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1、第九章 微分方程习题课,一阶微分方程,一、基本概念,1 一阶微分方程的定义,或,2一阶微分方程的解、通解,一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解,3一阶微分方程的特解,4一阶微分方程的类型,（1）可分离变量方程：,（2）齐次方程：,（3）一阶线性微分方程：,初始条件：.,特解：初值问题 的解。,二、解题方法流程图,求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：,（1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。,(齐次方程),(一阶线性方程),（2）解出 的解析式：判别是否为下面类型的方程：,对于这些类型的方程，它
2、们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：,A.熟悉常用的微分公式；,B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；,一阶微分方程的解题方法流程图如下。,C变换自变量和因变量（即有时把 看成自变量，而 考虑 的方程类型）。,求 通解,一阶线性方程,通解为,贝努利方程,其它一般方程,令,一阶线性方程,变量代换,齐次方程,令,可分离变量,全微分方程,可分离变量方程,在G内取,通解,隐式通解,解题方法流程图,三、典型例题,解：分离变量为,积分得,分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。,【例1】求解微分方程。,因此，所求通解为.,分析：将方
3、程变形，得,此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。,【例2】求微分方程 的通解。,解：令,于是,上式可化为,分离变量,积分得,所以,故原方程的通解为,即,为可分离变量的方程,分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。,【例3】求微分方程 的特解。,解法1：对应齐次方程为,分离变量解得,代入原方程得,由常数变易法，令，则,解得,所以原方程通解为,特解为,将 代入得,特解为,将 代入得,解法2：因为，利用求解公式得,【例4】求微分方程 的通解.,分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法将 当作自变量，则方程为非线性方程。,但若将 当作因变
4、量，即将方程改写为,此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。,解：因为,由公式得原方程的通解为,所以 为一阶线性微分方程,分析：可将方程变形为，此方程为齐次方程；,所以按框图中的方法分别求解。,也可将方程变形为，此方程又为贝努利方程，,令，代入原方程得,解得，即,解法1：将原方程整理成,即标准的齐次方程，,【例6】求方程 满足 的特解。,代入 有，原方程特解是,数的一阶线性方程，解之得,即,解法2：整理原方程得，为贝努利方程。,令 代入原方程得，是以 为未知,代入 有，原方程特解是,分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。,即
5、,解：等式两边对 求导得,为一阶线性非齐次微分方程,且，解得,将 代入，得,二、二阶常系数线性微分方程,1定义,(1)二阶常系数线性齐次微分方程：,(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:,2解的结构性质,3.非齐次方程的解题方法,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：,1）写出特征方程并求根；,2）求对应的齐次线性方程的通解,4）写出原方程的通解。,解题方法流程图如下图所示。,解题方法流程图,求 通解,4、典型例题,分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出,对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。,，特征方程为,对应齐次方程为：,对应齐次方程通解为：,所求的方程为：,通解为
6、：,分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结,构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解.,解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，,它的特征方程,解得两个不同的实根,故齐次方程的通解为,由于 是 型(其中)，且,不是特征方程根，所以应设特解,得非齐次方程的通解为,解得,所求的特解为,解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，,它的特征方程为,解得两个不同的实根,故齐次方程的通解为,由于 是 型,（其中）,解之，得,由此求得一个特解为,比较等式两边的系数，得,求出 把它们代入原方程，得,故齐次方程的通解为,（其中,代入原方程，解之得,故特解为,于是所求通解为,故齐次方程的通解为,属于混合型，令,不是特征方程根，故可设,所以,得,是特征方程根，故可设,求,于是原方程的通解为,故齐次方程的通解为,代入原方程，并比较两边系数，得,所以原方程的通解为,从而,分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分,上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。,即,为二阶线性非齐次微分方程，且,可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为,
