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1、,第九章非线性回归,医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。这时可以用曲线直线化估计（Curve estimation）或非线性回归(Nonlinear regression)方法分析，也称曲线拟合(Curve fitting)。,绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类）按曲线类型，作曲线直线化变换建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程比较决定系数选取“最佳”曲线方程,曲线直线化估计的步骤,曲线形式（根据生物学
2、机制理论决定）,常见的曲线回归方程,对数：,幂函数：,或,指数函数：,多项式：,或,logistic：,或,第一节、利用线性回归拟合曲线,例 上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA,g/ml)作火箭电泳,测得火箭高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性回归方程。,（一）绘制散点图，决定曲线类型（二）曲线直线化变换=a+blnX,（三）建立线性回归方程,回归方程为：=19.7451+7.7771 lnX方差分析有统计学意义，P0.0000，F763.50，表明回归方程有贡献。确定系数为0.99，表明回归拟合原资料很好。,用线性回归拟合曲线（例2）,表9-25名重伤病
3、人的住院天数X与预后指数Y,（一）绘制散点图，决定曲线类型,（二）曲线直线化变换,（三）建立线性回归方程,回归方程为：4.037-0.038X方差分析有统计学意义，P0.0000，F276.38，表明回归方程有贡献。确定系数为0.9551，表明回归拟合原资料较好。转换为原方程的另一种形式：,比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后的Y*(lnY)负责,得到的线性方程可使Y*与其估计值 之间的残差平方和最小,并不保证原变量Y与其估计值 之间的残差平方和也是最小。,曲线直线化 非线性最小二乘法,问题：前一个例子只对自变量作对数变换
4、的对数曲线拟合，能否保证原变量Y与其估计值 之间的残差平方和也是最小？幂函数曲线拟合呢？,问题：如何判断哪个曲线拟合方程更佳？对于例，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（曲线直线化）：线性（直线）R2：0.8856(y=46.4604-0.7525 x)幂曲线R2：0.8293(y=159.9297 x-0.7191)对数曲线R2：0.9654(y=72.2829-15.9662 Ln(x)指数曲线R2：0.9551(y=56.6651 e-0.0380 x)二项式曲线R2：0.9812(y=55.8221-1.7103 x+0.0148 x2),问题：如何判断那个曲线拟合方程更佳？对于例
5、，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（非线性回归迭代法）：线性（直线）R2：0.8856(y=46.4604-0.7525 x)幂曲线R2：0.8413(y=88.7890 x-0.4662)对数曲线R2：0.9654(y=72.2829-15.9662 Ln(x)指数曲线R2：0.9875(y=58.6066 e-0.0396 x)二项式曲线R2：0.9812(y=55.8221-1.7103 x+0.0148 x2),原变量Y与（直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值相关指数R线性（直线）R：X与Y间相关系数绝对值幂曲线R：lnX与lnY间相关系数绝对值对数曲线R：lnX与Y间相关系数
6、绝对值指数曲线R：X与lnY间相关系数绝对值二项式曲线R：（1SS残差/SS总）,R的计算（曲线直线化）,原变量Y与（直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值相关指数R线性（直线）R：X与Y间相关系数绝对值幂曲线R：lnX与lnY间相关系数绝对值对数曲线R：lnX与Y间相关系数绝对值指数曲线R：X与lnY间相关系数绝对值二项式曲线R：（1SS残差/SS总）,R的计算（非线性回归）,散点图辨析,如果条件允许最好采用非线性回归（Nonlinear Regression）拟合幂函数曲线与指数函数曲线 注意绘制散点图，并结合专业知识解释,采用SAS进行曲线拟合,采用SPSS进行曲线拟合,曲线直线化Analyze Regression Curve Estimation 可选Power、Logarithmic、Exponential、Quadratic、Cubic 等,非线性回归Analyze Regression Nonlinear 设置模型：Model Expression 参数赋初值：Parameters,
