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1、,第15章 动能定理,在自然界中存在着多种运动形式，它们在一定条件下会相互转化。,度量各种形式的运动的物理量就是能量，简称为能。物体作机械运动时所具有的能，称为机械能，包括动能和势能。除了机械能，还有电能、热能、声能、光能等等。,度量能量变化的量是力所作的功。能与功既有密切的联系，又是两个不同的概念：能是物质运动的度量,功则是能量变化的度量。而揭示动能与力所作的功之间关系的则是动能定理，它表达了机械运动状态变化时能量之间的传递和转化规律。,15.1 功和功率,功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。,15.1.1 功的概念及
2、元功的表达式,1恒力的功,设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的 投影与位移的大小s的乘积即为力F在位移s上所作的功，即,（15.1）,也可写作（15.2）,15.1 功和功率,式中 是力F与位移s之间的夹角。根据功的定义，功是代数量。由上式可知，当 力作正功，力作负功，时力的功等于零。,在国际单位制中，功的单位是焦耳（符号为J），即1J1Nm1kgm2/s2,2.变力的功 设质点在变力F作用下作曲线运动。当质点从M1沿曲线运动到M2时，力F所作的功的计算可处理为：,（1）整个路程细分为无数个微段ds;,（2）在微小路程上，力F的大小和方向可视
3、为不变；,15.1 功和功率,（3）dr表示相应于ds的微小位移，当ds足够小时，。,根据功的定义，力F在微小位移dr上所作的功（即元功）为,（15.3）,或用它们的直角坐标轴上的投影来表示：,（15.4）,当质点从M1沿曲线运动到M2时，力F所作的功为,（15.5）,15.1 功和功率,或者,（15.6）,式（15.6）是功的解析表达式。,3.合力的功 合力在任一路程上所作的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即,15.1 功和功率,1.重力功,设有一重力为G的质点，自位置 沿某曲线运动至，如图所示坐标系中，有,Fx=0,Fy=0,Fz=0,根据计算功的公式(156)，有,重力的功等于重
4、力与始末位置高度差的乘积，与质点运动的路径无关。,2.弹力的功,设一弹簧，刚度系数为k，质点M与其连接，弹簧自然长度为l0,取弹簧自然长度位置为坐标原点，在变形过程中的任意位置x（坐标x表示弹簧的变形）时的弹性力可由胡克定律来计算：,式中负号表示弹性力F在x轴上的投影的符号与质点M的坐标x的符号相反。弹性力F的方位沿弹簧的轴线，指向变形恢复的一方。,由上式可看出弹性力是变力，其所作的功可根据（15.6）式来计算。,15.1 功和功率,设物体由位置M1运动至位置M2，弹簧的初变形量为1，末变形为2，在这一过程中弹性力的功为,（15.8）,弹性力的功与质点运动的路径无关，只与弹簧始末位置的变形量有
5、关。,3作用定轴转动刚体上力及力偶的功,设刚体可绕固定轴z转动，力F作用于其上的M点，如图所示，转动的角速度为。,（1）当刚体转过一个无限小角度时,15.1 功和功率,（2）对于力F可分解为：轴向力、径向力、切向力，显然轴向力、径向力都不作功。力F所作的元功等于切向力所作的元功，即,（15.9）,因而,（15.10）,式（15.10）表明，作用于定轴转动刚体上常力矩的功，等于力矩与转角大小的乘积。当力矩与转角转向一致时，功取正值，相反时，功取负值。,如果作用在刚体上的是一力偶，其作用面垂直于转轴，则用Mz表示力偶矩后，式（15.9）和（15.10）就代表力偶所作的功。,15.1 功和功率,例1
6、5.1 原长为，刚度系数k为的弹簧，与长为l，质量为m的均质杆OA连接，直立于铅垂面内，如图所示。当OA杆受到常力矩M作用时，求杆由铅直位置绕O轴转动到水平位置时，各力所作的功及总功。,解：以OA杆为研究对象，杆在运动过程中，只有重力、弹性力和力矩作功。现分别计算各力的功。,总功,15.1 功和功率,15.1 功和功率,功率：力在单位时间内作的功称为功率。如电动机或发动机的功率愈大，表示在给定时间内它所作的功愈多。,力的功率：（15.11）作用于质点上力的功率，等于力在速度方向上的投影与速度的乘积。,力矩（力偶矩）的功率：（15.12）转矩的功率，等于转矩与物体转动的角速度的乘积。,功率的单位
7、是瓦（W），1W=1J/s,思考：,1上坡时车辆减速以增加牵引力的道理是什么？试解释说明。,（答：当机器的功率一定时，减低速度或转速，即可增大力或转矩，用以克服阻力。）,2机床加工工件时，如欲增大切削力，采取何措施？,15.1 功和功率,15.2 质点和刚体的动能,一切运动的物体都具有一定的能量。飞行的子弹能穿透钢板，运动的锻锤可以改变锻件的形状。物体由于机械运动所具有的能量称为动能。,15.2.1 质点的动能,若质点的质量为m，速度为v，则质点的动能定义为,（15.13）,上式表示：质点在某瞬时的动能等于质点质量与其速度平方乘积的一半。,动能是一个标量，恒为正值，单位与功的单位相同。,15.
