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1、圆柱截面曲线的探究歙县中学张萱一、使用教材2019年人教A版高中数学教材选择性必修第一册第3章.二、实验器材自制带刻度的圆柱体模型、己经截开的直径20Omm水管一节和直径25Omm的水管两节，刻度尺、适量的有色液体，两个直径同圆柱体容器口径相同的球，纸张和剪刀，图钉，细绳等等。三、实验设计思路和创新点（1） 椭圆的验证实验简单易操作。使得抽象的椭圆定义变得直观，可操作。（2） 椭圆验证实验的过程就是从观察和抽象概念入手，推理论证，数学建模，数学运算，数据分析，最后增强其直观想象能力。所以，经历这些全过程，学生的数学核心素养逐步得到提高。（3） 椭圆验证实验中选取了多个截面进行实验，避免了实验结
2、论的偶然性。（4） 实验解释原理这一部分，我们借助自制教具，轻松观察到椭圆的焦点即球的切点，轻松突破实验难点。同时，也便于测量长度。（5） 实验解释原理中，借助计算机模拟实验，将复杂动态的过程，生动直观的展现在学生，且利用数据变化，定量测算，有利于学生的认知。四、实验原理（1）实验一：能够在截面上找到两个定点，证明曲线上任何一点到这两个点的距离之和是个定值。（平面内，到两个定点的距离之和是定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆）2）实验二：过球外一个点，可作无数条直线与球相切，且切线长相等。在如图所示图形中，有PE+PF=PR+PQ=RQ=O1O2为定值。五、教学背景（一）教材分析圆柱截面曲
3、线的探究这节课是在学习了基本立体图形的概念，椭圆的定义和性质的基础上的一节实验验证课。圆锥，圆柱体的截面曲线类型题目近些年频繁出现在压轴题位置，难度大，综合性强。这个实验用既利用的椭圆的标准方程和简单几何性质找到了椭圆的焦点，又通过球切点的外置确定了焦点，从而验证截面曲线是椭圆。这既是对椭圆的性质，椭圆的定义，圆柱相关知识的灵活运用，也为圆锥曲线的相关实际问题，例如“篮球的投影”“椭圆的面积”等综合问题打下基础。(二)课标分析课程标准指出：“通过高中数学课程的学习，需要提高学生从数学的角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，并不断提高实践能力，提升创新意识。”因此，引导学生运用已有的数
4、学知识设计实验去分析，探究数学的概念和性质就显得尤为重要。(H)学情分析(1) 通过圆锥曲线的方程内容的学习，学生己经了解了椭圆的定义和简单的几何性质，对椭圆的认识也从直观感性上升到利用定义和建立方程求解。但是由于学生的直观想象力有限，圆柱截面曲线又是空间中的曲线，所以造成了学生思维上理解困难，难以深入理解。(2) 高二的学生己经具备了一定的实验观察能力、分析能力和实验探究能力。在数学教学中，自制教具，将数学史上的经典实验“但德林双球实验”真实展现在学生面前，让学生经历了知识发生的过程，从本质上证明了圆柱的一种截面曲线是椭圆。同时也培养了学生的实验观察能力和科学探究能力。六、实验教学目标(1)
5、通过本实验，学生能够加深对椭圆定义的理解，同时学会应用椭圆的标准方程和简单几何性质。(2)在本实验中，我们将渗透数学的学科核心素养。从实际的问题，抽象概念出发，推理论证，数学建模，数学运算，数据分析，最后增强其数学核心素养。(3)通过参与实践活动的过程，获得基本的活动经验，掌握解决实际问题的策略和方法，提高学生的合作意识，提升其综合能力；(4)初步形成科学的探究精神，即观察一一猜想一一实验证明一一实际应用这一过程。七、实验教学内容由教师展示实物创设情境，引入实验。首先进行“圆柱的一种截面曲线是椭圆”的验证实验，紧接着利用自制教具，实验探究其原理.最后，利用计算机模拟实验，定量的分析出“圆柱的一
