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1、1,定理的推广p123 设Z=g(X,Y),g(x,y)为二元连续实函数,Eg(X,Y)存在,(1)若(X,Y)为离散型,PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2),则,(2)若(X,Y)为连续型,概率密度为f(x,y),则,2,例1.设(X,Y)的分布律如下，求E(X+Y)和E(XY)?,3,例2.设(X,Y)的概率密度如下，求 E(XY)、E(X).,解：,5,性质1 E(c)=c,性质3 E(XY)=E(X)E(Y),性质4 如果X,Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y),二、数学期望的性质,性质2 E(cX)=cE(X),推广：设 为n个r.v.，则有,推广：若 为相互独
2、立的r.v.，则,6,证:设二维连续型r.v.的联合概率密度为,其边缘分布密度、,性质3 E(XY)=E(X)E(Y),7,性质4 如果X,Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y),若X和Y相互独立，此时,证:,8,例4.将r个球放入N个盒中，设每个球落入各盒中是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望.,提示：将一个r.v.分解成若干个r.v.的和，这是一个常用的技巧.,9,例5.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求 E(X).（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。,10,推
3、广：设 是相互独立的r.v.，则,设X、Y相互独立，则有,一般情况下，则有,三、方差的性质,11,证明：,证：,注：,12,解：Xb(n,p)，则X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数，引入r.v.,则 XX1+Xn,显然 XiB(1,p)，其分布律为,例6.设Xb(n,p)，求E(X)、D(X).,13,例7.XU(1,3),YN(2,4)且X、Y独立，求E(3X-4Y-1)、D(3X-4Y-1)和 E(Y2).,14,正态分布的可加性(p119):,则,推广：设,且X1,Xn相互独立，则,设X和Y相互独立，且,15,例8.设活塞的直径XN(22.4，0.032)，气缸的直径YN(22.5,
4、0.042)，X、Y相互独立。任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。,16,1)k阶(原点)矩:2)k阶中心矩:3)k+l 阶混合(原点)矩:4)k+l 阶混合中心矩:,4.7 矩、协方差及相关系数,1.原点矩与中心矩,注：,17,例1.设随机变量X的分布律为,求：,18,2.定义 若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)为X与Y的协方差,易见 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),称为X,Y的相关系数。,(无量纲),19,3.协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0
5、；(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为 常数)；(4)Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y);(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,例2.Cov(4X+3Y+1,-2X+4Y)=?,20,4.相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；,XY 的意义：反映X与Y的线性关系，所以又叫线性相关系数.若XY 0，则称X、Y不相关，此时Cov(X,Y)=0.,例3.(1)若Y3X-4，则 XY,1,(2)设X的分布律如下，YX2,则XY,0,21,？,“独立”和“不相关”的关系,若X、Y独立，则
6、X、Y不相关。,但X、Y不相关，不一定能推出X、Y独立.,独立指没有任何关系，不相关仅指没有线性关系,但可能存在其它形式的密切关系。,对下述情形，独立与不相关等价,若(X,Y)服从二维正态分布，则,X与Y独立,X与Y不相关,(见p133、p114),22,例4.设X 服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X,（请课下自行验证）,因而 XY=0，,即X和Y不相关.,但Y与X有严格的函数关系，,所以X、Y不独立.,例5.设(X,Y)在G=(X,Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。,23,例6.设(X,Y)具有概率密度,求,解：,24,5.定义（X,Y）的协方差矩阵,的协方差矩阵,25,6.n维正态r.v.的性质p135,性质1:设,服从n维正态分布，,都是正态变量；,反之，若,是相互独立的正态变量,是n维正态变量,则每一个分量,则,性质2:,服从n维正态分布的充要条件是,服从一维正态分布（其中常数,的任意线性组合,不全为零）,26,性质3:设,服从n维正态分布，,都是,的线性函数，,服从k维正态分布。,性质4:,服从n维正态分布，则,两两不相关,相互独立等价于,则,
