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1、1,上节课内容总结,统计推断基本概念统计模型：参数模型与非参数模型统计推断/模型估计：点估计、区间估计、假设检验估计的评价：无偏性、一致性、有效性、MSE偏差、方差、区间估计CDF估计：点估计、偏差、方差及区间估计统计函数估计点估计区间估计/标准误差影响函数BootstrapBootstrap也可用于偏差、置信区间和分布估计等计算,2,本节课内容,重采样技术（resampling）Bootstrap刀切法（jackknife）,3,引言,是一个统计量，或者是数据的某个函数，数据来自某个未知的分布F，我们想知道 的某些性质（如偏差、方差和置信区间）假设我们想知道 的方差如果 的形式比较简单，可以
2、直接用上节课学习的嵌入式估计量 作为 的估计例：，则，其中，其中问题：若 的形式很复杂（任意统计量），如何计算/估计？,4,Bootstrap简介,Bootstrap是一个很通用的工具，用来估计标准误差、置信区间和偏差。由Bradley Efron于1979年提出，用于计算任意估计的标准误差术语“Bootstrap”来自短语“to pull oneself up by ones bootstraps”（源自西方神话故事“The Adventures of Baron Munchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他想到了拎着鞋带将自己提起来）计算机的引导程序boot也来源于此意义：不
3、靠外界力量，而靠自身提升自己的性能，翻译为自助/自举1980年代很流行，因为计算机被引入统计实践中来,5,Bootstrap简介,Bootstrap：利用计算机手段进行重采样一种基于数据的模拟（simulation）方法，用于统计推断。基本思想是：利用样本数据计算统计量和估计样本分布，而不对模型做任何假设（非参数bootstrap）无需标准误差的理论计算，因此不关心估计的数学形式有多复杂Bootstrap有两种形式：非参数bootstrap和参数化的bootstrap，但基本思想都是模拟,6,重采样,通过从原始数据 进行n次有放回采样n个数据，得到bootstrap样本对原始数据进行有放回的随
4、机采样，抽取的样本数目同原始样本数目一样如：若原始样本为则bootstrap样本可能为,7,计算bootstrap样本,重复B次，1.随机选择整数，每个整数的取值范围为1,n，选择每个1,n之间的整数的概率相等，均为2.计算bootstrap样本为：Web上有matlab代码：BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX,by Abdelhak M.Zoubir and D.Robert Iskander,http:/www.csp.curtin.edu.au/downloads/bootstrap_ toolbox.htmlMatlab函数：bootstrp,8,Bootstrap样本,
5、在一次bootstrap采样中，某些原始样本可能没被采到，另外一些样本可能被采样多次在一个bootstrap样本集中不包含某个原始样本 的概率为一个bootstrap样本集包含了大约原始样本集的1-0.368=0.632，另外0.368的样本没有包括,9,模拟,假设我们从 的分布 中抽取IID样本，当 时，根据大数定律，也就是说，如果我们从 中抽取大量样本，我们可以用样本均值 来近似当样本数目B足够大时，样本均值 与期望 之间的差别可以忽略不计,10,模拟,更一般地，对任意均值有限的函数h，当 有则当 时，有用模拟样本的方差来近似方差,11,模拟,怎样得到 的分布？已知的只有X，但是我们可以讨
6、论X的分布F如果我们可以从分布F中得到样本，我们可以计算怎样得到F？用 代替（嵌入式估计量）怎样从 中采样？因为 对每个数据点 的质量都为1/n 所以从 中抽取一个样本等价于从原始数据随机抽取一个样本也就是说：为了模拟，可以通过有放回地随机抽取n个样本（bootstrap 样本）来实现,12,Bootstrap：一个重采样过程,重采样：通过从原始数据 进行有放回采样n个数据，得到bootstrap样本模拟：为了估计我们感兴趣的统计量 的方差/中值/均值，我们用 bootstrap样本对应的统计量（bootstrap复制）近似，其中,13,例：中值,14,Bootstrap方差估计,方差：其中注
7、意：F为数据X的分布，G为统计量T的分布通过两步实现：第一步：用 估计 插入估计，积分符号变成求和第二步：通过从 中采样来近似计算Bootstrap采样+大数定律近似,15,Bootstrap：方差估计,Bootstrap的步骤：1.画出2.计算3.重复步骤1和2共B次，得到4.,（大数定律）,（计算boostrap样本）,（计算boostrap复制）,16,例：混合高斯模型：,假设真实分布为现有n=100个观测样本：,直接用嵌入式估计结果：,17,例：混合高斯模型（续）,用Bootstrap计算统计量 的方差：1.得到B=1000个bootstrap样本，其中2.计算B=1000个boots
