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1、第五章,时间数列,本章内容,第一节 时间数列概述第二节 时间数列的水平指标第三节 时间数列的速度指标第四节 时间数列的分解分析,第一节时间数列的概述,一、时间数列(time series)的概念及其构成,所谓时间数列，又称时间序列或动态数列，是将某一指标在不同时间上的数值，按时间（如年、季、月等）先后顺序排列而成的统计数列。如将历年来我国国民生产总值加以排列可以形成时间数列。,时间数列的主要作用时间数列可以表明社会经济现象的发展变化趋势及规律性。如把相邻几年各季空调的销售量编制成时间数列，通过比较不仅会发现空调的销售量有不断增长的趋势，而且还会发现销售量的季节变动规律。可以根据时间数列，计算各
2、种时间动态指标值，以便具体深入地揭示现象发展变化的数量特征。运用时间数列可以预测现象的发展方向和发展速度，为经济决策或经营决策提供重要依据。,二、时间数列的种类（1）绝对数时间数列(absolute time series)又称为总量指标时间数列，是由一系列同类总量指标的数值按时间的先后次序排列而成的时间数列。（2）相对数时间数列(relative time series)又称相对指标动态数列，是由一系列同类相对指标数值按时间先后顺序排列而成的经数列。（3）平均数时间数列(average time series)是由一系列同类平均指标数值按时间先后顺序排列而成的统计数列。,三、编制时间数列应遵
3、守的主要原则1时间长短的可比性。2总体范围的可比性。3经济内容的可比性。4计算方法的一致性。,第二节时间数列的水平指标,一、发展水平（level of development）,所谓发展水平，又称发展量，是指时间数列中每一项具体的统计指标数值。它具体反映社会经济现象在各个不同时期或时点上所达到的规模和水平，通过不同时期发展水平的比较，可以给人具体的、深刻的印象。,注意：发展水平指标在文字叙述上习惯用“增加到”、“增加为”或“降低到”、“降低为”表示。例如，2005年我国国内生产总值182321亿元，2006年增加到209407亿元。又如，某工厂某种产品的单位成本2003年为32元，2006年降
4、低到25元。注意：运用时，一定不要把“到”和“为”字漏掉，否则，要说明的社会经济现象指标的意义就要发生变化。,二、平均发展水平,平均发展水平是指时间数列中不同时期的发展水平采用一定的方法加以加权平均求得的平均数。它表明了现象在一段时间内发展水平达到的一般水平，是根据数列中不同时期（或时点）上的发展水平计算的平均数。,（一）绝对数时间数列序时平均数的计算 1依据时期数列计算序时平均数式中，平均发展水平；ai各期发展水平；n时期指标项数。,例1：某商场2006年各月商品销售额动态资料如表5-1所示，试计算月平均销售额。表5-1 某商场2006年各月商品销售额,解：商品销售额资是时期指标，由于各月商
5、品销售额高低不等，因而发展变化趋势不够明显。如果计算出各季的月平均销售额，就会明显地反映销售趋势。第一季度月平均销售额：第二季度月平均销售额：,第三季度月平均销售额：第四季度月平均销售额：全年月平均销售额：可见，该商场2006年的第三、第四季度的月平均销售额大于第一、第三季度的月平均销售额。,2依据时点数列计算序时平均数,（1）连续时点数列的序时平均数。式中，每天的时点水平；n天数。,例2：某单位某星期每天出勤的职工人数分别是：300人，320人，340人，330人，320人，计算该单位平均每天的职工人数。解：职工人数是时点指标，由于每天的资料都具备，故可视为连续时点数列。因此，该单位本星期平