8、2 质点和刚体的动能,设质点系中任一质点的质量为mi，在某瞬时的速度值为vi，则在该瞬时质点系内各质点动能的总和称为质点系的动能，即,（15.14）,例：如图所示的质点系有三个质点它们的质量分别为m1=2m2=4m3。忽略绳子的质量，并假设绳不可伸长，则三个质点的速度都等于v，则质点系的动能为,15.2 质点和刚体的动能,对于刚体而言，由于各质点间的相对距离保持不变，故当它运动时，各处质点的速度之间必定存在着一定的联系，因而可以推导出刚体作各种运动时的动能计算公式。,1.平动刚体的动能,（15.15）,刚体作平动时的动能等于刚体的质量与平移速度平方乘积的一半。,2.刚体绕定轴转动时的动能,（1
9、5.16）,刚体绕定轴转动时的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,15.2 质点和刚体的动能,3.刚体作平面运动时的动能,刚体的平面运动可看成绕速度瞬心 作瞬时转动，如图所示。由式（1516）得,（a）,由转动惯量的平行轴定理可得,（b）,把（b）代入式（a），可得到,（15.17）,刚体作平面运动时的动能等于刚体随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。,15.2 质点和刚体的动能,若一个系统包括几个刚体时，那么系统的动能等于组成该系统的各刚体的动能之和。,其它运动形式的刚体，应按其速度分布计算该刚体的动能。,例如，一车轮在地面上滚动而不滑动，如图所示。若轮心作直线运动，速度
10、为vC，车轮质量为m,质量分布在轮缘，轮辐的质量不计，则车轮的动能为,15.2 质点系的动能,例15.2 均质细长杆长为l，质量为m，与水平面夹角，已知端点B的瞬时速度为vB，如图所示。求杆AB的动能。,解：杆作平面运动，速度瞬心为C，杆的角速度为,质心速度C为,则杆的动能为,15.3 动能定理,15.3.1 质点的动能定理,设质量为m的质点在力F作用下作曲线运动，由M1运动到M2，速度由v1变为v2，质点的动力学基本方程：,等式两边分别乘以微段位移dr，得,可写为（）,而,代入上式，有,将上式沿曲线M1M2积分，得,即,（15.18）,15.3 动能定理,式（15.18）表明：在任一机械运动
11、过程中质点动能的变化，等于作用在质点上的力在此过程中所作的功。这就是质点的动能定理。,动能的改变量是由功来度量的。力的功大，动能的改变量就大；反之，动能的改变量就小。若力对质点作正功，质点的动能增加；反之则减少。,动能和功都是标量，动能定理是一个标量方程，利用它运算时系作代数运算，因而比较方便。动能定理提供了速度、力与路程之间的数量关系式，可用来求解这三个量中的任一个未知量。,15.3 动能定理,例15.3 为测定车辆运动阻力系数k（k为运动阻力F与正压力之比），将车辆从斜面上A处无初速度地任其滑下。车辆滑到水平面后继续运行到C处停止。如已知斜面长度l,高度h，斜面的投影长度，水平面上车辆的运
12、行距离s，如图所示。求车辆运行时的阻力系数k值。,分析：（1）车辆视为质点；（2）由于动能定理提供了速度、力与路程之间的数量关系式，可用来求解这三个量中的任一个未知量；,解：（1）取车辆研究，分析车轮的在两阶段的受力。,（2）计算始末位置时的动能。,15.3 动能定理,始位置A处，车辆静止，末位置C处，车辆停止，。,（3）计算由A到C这一过程中各力所作的功。,AB段,BC段,（4）利用动能定理计算末知量,即,解得,15.3 动能定理,质点的动能定理推广到质点系。,刚体可视为各质点间的距离始终保持不变的质点系。,设刚体内某质点的质量为mi，在某一段路程的末了和起始的位置的速度分别为vi2，vi1
