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1、计量经济学,第三章 一元回归模型,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,一元回归模型,现在，我们用一个一次方程来表示两个数据X和Y之间的关系。Yi=+Xi+ui i=1,2,，n这个公式就是一元回归模型。X是表示原因的变量，成为解释变量或独立变量；Y是表示结果的变量，称为被解释变量或从属变量。u是误差项或扰乱项，它是Y的变化中不能完全由X的变化来解释的部分，换句话说，它表示的是Y（实际值）与+X（理论值）之间的偏差。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,一般来说，回归分析是为了发现X作为原因，Y作为结果是两者之间的因果关系，因此，X与Y之间的关系，理论上必须能够成立。如果对没
2、有理论意义上的公式进行推算，即使能够得出良好的推算结论，也是没有意义的分析，这一点必须充分注意。回归分析的主要目的是估计回归系数、，最常用的办法就是最小二乘法（ordinary least squares method，OLS）。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,最小二乘法（OLS）,利用OLS来估计一元回归模型，可以得到所谓的估计回归线（最小二乘回归线），即,称为的估计值（最小二乘估计值）。读作Y hat，如图所示，它是与X实际值（观测值）相对应的估计回归线上的Y值，称为Y的理论值（估计值、计算值、预测值等）。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,2013/11/16
3、,第一章 统计学基础知识,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,下面，就残差为u，残差=实际值-理论值其次，计算残差的2次方的总和，即残差平方和（residual sum of squares,RSS）,得寻找能够使残差平方和最小的 值，就是OLS的基本原理。为了求残差平方和 关于 的最小值，需要将上式对 分别求偏导，并设其为零，即,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,这个联立方程称为正规方程。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,例题3-1,利用下面的数据，对一元回归模型Y=+X+u进行最小二乘估计。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,解答,将数据带入
4、工作表中进行计算，得：,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,又解,将数据带入工作表进行计算。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,决定系数（coefficient of determination）,是反映估计的回归线对观测的数据的解释能力，或者说是反映两者拟合优度的尺度，是回归分析不可缺少的统计量。我们将Y的实际值与平均值之差的平方和称作Y的全部变化，即,另外将Y的理论值与平均值之差的平方和称作能够由回归解释的变化（回归平方和），即,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,这样，所谓决定系数R2反映的是Y的全部变化中，能够由回归来解释的部分的比率，其定义如下：,20
5、13/11/16,第一章 统计学基础知识,决定系数的计算公式可以采用下面三个公式中的任何一个。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,此外，决定系数与相关系数之间有以下关系：决定系数=相关系数的平方决定系数的取值范围为：0R21决定系数越接近于1，理论值与实际值越近似，说明模型的解释能力越强。例如，如果R2=90%，则模型具有90%的解释力；如果R2=30%，则说明模型只有30%的解释力,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,例题3-2,表3-3显示了日本1994-2005年的12年间，实际国内生产总值X与实际居民消费支出Y的数据。（1）对下面的宏观消费函数进行最小二乘估计；Y
6、=+X+u（2）计算决定系数R2，并考察估计出来的宏观消费函数的拟合优度；（3）求理论值和残差；（4）利用（1）中估算出来的宏观消费函数，当实际国内生产总值在510兆日元和570兆日元时，对实际居民消费支出分别进行预测。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,表3-3 日本实际国内生产总值与实际居民最终消费支出 单位：兆日元,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,解答（1）,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,解答（2）,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,解答（3）,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,表3-4 实际居民最终消费支出的实际值、理论
7、值和残差,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,解答（4）,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,非线性方程（non-linear equation）的回归分析,当数据的分散情况在一定的较小的范围时，被解释变量与解释变量之间的回归关系，大部分是线性相。但是随着范围的扩大，非线性近似的情况很多。一般来说，非线性方程的回归分析，通过对被解释变量与解释变量的某种变换，可以将非线性方程转换成能够用最小二乘法进行分析的线性方程。下表所列的线性变换是非线性函数回归分析中常用的类型。,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,2013/11/16,第一章 统计学基础知识,谢谢观看,
