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1、,第二章 导数微分及其应用,2023年4月3日星期一,2,微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元 263 年，刘徽为九间算术作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是“有限”开工的穷
2、竭法。,微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。,解析几何为微积分的创立奠定了基础。,2023年4月3日星期一,3,第一节 函 数,区间,一、预备知识,设a，b是两个实数，且ab,开区间：满足不等式 axb一切实数的全 体。,闭区间：满足不等式 axb的一切实数的 全体。,半开区间：满足不等式 axb的一切实数的 全体。：a x b,2023年4月3日星期一,4,表示全体实数，或写成 x；,表示大于a的全体实数，或写成a x+；,表示小于a的全体实数，或写成 x a；,表示 a x+；,表示 x a。,2023年4月3日星期一,5,2.邻域,2023年4月3日星期一,6,例：2的0.001邻域为（1.
3、999,2.001）2的0.001去心邻域为(1.999,2)(2,2.001),2023年4月3日星期一,7,二、函数,函数的概念,2023年4月3日星期一,8,注,函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。,2023年4月3日星期一,9,2023年4月3日星期一,10,2.复合函数,设y是的z函数：y=f(z)，而z又是x的函数：z=g(x)。,设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D 上取值时所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数y=f(z)得 y=f(g(x),D,g(D),F(g(D),这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复
4、合函数，记作 fg。变量z叫做中间变量。,函数f的定义域,g,f,2023年4月3日星期一,11,例1.2,2023年4月3日星期一,12,3.初等函数,基本初等函数,2023年4月3日星期一,13,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。,2023年4月3日星期一,14,2023年4月3日星期一,15,第二节 数列的极限,无穷多个实数排成一列a1,a2,a3,an,称为数列，记为an，其中的每一个数称为数列的一个项，an称为数列的通项。,1、数列的极限,(1)、定义,（1）3.1，3.14，3.141，3.1415
5、，3.14159，3.141592，3.1415926，；（2）2，4，8，16，2n，；（3）1/2，1/4，1/8，1/16，1/2n，；（4）1，-1/2，1/3，-1/4，(-1)n+1/n，；（5）1，1/2，2/3，3/4，(n-1)/n，；,2023年4月3日星期一,16,(4)、数列极限,如果数列没有极限，称数列是发散的。,如果对于任意给定的正数，总存在着一个正整数N，使得对于nN的一切an，有不等式|an a|称数列an以有限数a为极限，常数a叫作数列an当n时的极限。或称数列an收敛到a，记作,2023年4月3日星期一,17,(2)、单调数列,单调增加数列和单调减少数列统称
6、单调数列。,(3)、有界数列,对于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M anM，称数列an为有界数列。,如果有，则称an为单调减少数列。,对于数列an，如果有，则称an为单调增加数列；,2023年4月3日星期一,18,证明,2023年4月3日星期一,19,(5)定理 若数列an收敛，那么an是有界数列。,注：这个定理反映出处理有关“无限”问题的一个基本思想：就是将无限转化为有限。,2023年4月3日星期一,20,2、级数,、定义,把用加号连起来的无穷多个数称为无穷级数(简称级数)。,例,2023年4月3日星期一,21,、部分和及部分和数列,设有级
7、数,级数的部分和为,2023年4月3日星期一,22,2023年4月3日星期一,23,例2.2 证明,所以,因此,2023年4月3日星期一,24,3、函数的极限,、当xx0时函数f(x)的极限,如果对于任意给定的0，总存在一个0，0|x-x0|时，有|f(x)-A|,则称当x x0时函数f(x)以A为极限。,注：1:用来表示f(x)和A的靠近程度，是任意给定的。,2:用来表示x和x0的靠近程度,选取依赖于。,2023年4月3日星期一,25,函数极限的几何意义：任意给定的0，作直线 y=A+，y=A-,这两条直线形成一横条区域.对于这个,存在点x0的一个邻域(x0-，x0+)，当x(x0-，x0+
8、)但xx0时，有不等式：,点（x,f(x)）落在上面所做的一横条区域内。,2023年4月3日星期一,26,2023年4月3日星期一,27,2023年4月3日星期一,28,、当x时函数f(x)的极限,2023年4月3日星期一,29,解,2023年4月3日星期一,30,、极限的四则运算法则,当x 时，性质也成立。,2023年4月3日星期一,31,数列极限四则运算也有类似的定理:,2023年4月3日星期一,32,2023年4月3日星期一,33,所以,解,注意到,2023年4月3日星期一,34,分母的极限不为零。,解,2023年4月3日星期一,35,4、两个重要极限,2023年4月3日星期一,36,解
