统计学基础知识.ppt

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1、第一章 概率统计基础知识（中级）,第一节 概率基础知识,一、事件与概率,（一）随机现象,随机现象,在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。,特点,随机现象的结果至少有两个,至于哪一个出现，人们事先并不知道,样本点,认识一个随机现象，首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是今后的抽样单元即样本点。,样本空间：记为,随机现象可能样本点的全部称为这个随机现象的样本空间。,（二）随机事件,事件（随机事件）：随机现象的某些样本点组 成的集合。用大写英文字 母A、B、C表示。,随机事件的特征,随机事件的关系,包含：AB或BA,在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必

2、在B中，则称A被包含在B中，或B包含A。,互不相容,在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。,可推广到三个或更多个事件间的互不相容,相等：A=B即AB且BA,在一个随机现象中有两个事件A与B，若样本A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等。,例：A=（x，y）：x+y=奇数,B=（x，y）：x与y的奇偶性不同,则：,（三）事件的运算,事件运算,对立事件：A,在一个随机现象中，是样本空间，A为事件，则由在中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记。,事件A与B的并：AB,由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件。称为A与B的并

3、，发生意味着“事件A与B至少一个发生”,事件A与B的交：A B或AB,由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交。发生意味着“事件A与B同时发生”,事件的并和交可推广到更多个事件上去。,事件A对B的差：A-B,由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件，称为A对B的差。,（a）A-B,（b）A-B（）,事件运算性质：,交换律：，,结合律：,分配律：,对偶律：,可用维恩图验证，可推广到三个或三个以上事件的运算。,（四）事件的概率,概率事件发生可能性大小的度量,在一个随机现象中，用来表示任一随机事件A发生可能性大小的实数称为该事件的概率，记为P（A）。,概率是一个介于0和1之间的数，

4、即0P(A)1;,必然事件的概率等于1，即P（）=1；,不可能事件的概率等于0，即P（）=0。,二、概率的古典定义与统计定义,（一）古典定义,所涉及的随机现象只有有限个样本点。如 共有n个样本点；每个样本点出现的可能性是相同的（等可 能性）；假如被考察事件A含有K个样本点，则事件 A的概率定义为,（二）统计定义,与考察事件A有关的随机现象是可以大量 重复试验的；若在n次重复试验中，事件A发生Kn次，则 事件A发生的频率为：,fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋 于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概 率。一般用重复次数n较大时的频率去近似 概率。,三、概率的性质及其运算法则,概率的性质：

5、（可由概率的定义看出）,性质1：对任意事件A，有0P(A)1；,性质2：,性质3：若AB,则P（A-B）=P（A）-P（B）,性质4：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）,若A与B互不相容P（AB）=P（A）+P（B）,性质5：对于多个互不相容事件A1，A2，有P(A1A2A3)=P(A1)+P()+p(A3)+；,四、条件概率与概率的乘法法则,（1）条件概率,两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记P（A/B）。计算公式：,性质6：对任意二个事件A与B，有,（2）独立性和独立事件的概率,相互独立：,设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个

6、事件的发生与否，则称A事件与B事件相互独立。,性质7：,假如二个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B),性质8：,假如二个事件A与B相互独立，则在事件B发生条件下，事件A的条件概率P(AB)等于事件A的（无条件）概率p(A),事件的相互独立可推广到三个或更多的事件 上去。,第二节 随机变量及其分布,一、随机变量,随机变量,用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z表示。,随机变量类型,离散随机变量,一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则此随机变量为离散（型）随机变量。,连续随机变量,如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个范围（a，

7、b）或整个数轴，则此随机变量为连续（型）随机变量。,二、随机变量的分布,随机变量的分布,随机变量取值的统计规律性。,随机变量X的分布内容：,X可能取哪些值或在哪个区间上取值,X取这些值的概率各是多少？或X在任一小区间上取值的概率是多少？,（一）离散随机变量的分布,离散随机变量的分布可用分布列表示（离散分布）,分布列,或用数学式表达：,P(X=Xi)=pi i=1，2n（p1+pn=1）,pi也称为分布的概率函数,（二）连续随机变量的分布,用概率密度函数表示（简称分布）,条件：,p（x）0,概率密度函数p(x)的各种形式,位置不同,散布不同,形状不同,其中p(x)在x0点的值p(x)不是概率，是