8、trap样本对应的统计量的值 3.,与直接用嵌入式估计得到的结果比较：,18,Bootstrap：方差估计,真实世界：Bootstrap世界：发生了两个近似近似的程度与原始样本数目n及bootstrap样本的数目B有关,19,Bootstrap：方差估计,在方差估计中，可为任意统计函数如均值（混合高斯模型的例子）中值（伪代码参见教材）偏度（例子参见教材）极大值（见后续例子）除了用来计算方差外，还可以用作其他应用CDF近似、偏差估计、置信区间估计,20,CDF近似,令 为 的CDF则 的bootstrap估计为,21,偏差估计,偏差的bootstrap估计定义为：Bootstrap偏差估计的步骤
9、为：得到B个独立bootstrap样本计算每个bootstrap样本 对应的统计量的值计算bootstrap期望：计算bootstrap偏差：,22,例：混合高斯模型：,标准误差估计在标准误差估计中，B为50到200之间结果比较稳定偏差估计,23,Bootstrap置信区间,正态区间：简单，但该估计不是很准确，除非 接近正态分布 百分位区间：，对应 的样本分位数还有其他一些计算置信区间的方法如枢轴置信区间：,24,例：Bootstrap置信区间,例8.6：Bootstrap方法的发明者Bradley Efron给出了下列用语解释Bootstrap方法的例子。这些数据是LAST分数（法学院的入学
10、分数）和GPA。计算相关系数及其标准误差。,25,例8.6（续）,相关系数的定义为：相关系数的嵌入式估计量为：Bootstrap得到的相关系数插入估计的标准误差为：,标准误差趋向稳定于,26,例8.6（续）,当B=1000时，的直方图为下图，可近似为从 的分布采样95%的正态区间为：95%的百分点区间为：当大样本情况下，这两个区间趋近于相同,27,非参数bootstrap过程总结,对原始样本数据 进行重采样，得到B个bootstrap样本，其中b=1,B 对每个bootstrap样本，计算其对应的统计量的值（bootstrap复制）根据bootstrap复制，计算其方差、偏差和置信区间等称为非
11、参数bootstrap方法，因为没有对F的先验（即F的知识仅从样本数据中获得）,28,非参数bootstrap,统计量/统计函数：没有对F的先验，F的知识仅从样本数据中获得（CDF估计），统计函数的估计变为嵌入式估计真实世界：Bootstrap世界：如方差计算中，发生了两个近似近似的程度与样本数目n及bootstrap样本的数目B有关,29,Bootstrap的收敛性,例：混合高斯模型：n=100个观测样本：4次试验得到不同B的偏差和方差的结果,30,Bootstrap的收敛性,B的选择取决于计算机的可用性问题的类型：标准误差/偏差/置信区间/问题的复杂程度,31,Bootstrap失败的一个
12、例子,，我们感兴趣的统计量 为 的CDF用G表示则 的pdf为,32,Bootstrap失败的一个例子（续）,对非参数bootstrap，令则所以，非参数bootstrap不能很好地模拟真正的分布,33,Bootstrap失败的一个例子（续）,假设样本数目n=10，样本为，取参数 X=(0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637),非参数bootstrap复制,的直方图,B=1000，最高峰为,理论结果：,34,Bootstrap失败的一个例子,为什么失败？EDF 不是真正分布 的很好近似为了得到更
13、好的结果，需要F的参数知识或者 的平滑性参数化的bootstrap表现很好，能很好模拟真正的分布,35,Bootstrap的收敛性,给定n个IID数据，要求当，收敛于F 为 的嵌入式估计统计函数的平滑性平滑函数：均值、方差不平滑函数：数据的一个小的变化会带来统计量的很大变化顺序统计量的极值（极大值、极小值）,36,参数化的bootstrap,真实世界：Bootstrap世界：与非参数的bootstrap相比：F的先验用参数模型表示多了一个步骤：根据数据估计参数（参数估计），从而得到 不是经验分布函数EDF重采样：从估计的分布 采样（产生随机数）,F的先验,37,例：非参数bootstrap失败
14、的例子,，取参数，假设样本数目n=10，样本为 X=(0.5729,0.1873,0.5984,0.2883,0.8722,0.4320,0.4896,0.7106,0.2754,0.7637)在参数bootstrap中：F的先验：根据数据估计F中的参数：得到F的估计：从分布 产生B=1000个样本，得到B个,直方图如右图,的分布为真正的分布,38,参数化的bootstrap,当F为参数模型时，参数化的bootstrap也可用于计算方差、偏差、置信区间等如计算方差：,0.根据数据 估计 f 的参数，得到 f 的估计1.抽取样本2.计算3.重复步骤1和2 B次，得到4.,39,参数bootstr
