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1、2023/4/3,皖西学院 数理系,1,前言,所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推断总体，或者由部分推断总体。这就是数理统计学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区间估计两种。对一些并不关心其分布类型的统计推断问题，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征称为参数。这时，抽样的目的就是为了解出这些未知的参数。,2023/4/3,皖西学院 数理系,2,第一节 点估计问题,2023/4/3,皖西学院 数理系,3,2023/4/3,
2、皖西学院 数理系,4,例 某种同型号的产品N个，其合格率未知，对该批产品作质量检验,从中随机抽取n个(nN).当第i次抽到的产品合格时，记Xi=1，反之记Xi=0.如何估计参数的取值。,分析：研究对象是总体产品的合格率.,总体X可以看作是服从参数为的01分布，由样本分布与总体分布的关系，可以确定样本X1,X2,，Xn的的联合分布。,如果样本X1,X2,，Xn的观测值记为,则样本的联合分布为,2023/4/3,皖西学院 数理系,5,怎样确定的取值呢？,方法一：,利用样本的函数和总体参数的关系。如：,其期望,方法二：,分析出现样本观测值 的原因。,出现该样本观测值的可能性概率应该较大。,2023/
3、4/3,皖西学院 数理系,6,第二节 估计方法,2023/4/3,皖西学院 数理系,7,一、替换原理与矩法估计,所谓替换原理就是用样本矩替换总体矩，也称为矩法。,1、基本思想：,2023/4/3,皖西学院 数理系,8,2、具体做法：【样本矩替代总体矩】,2023/4/3,皖西学院 数理系,9,例1 设有一批同型号的灯管，其寿命服从参数为的指数分布，现随机抽取其中的11只，测得其寿命如下：,110，184，145，122，165，143，78，129，52，130，168.,用矩法估计求的值。,解:总体的期望 EX=1=,样本均值,=130.55.,2023/4/3,皖西学院 数理系,10,例2
4、 设总体有均值及方差2，今有6个样本观测值为-1.20，0.82，0.12，0.45，-0.85，-0.30.,求和2 的矩估计。,解:,2023/4/3,皖西学院 数理系,11,，未知，求 的矩估计。,解：,注：矩估计不唯一（矩估计的缺陷）；一般尽可能用低阶矩来估计。,2023/4/3,皖西学院 数理系,12,二、最大似然估计,例4 设有外形相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和99个黑球，现随机取一箱，并从中取出一球，结果取得白球，问这只球是从哪个箱子取出的？,【“最像”即是“最大似然”的意思】,解：记B-取得白球，A1取到甲箱，A2取到乙箱.,2023/4/3,
5、皖西学院 数理系,13,则这批观测值出现的概率是,2023/4/3,皖西学院 数理系,14,样本的联合分布,2023/4/3,皖西学院 数理系,15,2023/4/3,皖西学院 数理系,16,2023/4/3,皖西学院 数理系,17,所以似然函数为：,2023/4/3,皖西学院 数理系,18,2023/4/3,皖西学院 数理系,19,2023/4/3,皖西学院 数理系,20,最大似然估计的不变性,2023/4/3,皖西学院 数理系,21,第三节 点估计的优良性,2023/4/3,皖西学院 数理系,22,一、无偏性,2023/4/3,皖西学院 数理系,23,2023/4/3,皖西学院 数理系,2
6、4,其中,所以,2023/4/3,皖西学院 数理系,25,例2 设总体服从R(0,)上的均匀分布，则的 最大似然估计不具有无偏性。,解：由上节知，的最大似然估计是,总体X的密度为,总体X的分布函数为,2023/4/3,皖西学院 数理系,26,所以 的密度函数为,注：的矩估计 则是的无偏估计。,即的最大似然估计 不是的无偏估计。,2023/4/3,皖西学院 数理系,27,补充说明,2023/4/3,皖西学院 数理系,28,二、有效性,无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有多个，而无法确定哪个估计量好。那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的
7、观察值更集中地接近在真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。而方差是反映随机变量取值的分散程度，所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理。,2023/4/3,皖西学院 数理系,29,2023/4/3,皖西学院 数理系,30,一般地，最大似然估计量比矩法估计量更优良。,2023/4/3,皖西学院 数理系,31,三、相合性,随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，即是相合性。,2023/4/3,皖西学院 数理系,32,注：一般的估计量都具有相合性。,2023/4/3,皖西学院 数理系,33,2023/4/3,皖西学院 数理系,34,四、均方误差补充内容,2023/4/3,皖西学院 数理系,35,均方误差点估计的方差+偏差的平方,2023/4/3,皖西学院 数理系,36,补充说明,利用方差考查有效性是合理的；,2023/4/3,皖西学院 数理系,37,第十章 课后作业,习题十 P1191201、2、3、6,
