《第五节-函数的极值与最大最小值课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五节-函数的极值与最大最小值课件.ppt（26页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、一、函数的极值及其求法,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如(P146例4),为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,函数极值的求法,费马(fermat)引理,-必要条件,在驻点或者是连续不可导点中去寻找.,因此寻求极值点的方法:,注意:,例如,定理 1(极值第一判别法),(是极值点情形),且在空心邻域,内有导数,求极值的步骤:,(不是极值点情形),(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点;,(2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点;,(3)求出极值点的函数值,即为
2、极值.,例1.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则 在点 取极大值;,则 在点 取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,例2,解,图形如下,注：运用第二充分条件求极值也有它的局限性.,若(x)在驻点,这三个函数在 x=0 处就分别属于这三种情况.,从而当,只能用第一充分条件来判定,处的二阶导数,(x)在,处可能有极大值,也可能有极小值,例如:,也可能没有极值.,(只需点连续即可),例3.求函数
3、,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故 为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,例4,定理3(判别法的推广),则:,数,且,1)当 为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当 为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.,证:,利用 在 点的泰勒公式,可得,例如,例3中,极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,例如:,为极大值,但不满足定理1,定理3 的条件.,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求 在
4、内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,-驻点和不可导点,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),例5.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:,求 最大值。,例6.设 是任意两正数，满足：,解:设,即求 f(x)在(0,a)内的最大值,令,得,是区间唯一的驻点，,故 为区间(0,a)之间的最大值,(k 为某一常数),例7.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20,AC AB,要在 AB 线上选定一点
5、D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D 点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD=15 km 时运费最省.,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,清楚(视角 最大)?,观察者的眼睛1.8 m,例8.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于,解:设观察者与墙的距离为 x m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.,问观察者在距墙多远处看图才最,内容小结,
6、1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找;,f(x)在某开区间或闭区间内连续可导，若有唯一的极值点，则必最值点。,2.连续函数的最值,在实际问题中，如果 f(x)有唯一的驻点，则一般为最值点。,思考与练习,1.设,则在点 a 处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,由保号性,P45 2（3）.当,