15、ap Vs.非参数的bootstrap,F的先验参数bootstrap中利用了分布F的先验，表现为一个参数模型，因此多了一个步骤，估计F模型中的参数。当先验模型正确时，参数bootstrap能得到更好的结果而非参数bootstrap不利用F的先验知识就能得到正确的标准误差（在大多数情况下）参数bootstrap能得到与Delta方法（计算变量的函数的方差）相当的结果，但更简单重采样参数bootstrap中，通过从分布 中产生随机数，得到bootstrap样本，得到的样本通常与原始样本不重合非参数bootstrap中，通过对原始样本进行有放回采样实现对 的采样，每个bootstrap样本都是原始
16、样本集合的一部分,二者相同的是模拟的思想,40,Bootstrap（参数/非参数）不适合的场合,小样本（n太小）原始样本不能很好地代表总体分布Bootstrap只能覆盖原始样本的一部分，带来更大的偏差结构间有关联如时间/空间序列信号因为bootstrap假设个样本间独立脏数据奇异点(outliers)给估计带来了变化,41,刀切法（jackknife）,42,引言,Bootstrap方法并不总是最佳的。其中一个主要原因是bootstrap样本是从 产生而不是从F产生。问题：能完全从F采样或重采样吗？如果样本数目为n，答案是否定的！若样本数目为m(m n)，则可以从F中找到数目为m的采样/重采样
17、，通过从原始样本X得到不同的子集就可以！寻找原始样本的不同子集相当于从观测 进行无放回采样，得到数目为m的重采样样本（在此称为子样本）这就是jackknife的基本思想。,43,刀切法（jackknife）,Jackknife由Maurice Quenouille(1949)首先提出比bootstrap出现更早与bootstrap相比，Jackknife(m=n-1)对计算机不敏感。Jackknife为一种瑞士小折刀，很容易携带。通过类比，John W.Tukey(1958)在统计学中创造了这个术语，作为一种通用的假设检验和置信区间计算的方法。,44,Jackknife样本,Jackknife
18、样本定义为：一次从原始样本 中留出一个样本：Jackknife样本中的样本数目为m=n-1共有n个不同的jackknife样本无需通过采样手段得到 jackknife样本,BOOTSTRAP MATLAB TOOLBOX中也有该功能,45,Jackknife复制,统计量为：Jackknife复制为：均值的jackknife复制为：,46,Jackknife方差估计,从原始样本X中计算n个jackknife样本计算n个jackknife复制：计算jackknife估计的方差：,47,例：计算均值的方差,，则所以,方差的无偏估计,48,例：计算均值的方差,因子 比bootstrap中的因子 大多了
19、。直观上，因为jackknife 方差 比bootstrap中的方差 小得多（相比bootstrap样本，jackknife样本与原始样本更相似事实上，因子 就是考虑特殊情况 得到的（有点武断）,49,例：混合高斯模型：,Bootstrap结果：Jacknife结果：,50,例：混合高斯模型：,复制的直方图,1000个Bootstrap复制,100个Jacknife复制,Jackknife复制之间的差异很小，每两个Jackknife样本中只有两个单个的原始样本不同,51,Jackknife Vs.bootstrap,当n较小时，能更容易（更快）计算 n个 jackknife复制。但是，与boo
20、tstrap 相比，jackknife只利用了更少的信息（更少的样本）。事实上，jackknife为bootstrap的一个近似（jackknife方差为bootstrap方差的一阶近似）！估计样本分位数时，jackknife计算的方差不是一致估计,52,Jackknife的其他应用,Jackknife可用于类似bootstrap的应用，如偏差估计,53,Jackknife不适合的场合,统计函数不是平滑函数：数据小的变化会带来统计量的一个大的变化如极值、中值如对数据 X=(10,27,31,40,46,50,52,104,146)的中值得到的结果为48,48,48,48,45,43,43,43
21、,43偶数个数的中值为最中间两个数的平均值当函数不平滑时，可以用delete-d jackknife子采样来弥补每个delete-d jackknife样本中的样本的数目为n-d共有 个不同的delete-d jackknife样本d的取值：,54,参考文献,BooksAn Introduction to Bootstrap,B.Efron and R.J.Tibshirani,Chapman The bootstrap and its application in signal processing,A.M.Zoubir and B.Boashash,in IEEE Signal Processing Magazine,January 1998.有Demo,55,参考文献,对bootstrap的批判Exploring the limits of bootstrap edited,by Le Page and Billard,1990,
