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1、数据分布的特征,第5章 统计数据的标志值计算及其描述,第一节 集中趋势的测度 第二节 离散程度的测度第三节 偏度与峰度的测度,某个大企业为了登产品广告，作了电视收视率调查。因为收看晚间新闻联播节目的人最多，所以主要对晚间新闻联播节目的收视率作了调查。调查问卷与调查结果如下。调查问卷X1:在下面的A，B，C三个电视频道中，你主要收看哪个频道的晚间新闻联播节目。频道A 频道B 频道CX2:你认为，你经常收看的电视频道的晚间新闻节目办的如何？不好 一般 好 很好 非常好X3:你认为，你经常收看的电视频道的新闻节目播音员的播音水平如何?不好 一般 好 很好 非常好X4:你的性别？男 女X5:你的最终学
2、历？研究生毕业 大学毕业 高中毕业 小学毕业X6:你的年龄？()岁X7:你每周平均收看几个小时的电视？()小时,数据的特征和测度,集中趋势(Central tendency),测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据,第一节 集中趋势的测度,一.众数二.中位数和分位数三.均值四.众数、中位数和均值的比较,众数(概念要点),适合于任何数据类型出现次数最多的变量值不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数,众数(众数的不唯一性),无众数原始数据:10
3、 5 9 12 6 8,一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 42,定类数据的众数(算例),【例】根据表5-1中的数据，计算众数,解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即 Mo商品广告,定序数据的众数(算例),【例】根据表5-2中的数据，计算众数,解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满
4、意,数值型分组数据的众数(要点及计算公式),1.众数的值与相邻两组频数的分布有关,4.该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布,2.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,3.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,数值型分组数据的众数(算例),【例】根据表5-3中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数,中位数(概念要点),集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据,定序数据的中位数(算例),【例】根据表5-4中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的中位数,解：中位数的位置为：（300+1）/215
5、0.5从累计频数看，中位数的在“一般”这一组别中。因此 Me一般,数值型未分组数据中位数(位置的确定),未分组数据的中位数(计算公式),数值型未分组数据的中位数(5个数据的算例),原始数据:24 22 21 26 20排 序:20 21 22 24 26位 置:1 2 3 4 5,中位数 22,数值型未分组数据的中位数(6个数据的算例),原始数据:10 5 9 12 6 8排 序:5 6 8 9 10 12位 置:1 2 3 4 5 6,根据位置公式确定中位数所在的组采用下列近似公式计算：,3.该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布,数值型分组数据的中位数(要点及计算公式),数值型分组数据的
6、中位数(算例),【例】根据5-5中的数据，计算50 名工人日加工零件数的中位数,四分位数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于25%和75%位置上的值,3.不受极端值的影响4.主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,定序数据的四分位数(算例),【例】根据表5-6中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数,解：下四分位数(Q1)的位置为：Q1位置(300+1)/475.25 上四分位数(Q3)的位置为：Q3位置3(300+1)/4225.75从累计频数看，Q1在“不满意”这一组别中；Q3在“一般”这一组别中。因此 Q1 不满意 Q3 一般,数值型未分组数
7、据四分位数(位置的确定),数值型未分组数据的四分位数(7个数据的算例),原始数据:23 21 30 32 28 25 26排 序:21 23 25 26 28 30 32位 置:1 2 3 4 5 6 7,N+1,Q1=23,Q3=30,数值型未分组数据的四分位数(6个数据的算例),原始数据:23 21 30 28 25 26排 序:21 23 25 26 28 30位 置:1 2 34 5 6,Q1=21+0.75(23-21)=22.5,Q3=28+0.25(30-28)=28.5,数值型分组数据的四分位数(计算公式),四分位数:,数值型分组数据的四分位数(计算示例),Q1位置50/412
8、.5,Q3位置350/437.5,【例】根据表5-7中的数据，计算50 名工人日加工零件数的四分位数,均值(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.最常用的测度值3.一组数据的均衡点所在4.易受极端值的影响5.用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据,算术平均数(计算公式),设一组数据为：X1，X2，XN 简单均值的计算公式为,设分组后的数据为：X1，X2，XK 相应的频数为：F1，F2，FK加权均值的计算公式为,简单平均数(算例),原始数据:10591368,某企业经理付给他的雇员的每小时的工资分为三个等级：6.5元、7.5元、8.5元。该公司雇员的每小时工资的均值等于多少？,加权平均数（
9、算例）,【例】根据表5-8中的数据，计算50 名工人日加工零件数的均值,加权平均数(权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（F）：1 1 8 乙组：考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（F）：8 1 1,算术平均数(数学性质),1.各变量值与均值的离差之和等于零,2.各变量值与均值的离差平方和最小,调和平均数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.均值的另一种表现形式3.易受极端值的影响4.用于定比数据5.不能用于定类数据和定序数据6.计算公式为,调和平均数(算例),【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成
10、交数据如表5-9，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,调和平均数(算例),例1：水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。问：（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？（2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？（4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？例2：自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？,解：例1,（1）（2）（3）（4）,解：例2,几何平均数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.N 个变量值乘积的 N 次方根3.适用
11、于特殊的数据4.主要用于计算平均发展速度5.计算公式为,6.可看作是均值的一种变形,几何平均数(算例),【例】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-100%=3.84%,众数、中位数和均值的关系,离中趋势,反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值,第二节 离散程度的测度,一.极差和四分位差二.平均绝对差三.方差及标准差四.离散系数,极差(概念要点及计算公式),1
12、.一组数据的最大值与最小值之差,也称全距。2.离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响4.未考虑数据的分布,未分组数据 R=max(Xi)-min(Xi),组距分组数据 R 最高组上限-最低组下限,5.计算公式为,四分位差(概念要点),也称为内距2.上四分位数与下四分位数之差 QD=Q3-Q1反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性,平均绝对差(概念要点及计算公式),1.各变量值与其均值离差绝对值的平均数2.能全面反映一组数据的离散程度3.数学性质较差，实际中应用较少,4.计算公式为,方差和标准差(概念要点),1.最常用的测度值2.反映了数据的分布3.反映了各变量值
13、与均值的平均差异4.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差和标准差(计算公式),方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差和标准差(计算公式),方差的计算公式,标准差的计算公式,注意：样本方差用自由度n-1去除!,样本方差自由度(degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x=5。当 x=5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则
14、不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,标准化值(概念要点和计算公式),1.也称标准分数2.给出某一个值在一组数据中的相对位置3.用于对变量的标准化处理4.计算公式为,离散系数(概念要点和计算公式),1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为,离散系数（实例和计算过程）,【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表5-10。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数(计算结果),结论：计算结果表明，V1V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,第三节 偏度与峰度的测度,一.偏度及其测度二.峰度及其测度,偏度与峰度分布的形状,偏度,峰度,偏度(概念要点),1.数据分布偏斜程度的测度2.偏度系数=0为对称分布3.偏度系数 0为右偏分布4.偏度系数 0为左偏分布5.计算公式为,峰度(概念要点),1.数据分布扁平程度的测度2.峰度系数=3扁平程度适中3.偏态系数3为尖峰分布5.计算公式为,