6、种截面曲线是椭圆“。在调动学生积极性的同时，培养他们从观察一一猜想一一实验验证一一实际应用这一科学探究能力。八、实验教学过程本节课分成三个环节进行，以便突出重点，突破难点，达到预定的教学目标。（一）用实物展示创设情境，引入课题。将一个透明的圆柱体容器，内部装有一定的有色液体。当圆柱体容器竖直，水平，倾斜放置时，内部液体的水平面将呈现出圆形，长方形和椭圆三种不同的形状，从而引出圆柱截面曲线的概念。（二）用实验验证圆柱的一种截面曲线是椭圆（实验一）（I）实验器材：两节直径为250mm的水管从不同角度截下，将200mm的水管从某一角度截下，形成3个不同的截面曲线；（设计意图：验证结论的一般性，避免实
7、验的偶然性）（2） 实验原理：能够在截面上找到两个定点，证明曲线上任何一点到这两个点的距离之和是个定值。（3） 实验步骤步骤1：将3个不同的截面曲线印在白纸上，描出边界，并用剪刀剪下；步骤2：将所得的图形左右对折，上下对折，确定其两条对称轴，测量出半长轴。，半短轴力，通过公式C=L-，最后计算确定定点；步骤3：剪一段长为2。的绳子，将绳子的端点固定在两个定点上，用笔尖拉直绳子，看笔尖是否一直在曲线上运动。（4） 学生实验学生按照实验设计中的具体操作步骤，进行实验。（5） 教师演示教师利用展板，演示“圆柱的一种截面曲线是椭圆”的验证过程，得出实验结论：圆柱的一种截面曲线是椭圆。（6） 实验的结论
8、通过验证3个不同的圆柱截面曲线，我们得到结论，圆柱的一种截面曲线是椭圆。（H）实验解释原理（实验二）（1）自制教具，演示实验（1.（1） 教具介绍这个装置是内径为IOOmm的圆柱。将其从某一角度切开，然后按照之前实验的步骤，得到该曲线的焦点。并且将所得的标有焦点的截面曲线粘在圆柱上。并留下所得的截面曲线痕迹图。将两个内径为Ioomm的球从上下两端卡入圆柱内部，使其与圆柱侧面和所得截面都相切，并画出球与圆柱侧面相切的曲线；将切下一半圆柱，从截口曲线开始，到与球相切的曲线截至，在竖直方向标上刻度，以方便测量长度。（1.（2） 确定焦点即切点将两个直径与圆柱相同的球，缓缓卡入圆柱体内部，使其与所得截
9、面和圆柱侧面都相切。观察得到球与截面的切点恰好为这个椭圆的焦点这个结论。（1.（3） 验证截面曲线任意一点P到Fl的距离等于其到对应切点Pl的距离相等。我们从直观感知到实际测量（事先在椭圆的圆周上取9个点，记作4,&C,。,瓦尸,GH,/测量其到Fl的距离，测量其到对应圆柱侧面切点的距离，将得到的数据填在下表）再到理论解释，得到圆柱截面曲线上任意一点P到Fl的距离等于其到对应切点Pl的距离。进而推出PEPFPKPQRQOiO2,圆柱的一种截面曲线是椭圆。再进而，我们能够得到个椭圆的长轴长等于两球心的距离，这个椭圆的短轴长等于圆柱的直径，这个椭圆的焦距等于两切点的距离这3个结论。（2）计算机模拟
10、实验（利用自制的GGB课件进行演示）（2.（1） 机模拟实验1,直观验证截面曲线是椭圆；（2.（2） 机模拟实验2,改变圆柱的截面，截面曲线仍是椭圆；（2.（3） 机模拟实验2,改变截面的角度，截面曲线仍是椭圆。（2.（4） 上面3个实验，我们可以得到结论：不论圆柱的直径为多少，不论从什么角度截下（不与圆柱的轴平行，垂直），得到的一类截面曲线是椭圆。九、实验效果评价本节课，我们设计了一系列实验。从简单的验证截面曲线满足椭圆的定义入手，到推出实物的“但德林双球实验”，再到利用信息技术制作GeoGebra课件，全面动态的展示“但德林双球实验”。以上几个环节环环相扣，层层深入递进，让学生对于椭圆相关知识的理解逐步深入，全面。同时锻炼了学生的科学思维能力，培养了学生科学探究精神，提高了学生的科学素养，也提高了学生的数学核心素养。