6、均每天的出勤人数为：,（2）间断时点数列的平均发展水平。间断时点数列是指按月末、季末或年末登记取得资料的时点数列。它有两种情况，一是数列中的各项指标表现为逐期期末登记排列，二是数列中的各项指标表现为非均衡的期末登记排列。通常将前者称为间隔相等的间断时点数列，后者称为间断不等的间断时点数列。,间隔相等的间断时点数列的平均发展水平的计算公式：,例3：某商业银行2006年6月至9月末现金库存额如表5-2所示，根据表中资料，计算该银行第三季度月平均现金库存额。,表52 某商业银行现金库存额资料 单位：万元,解：根据上面计算资料再计算第三季度的月平均库存额为：900 万元,间隔不相等的间断时点数列的平均
7、发展水平的计算公式：,式中，ai代表时点水平；fi代表两个相邻的时点之间的时间间隔长度（i1，2，n-1）。,例4：某城市2005年的外来人口资料如表5-3所示，计算该市平均外来人口数。,表5-3 某城市2005年外来人口资料 单位：万人,解：该地区2005年平均外来人口数为：,（二）相对数时间数列序时平均数的计算 相对数时间数列是由两个相互联系的时间数列对比而求得的，而且分子、分母两个指标的时间状况一般不相同，因此要分别计算出分子、分母两个绝对数时间数列的序时平均数，而后加以对比来求得相对数或平均数时间数列的序时平均数。,相对数或平均数时间数列的序时平均数的计算公式为：式中，为相对数或平均数
8、时间数列的序时平均数；为分子数列的序时平均数；为分母数列的序时平均数。,例5：某厂某年第一季度各月商品销售额计划完成情况如表5-4所示,试求第一季度的平均完成率。,表5-4 某厂某年第一季度各月商品销售额计划完成情况统计表,解：,（1）分子、分母均为时期数列。（2）分子、分母均为时点数列。,（3）分子、分母由一个时期数列和一个时点数列对比组成相对数时间数列。,（分子为时期数列，分母为时点数列）,（分子为时点数列，分母为时期数列）,或,（三）根据平均数时间数列计算序时平均数（1）由一般平均数组成的平均数时间数列计算序时平均数。（2）由序时平均数组成的平均数时间数列计算平均发展水平。或,例6：某企
9、业2006年第三季度工人数和总产值资料如表55,计算该企业第三季度的劳动生产率。,表5-5 某企业2006年510月工人人数和总产值,解：第三季度月平均总产值为：第三季度平均工人数为：所以，第三季度平均月劳动生产率为：,例7：某百货大楼2006年某商品各季度月均销售额如表5-6所示，则全年的平均月销售额是多少？,表5-6 百货大楼2006年某商品各季度月均销售额,解：,三、增长量增长量又称增减量，是指在一定时期内发展水平增减的绝对量，即时间数列中报告期水平与基期水平之差，说明社会经济现象在一定时期内增减变化的绝对量。其计算公式为：增长量=报告期水平基期水平逐期增长量也叫环比增长量，是报告期水平
10、与前期水平之差，表明报告期较前期增减变化的绝对量。累计增长量也叫定基增长量，是报告期水平与某一固定基期水平(通常为最初水平)之差，表明报告期较某一固定基期增减变化的绝对量。,四、平均增长量平均增长量，又称平均增减量，是指某一现象在一定时期内平均每期增减变化的数量，即逐期增长量的序时平均数，表明社会经济现象在一定时期内平均每期增长的数量。其计算方法是：逐期增长量之和除以逐期增长量的个数。用公式表示为：,第三节时间数列的速度指标,一、发展速度发展速度是研究某种社会经济现象发展程度的动态分析指标。它是用时间数列中的报告期水平与基期水平之比来求得的，反映某种现象的发展方向和程度，一般用百分数表示，当发
11、展速度较大时，也可以用倍数表示。当发展速度大于100%时，表示上升，小于100%时，表示下降。,环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，反映社会经济现象逐期发展变化的相对程度。定基发展速度是报告期水平与某一固定基期水平之比，反映社会经济现象在较长一段时间内总的发展变化程度，故又称总发展速度。,定基发展速度与环比发展速度的数量关系：第一，定基发展速度等于相应的各个环比发展速度的连乘积。第二，两个相邻时期的定基发展速度之比，等于相应的环比发展速度。,二、增长速度增长速度又称增减速度，是报告期增长量与基期发展水平之比。它反映社会经济现象在一定时期内增减程度的动态分析指标。一般用百分数或倍数表示。增