13、，作用在质点上的外力的合力作的功为，内力的合力作的功为，根据质点的动能定理有,将刚体内所有质点的方程相加得,15.3 动能定理,对刚体来讲，各质点间的相对位置固定不变，因此内力功的代数和等于零。故有,（15.19）,上式表明，刚体动能在任一过程中的变化，等于作用在刚体上所有外力在同一过程中所作功的代数和。这就是刚体的动能定理。,理解动能定理时注意：,1.研究对象若是质点系，应分析内力是否作功；对刚体来说，只需考虑外力的功。,2.在计算外力功时，应清楚主动力的功和约束力的功；主动力的功前面已学过，而约束属于理想约束（如光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的柔索等）时，它们的约束反力或不作功，或者作功之
14、和为零，则方程中只包括主动力所作的功。如遇摩擦力作功，可将摩擦力当作特殊的主动力看待。,15.3 动能定理,应用动定理求解动力学问题的方法步骤：,（1）选取研究对象（质点、质点系或某一部分）；（2）确定力学过程（从某一位置运动到另一位置）；（3）计算系统动能（分析质点或质点系运动，计算在确定的力学过程中起始和终了位置的动能）；（4）计算所有力所作的功（主动力、摩擦力等的功，分析内力、约束反力是否作功）；（5）应用动能定理建立方程，求解欲求的未知量。,应用动能定理求动力学问题时，一般都有一个力学过程，例如s距离或转动一个 角，因此解题时若题目未给出，可以假设一个s或。,15.3 动能定理,例15
15、.4 均质圆柱质量为m，半径为R,放在倾角为 的斜面上，如图所示，由静止开始纯滚动，求轮心O下滑s距离时圆柱的角速度。,解：（1）取均质圆柱为研究对象。在滚动过程的任一瞬时分析受力。,（2）计算动能,圆柱作平面运动（纯滚动），C为速度瞬心，则始末位置的动能分别为：,15.3 动能定理,（3）计算力的功,摩擦力Ff，法向约束力FN在滚动过程中均不作功。,（4）列方程,解得,15.3 动能定理,例15.5 曲柄连杆机构如动画所示。已知曲柄OA=r，连杆AB=4r，C为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆为均质杆，质量分别为m1和m2。曲柄开始时静止且在O轴右边的水平位置。不计滑块的质
16、量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度。,分析：（1）此题是一个力学过程问题，即曲柄在不变转矩M的作用下，转过一周时的角速度，可应用动能定理求解。（2）此题是刚体的动力学问题，应注意分析刚体的运动，这样才能正确计算刚体的动能。,15.3 动能定理,解：（1）取刚体系统曲柄连杆机构为研究对象，分析受力。,（2）计算动能,始位置：,末位置：,式中,代入上式得,15.3 动能定理,（3）计算各力的功,曲柄转过一周，在此过程中各力的功分别为,力偶M所作的功,；,重力的功为零；理想约束，约束力不作功。,（4）列方程,解得,15.3 动能定理,附加题：图示卷扬机中，均质鼓轮的半径为r，重为P，绕固定轴O转动。作用在鼓轮上的主动力偶矩为M。小车的重量为Q，斜面的倾角为，略去绳重和摩擦。小车由静止开始，求它沿斜面走过路程S时的速度。,作业,15.10,