8、高度。,注：纵轴原为“单位长度上的频率”，由频率的稳定性，可用概率代替频率，纵轴就成为“单位长度上的概率”即概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。,重要结论：,1X在区间（a，b）上取值的概率 p(aXb)为概率密度曲线以下区间（a，b）上的面积，即,P(ab)=,2.X在一点取值的概率为零，即,P(X=a)=0,故：P(axb)=P(axb),=P(aXb),=P(aXb),三、随机变量分布的均值、方差与标准差,均值：,用来表示分布的中心位置，用E(X)表示,方差：,用来表示分布的散布大小，用Var(x)表示,标准差：用表示,表示分布散布大小。,均值与方差的运算性质,对任意二个随

9、机变量X1和X2，有,E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),设X为随机变量，a与b为任意常数，有,E(ax+b)=aE(x)+b,设X1与X2相互独立,（和的方差等于方差之和）,这个性质可推广到三个或更多个相互独立 随机变量场合,方差的这个性质不能推广到标准差场合，对任意两个相互独立的随机变量X1与X2，(X1+X2)(X1)+(X2),而应为：,方差具有可加性，标准差不具有可加性。,四、常用分布,（一）常用的离散分布,二项分布,x=0，1，n,其中 表示从n个不同元素取出x个的组合数。,记为b（n，p）,二项分布均值、方差和标准差,均值E(x)=np,方差：Var(x)=np(1-p),

10、标准差：,泊松分布：（常用于计点过程）,x=0，1，2，,记为P(),其中e=2.71828,泊松分布均值、方差和标准差,均值：E(X)=,方差：,标准差：,超几何分布：（不放回抽样）,x=1，2，r,式中r=min（n，M）,M为N中所含不合格品数,n为样本量,记为h（n，N，M）,超几何分布均值、方差、标准差,均值：,方差：,（二）连续型随机变量的分布,正态分布：能描述很多质量特性X随机取值 的统计规律性。,正态分布概率密度函数：,（-x+）,正态分布含两个参数和，常记：N(,2)。其中为分布均值（即分布中心）；2为分布方差；0为分布标准差。,正态分布概率密度函数图形分析,标准正态分布：=

11、0且=1的正态分布，称 为标准正态分布，记N（0，1），其变量记 为U，概率密度函数记为(u),标准正态分布表及其应用,标准正态分布表,可用于计算形如“Uu”随机事件发生的概率。,如：查附表得0.93575,标准正态分布N(0，1)的分位数,分位数（为01间实数）,指它的左侧面积恰好为，右侧面积恰好为1-，即用概率表达,当=0.5时，称为中位数，N(0，1)分布中u0.50,0.5时，如=0.25则u0.25=-u0.75,查附表 u0.75=0.675，故u0.25=-0.675,正态分布的计算,性质1：设，则,性质2：设，则对任意实数a，b有,不合格品率,为产品质量特性X超出规范限（TL，

12、TU）的概率,X超出TU（上规范限）的概率记PU,pU=P（XTU）,X超出TL（下规范限）的概率记PL,pL=P（XTL）,X的不合格品率P=PU+PL,正态分布中心,计算不合格品率要知道两件事：,质量特性X的分布，在过程受控情况下，常为正态分布N(,2),产品规范限，是对产品质量特性所作的要求，这些要求可能是顾客要求；可能是标准；可能是企业规定的技术要求。,则：,其中 可查标准正态分布函数表,当正态分布中心=规范中心 时产品质量特性X超出规范3的不合格率,pL=P(x-3)=(-3)=1-(3),=1-0.99865=0.00135=1350PPm,pU=P(x+3)=1-(3),=0.0