12、长速度指标可正可负。当发展速度大于100%时，增长量为正值时，则增长速度为正数，表明为递增速度；当发展速度小于100%时，增长量为负值时，则增长速度为负数，表明为递减速度。,定基增长速度是报告期的累计增长量与某一固定基期的水平（通常为最初水平）之比。表明某种社会经济现象在较长一段时间内总的增长速度。环比增长速度是报告期的逐期增长量与前一期发展水平之比。表明社会经济现象逐期的增长速度。,三、平均发展速度和平均增长速度,平均发展速度是各时间环比发展速度的序时平均数，它说明社会经济现象在较长一段时间中各期平均发展变化的程度。,平均增长速度则说明现象在较长一段时期中逐期平均增减变化的程度。,（一）几何
13、平均法（或称水平法）计算平均发展速度由于社会经济现象发展的总速度不等于各年发展速度之各，而等于积年环比发展速度的连乘积，所以平均发展速度不能用算术平均法计算，而要用几何平均法计算。,一段时期的定基发展速度即为现象的总速度。如果用R表示总速度，则平均发展速度的公式还可以表示为：式中，为平均发展速度x为各期环比发展速度；为连乘符号；R为总速度；n为环比发展速度的项数。,（二）累计法累计法是以各期发展水平的总和与某一基期水平之比为基础，利用一元高次方程计算平均发展速度的方法。累计法是运用代数的高次方程式来计算社会经济现象平均发展速度的方法。假定a0为最初水平，为应用此法求得的平均发展速度，a1，a2
14、，a3，an为各期的实际发展水平，则各期的实际发展水平总和为：,a1+a2+a3+an=a,例8：我国19922002年GDP资料见右表，试利用方程式法计算平均发展速度。,解：将数据录入Excel工作表。第一步，在单元格C2中输入公式“SUM(B3B12)/B2”，得值27.56222478；第二步，在单元格C2中输入公式“x10+x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x”,方程式法的Excel操作过程,第三步，点“插入”/“名称”/“定义”，在定义名称对话框中填写相关内容（其中“在当前工作薄中的名称”填x）；第四步，菜单“工具”“单变量求解”，填写单元格中的各项。其中，“目标单元格
15、”填入“$C$2”，“目标值”填“27.56222478”，“可变单元格”填“$C$3”，按“确定”，其返回值“1.178787365”就是平均发展速度，即这10年的平均发展速度约为117.88。,方程式法的Excel计算结果,第四节时间数列的分解分析,时间数列分析模型：加法模型：Y=T+S+C+I（四种变动因素相互独立）乘法模型：Y=TSCI（四种变动因素之间存在着某 种相互影响的关系）,影响时间数列的因素,长期趋势（trend）,季节变动（seasonal fluctuation）,循环变动（cyclical fluctuation）,不规则变动（irregular fluctuation
16、）,一、长期趋势及其测定长期趋势（用T表示）是时间数列的基本形式，是指现象在较长一段时期内，由于普通的、持续的、决定的基本因素的作用，使发展水平所呈现的逐渐增加向上发展或逐渐减少向下发展的趋势。,（一）移动平均法（moving average）移动平均法是从时间数列的第一项指标数值开始，按照一定的时间间隔（固定的项数），逐项移动求其序时平均数的修匀方法。,某商场19972006年商品销售额 单位：亿元,销售额,5年移动平均线,3年移动平均线,图5-3 移动平均法,移动平均法也可借助于Excel来计算（此时，移动平均数是放置在平均时段的最后一个位置上的）。例9：根据表5-9中的居民消费价格指数数
17、据，分别取移动项数k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的移动平均值。,表5-9人均国内生产总值等时间数列,解：将数据录入Excel工作表。点“工具”/“数据分析”，在出现的对话框中选择“移动平均”，点“确定”，出现如图5-4的对话框。图5-4 移动平均的Excel操作,在对话框中，“输入区域”一栏填时间数列的数据所在区域B2B16,“间隔”填移动平均的项数3，“输出区域”填C2C16，根据需要可自主选择“图表输出”、“标准误差”项，然后点“确定”，得移动平均的结果。重复上述步骤，在“间隔”一栏填5，可得5项移动平均的结果，如表5-10所示。,表5-10 Excel输出的平均移
