0.000000 5 3.000000 0.000000 6 8.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 -0.50
23、00000 9 1.000000 0.000000 10 3.000000 0.000000 11 8.000000 0.000000 12 2.000000 0.000000 13 0.000000 -0.5000000 14 1.000000 0.000000 15 3.000000 0.000000 16 8.000000 0.000000 17 2.000000 0.000000 18 0.000000 -0.5000000 19 1.000000 0.000000 20 3.000000 0.000000 21 8.000000 0.000000 22 2.000000 0.0000
24、00 23 0.000000 -0.5000000 24 1.000000 0.000000 25 3.000000 0.000000 26 8.000000 0.000000方案三求解程序：min=(0.5*(v1+v2+v3+v4+v5);v1+v2=18;v2+v3=20;v3+v4=19;v4+v5=17;v5+v1=12;运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 21.50000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost V1 6.000000 0.000000 V2 12.00000 0.000000 V3 8.000000 0.000000 V4 11.00000 0.000000 V5 6.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 21.50000 -1.000000 2 0.000000 -0.2500000 3 0.000000 -0.2500000 4 0.000000 -0.2500000 5 0.000000 -0.2500000 6 0.000000 -0.2500000