9、,因此,2023年4月3日星期一,37,解,2023年4月3日星期一,38,解,先用x去除分母及分子，然后取极限.,2023年4月3日星期一,39,解,2023年4月3日星期一,40,5、无穷小量和无穷大量,、无穷小量,例如,一个函数 当 时以0为极限，称该函数为当 时的无穷小量。,2023年4月3日星期一,41,.定理,无穷小量阶,2023年4月3日星期一,42,2023年4月3日星期一,43,下面是几个常用的等价无穷小：,2023年4月3日星期一,44,、无穷大量,2023年4月3日星期一,45,2023年4月3日星期一,46,第三节 连 续,1、连续的定义,2023年4月3日星期一,47
10、,2023年4月3日星期一,48,区间连续的定义,2023年4月3日星期一,49,连续函数的图象是一条连续的曲线。,2023年4月3日星期一,50,2023年4月3日星期一,51,2、初等函数的连续性,定理 基本初等函数在定义域内都连续。,定理 初等函数在定义域上的区间上连续。,2023年4月3日星期一,52,解,2023年4月3日星期一,53,3、闭区间上连续函数的性质,有界性定理 闭区间上连续的函数在此区间上一定有界。,2023年4月3日星期一,54,最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在此区间上一定有最大值和最小值即：,2023年4月3日星期一,55,2023年4月3日星期一,56,
11、2023年4月3日星期一,57,证明,2023年4月3日星期一,58,如果记f(x)在闭区间a,b上的最的大值为M，最小值,为m,且mcM，那么存在一点a,b使得 f()=c。,2023年4月3日星期一,59,2023年4月3日星期一,60,第四节 函数的导数,一、导数的概念,两个例子,(1)、切线问题,设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？,2023年4月3日星期一,61,2023年4月3日星期一,62,(2)、瞬时速度,设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离,开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0)？,2023年4月3日星期一,63,
12、1、定义,存在，则称这个极限为函数 f(x)在点x0处的导数，,并称函数f(x)在x0处可导或有导数。,(点导数),2023年4月3日星期一,64,如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导。,解：,2023年4月3日星期一,65,2023年4月3日星期一,66,2、定义,(区间导数),2023年4月3日星期一,67,导函数的定义式为,2023年4月3日星期一,68,解：,2023年4月3日星期一,69,3、基本求导公式和求导法则,基本求导公式,2023年4月3日星期一,70,导数的四则运算,2023年4月3日星期一,71,解：,解：,2023年4月3日星期一,72,解：,2023年4
13、月3日星期一,73,复合函数的求导法则链锁法则,2023年4月3日星期一,74,解：,将函数分解的两个简单函数，,根据链锁法则，有,2023年4月3日星期一,75,解：,将函数分解的两个简单函数，,根据链锁法则，有,2023年4月3日星期一,76,4、高阶导数,二阶及二阶以上的导数称为高阶导数,2023年4月3日星期一,77,解：,先求函数的一阶导数,再求一阶导数的导数,二阶是一阶导数的导数,2023年4月3日星期一,78,2023年4月3日星期一,79,第五节 函数的微分,一、微分的概念,1.定义 设y=f(x)在点x处可导，则 称为函数 y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即：dy=。,
14、微分的表达式,2.定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导。,2023年4月3日星期一,80,二、微分的几何意义,AT是曲线y=f(x)上点A处的切线。,其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。,当自变量从x变到x+dx时，曲线y=f(x)在点A处的切线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。,2023年4月3日星期一,81,解：,因为,所以,2023年4月3日星期一,82,三、基本微分公式,2023年4月3日星期一,83,四、微分的运算,2023年4月3日星期一,84,解：,用函数乘积的微分法则，,2023年4月3日星期一,85,2023年4月3日星期一,86,第六节 导数的应用,一、拉格朗
15、日(Lagrange)中值定理,l,P,2023年4月3日星期一,87,2023年4月3日星期一,88,二、洛必塔法则,2023年4月3日星期一,89,解：,因为,所以,2023年4月3日星期一,90,2023年4月3日星期一,91,解：,因为,所以,2023年4月3日星期一,92,三、函数的单调性,2023年4月3日星期一,93,解：,2023年4月3日星期一,94,四、函数的极值,函数的极大值和极小值都称为函数的极值，函数的极大值点和极小值点都称为函数的极值点。,2023年4月3日星期一,95,称使 为零的点为函数的驻点。,2023年4月3日星期一,96,2023年4月3日星期一,97,解：,下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：,2023年4月3日星期一,98,下面列表考察导数的符号以及函数的单调性与极值：,2023年4月3日星期一,99,解：,2023年4月3日星期一,100,2023年4月3日星期一,101,结 束,