18、动平均结果,（二）趋势线配合法趋势线配合法是在对原时间数列资料进行初步分析的基础上，根据其发展变化趋势的类型，用数学的方法配合适当的方程式，以反映现象长期变动趋势的一种方法。根据现象发展变化的趋势不同，趋势线配合法一般可分为直线趋势和曲线趋势两种。,如果时间数列的数据大体上按逐期等量增加或减少，则可以认为这种现象的基本发展趋势是直线型，因而应配合相应的直线方程来反映其长期趋势。yt=a+bx式中，x为时间数列中的时间顺序值，是自变量；yt为时间数列的预测趋势值；a为起始值，即当x=0时趋势直线在y轴上的截距；b为斜率，代表x每变动一个单位时间发展水平y的平均增减量。,1平均法平均法是将全部时间
19、数列资料分为相等的两部分(奇数项时舍弃最初一项资料)，分别计算出各部分的平均数,代入配合直线方程yt=a+bx中，求解a与b的方法。利用平均法，求配合直线的数学依据是：时间数列的实际值y与相应的趋势值yt的离差之和等于0。即(y-yt)=0。,2最小平方法 最小平方法也叫最小二乘法，是建立趋势方程、分析长期趋势较为常用的方法。它是依据时间数列的观察值与趋势值的离差平方和为最小值的基本原理，拟合一种趋势模型，然后利用数学中求极值的方法来确定方程中的待定系数、建立方程。原时间数列中各期的指标数值(y)与其对应的趋势值(yt)的离差平方和为最小值。即：（y-yt）2=最小值原时间序列中各期的指标数值
20、(y)与其对应的趋势值(yt)的离差和等于零，即(y-yt)=0,设拟合的趋势直线方程为：yt=a+bx按照最小平方法的要求，则 D(y-yt)2 y-(a+bx)2(y-a-bx)2 最小值将D看做关于a和b的函数，要使D为最小值，必须使,于是得：整理后得下列联立方程式：,求解联立方程式，得：将时间数列中的时间x及对应的发展水平y，一并代入a、b公式，即可求得系数a和b，从而得到直线趋势方程yt=a+bx。实际计算的时候，是用时间刻度来作为自变量x的。,例10：已知某企业19982006年产品销售额如表5-11所示。试用最小平方法配合趋势直线方程，并预测2007年和2008年的销售额。解：用
21、x0，1，8分别代表时间1998，1999，2006年。将计算过程表达在表5-12中。,表5-11 某企业19982006年产品销售额,表5-12 最小平方法计算表,将表5-12中有关数值代入计算公式：,即趋势直线方程为：yt=102.8+11.13x将2007年的时间刻度x10代入趋势方程得2007年销售额的预测值：y2007=102.8+11.1310=214.1 万元同理，2008年的销售额预测值为：y2008=102.8+11.1311=225.23 万元,最小平方法建立趋势直线方程也可借助于Excel来操作。下面结合例10介绍其操作步骤：将数据输入Excel工作表中。其中时间刻度x的
22、值输入A2A10，发展水平y的值输入B2B10。点击“工具”/“数据分析”，在对话框中选择“回归”，然后点击“确定”。在出现的对话框中，填入相应内容。其中“Y值输入区域”一栏填入“B2B10”，“X值输入区域”一栏填入“A2A10”，其他项根据自己的需要加以选择。然后单击“确定”，得表5-13的结果。,表5-13 最小平均法的Excel计算结果,其中，“X Variable 1”所对应的“Coefficients”11.13333333就是b的值，“Intercept”所对应的“Coefficients”102.8就是a的值，即直线趋势方程为：yt102.811.13x当然，也可直接把时间做自
23、变量x，只是得到的趋势直线方程中的a会不同。,二、季节变动的测定季节变动(S)，是指时间数列中的指标数值由于受各种因素的影响，在一年内随着季节的更替而产生的周期性变动。测定季节变动的方法，主要分为两种：按月（季）平均法和趋势剔除法。,（一）按月（季）平均法,按月（季）平均法是指不考虑现象长期趋势的影响，以历年的各月（季）平均数同全时期月（季）平均数相比求得季节指数来反映现象季节规律的方法。这种方法适合于不含长期趋势的季节变动分析。,计算过程是：是先分别计算各年同月（季）平均数，再计算出各年所有月（季）的总平均数，然后将各年同月（季）平均数与总平均数进行对比，求得季节指数（可称为季节比率）。如果
24、某月（季）的季节指数大于100%，则该月（季）为旺季；如果小于100%，则为淡季。例11：某超市2003年2006年各月毛线销售量如表5-14所示，试计算各月的季节指数。,表5-14 某超市2003年2006年各月毛线销售量 单位：kg,解：第一步：计算各年同月(季)的算术平均数。一月份的平均值=二月份的平均值=依此类推，计算到十二月份，计算结果填入表5-15的第(6)栏中。第二步：计算总的月(季)平均数。总的月平均值=,或全部48个月的销售量除以48，同样得到总平均数113.5 kg。第三步：计算每月(季)的季节指数ai。一月份的季节指数二月份的季节指数计算到十二月份的a12填入表5-15的
25、第(7)栏中。,第四步：调整各月(季)季节指数。从理论上讲，112月份季节指数之和应等于1200%(季资料为400%)，但是由于计算中的四舍五入而使得季节指数或大于、或小于1200%。对此，应计算调整系数，予以调整。将调整系数分别与表5-15第(7)栏中112月份季节指数相乘，即得调整后的季节指数，填入表5-15的第(8)栏中。,一月份调整后季节指数二月份调整后季节指数以此类推，计算到12月份。从计算结果可以看出，显然冬季11、12和1、2月份的销售量很大，是销售旺季，而夏季的销售量很小，是销售的淡季。,=,=,表5-15 季节指数计算表,（二）趋势剔除法趋势剔除法是利用移动平均法来剔除长期趋
26、势影响后，再来测定其季节指数的方法。这种方法适合于时间数列中包含有长期趋势的季节变动分析。例12：某商店某商品20022006年销售量（单位：件）如表5-16所示，分析其季节变动规律。,表5-16 某商店某商品销售量的季节变动分析表,解：首先，采用四项移动平均法，求出移动平均数（即长期趋势值）。见表5-16第四栏。其次，以y/yt从原时间数列中剔除掉长期趋势的影响，得剔除趋势值。在剔除了长期趋势的影响后，y/yt中只有季节变动的影响，而没有长期趋势的影响。如表5-17所示。最后，根据剔除趋势值所得的结果，计算季节指数。见表5-18。,表5-17 剔除趋势值,表5-18 计算季节指数,三、循环变
27、动循环变动(C)，是指在一年以上的时期内，时间数列以若干年为周期呈周期性变动 这种变动虽然其变动周期长短不同，波动幅度大小也不一样，但由于它是涨落起伏相互交替，而不是朝单一方向持续发展的变动，从而区别于长期趋势。又因其变动周期至少在一年以上，因而也区别于季节变动。由于循环波动没有固定的循环周期，其变动的周期也较长，所以循环波动的规律性很难掌握。,剩余法又称残余法，就是根据乘法模型的思路，从按月（季）编制的时间数列中消除长期趋势和季节变动的影响，得到一个包括循环波动和不规则变动的新数列，继而用移动平均法消除不规则变动，测定出循环变动。如果原数列是年度资料，则不含季节变动，只需从原数列中消除长期趋势，然后用移动平均法消除不规则变动，就可以测定出循环变动。剩余法中常用指标是趋势百分数，即用时间数列中的实际发展水平y，除以相应的趋势值yt,再乘以100求得的。趋势百分数=,四、不规则变动不规则变动(I)，又称为偶然变动，是指除了以上各种变动以外，由于偶然的、意外的因素引起的非周期性或趋势性的随机变动。由于它主要是由于客观现象突发事件或偶然因素的无周期、无规律变动，也称为随机变动。测定不规则变动，仍可采用循环波动的剩余法逐次剔除季节变动、长期趋势和循环波动的影响，求得不规则变动指数，即：或,