13、0135=1350PPm,p=pL+pU=0.00135+0.00135=0.0027=2700PPm,（三）其他连续分布,均匀分布,在区间（a，b）上的均匀分布，记U（a、b）,均值、方差、标准差,均值,方差,标准差,指数分布,记为，其中0。,均值，方差，标准差,对数正态分布（特点）,随机变量都在正半轴（0,+）上取值,大量取值在左边，少量取值在右边，且很分散，这样的分布称之为右偏分布。（曲线的尾巴在右边）,对数正态分布密度函数,正态分布的密度函数,最重要特征：,若随机变量X服从对数正态分布，则作对数变换 后，服从正态分布。,记正态分布的均值为，方差为，则相应的对数正态分布的均 与方差 分别

14、为,均值：,方差：,若X服从对数正态分布，则,五、中心极限定理,随机变量的独立性,随机变量X1与X2相互独立是指其中一个取什么值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立的取值，互不影响。,随机变量的独立性可以推广到3个或更多个随机变量。,中心极限定理,在统计中，多个相互独立随机变量的平均值（仍然是一个随机变量）将服从或近似服从正态分布。,即n个相互独立同分布的随机变量X1，X2，Xn，均值和方差 都存在，则在n较大时，其样本均值 服从或近似服从正态分布N（，）。,第三节 统计基础知识,一、总体、个体与样本,（一）总体与个体,总体：在一个统计问题中，我们把研究对象的 全体成为总体。,当研究

15、产品某个特定的质量特性X时，也常把全体产品的特性看做为总体。,个体：构成总体的每个成员。,当研究产品的某个特定的质量特性X时，把一个具体产品的特性值x视为个体。,（二）随机样本,满足下面两个条件的样本称为简单随机样本，简称随机样本：,1.随机性。总体中每个个体都有相同的机会入样。,2.独立性。从总体中抽取的每个样品对其它 样本的的抽取无任何影响。,随机样本可看做n个相互独立的、同分布 的随机变量，其分布与总体分布相同。,下面所述的样本都是指满足这两个要求的 简单随机样本。,二、频数（频率）直方图,为了研究数据的变化规律，需要对数据进行一定的加工整理。直方图是为研究数据变化规律而对数据进行加工整

16、理的一种基本方法。,（一）直方图的作法,例1.3-3 食品厂用自动装罐机生产罐头食品，从一批罐头中随机抽取100个进行称量，获得罐头的净重数据如下：,为了解这组数据的分布规律，对数据做如下整理：,（1）找出这组数据中的最大值xmax及最小值xmin，计算它们的差R=xmax-xmin，R称为极差，也就是这组数据的取值范围。在本例中xmax=356，xmin=332，从而R=356-332=24。,（2）根据数据个数，即样本量n，决定分组数k及组距h。,一批数据究竟分多少组，通常根据n的多少而定，不过这也不是绝对的，教材中1.3-2是可以参考的分组数。,选择k的原则是要能显示出数据中所隐藏的规律

17、，组数不能过多，但也不能太少。,每一组的区间长度，称为组距。组距可以相等，也可以不相等。组距相等的情况用得比较多，不过也有不少情形在对应于数据最大及最小的一个或两个组，使用与其他组不相等的组距。对于完全相等的组距，通常取组距h为接近的某个整数值。,在本例中，n=100，取k=9，R/k=24/9=2.7，故取组距h=3。,（3）确定组限，即每个区间的端点及组中值。为了避免一个数据可能同时属于两个组，因此通常将各组的区间确定为左开右闭的：,通常要求 xmin,xmax。在等距分组时，而每一组的组中值,在本例中取=331.5，则每组的组限及组中值见表1.3-3。,（4）计算落在每组的数据的频数及频

18、率,确定分组后，统计每组的频数，即落在组中的数据个数以及频率，列出每组的频数、频率表，见表1.3-3。,频数、频率及累积频率表,表1.3-3,（5）作频数频率直方图,在横轴上标上每个组的组限，以每一组的区间为底，以频数（频率）为高画一个矩形，所得的图形称为频数（频率）直方图，如图1.3-4。在本例中频数直方图及频率直方图的形状是完全一致的。这是因为分组是等距的。,在分组不完全等距的情形，在作频率直方图时，应当用每一个组的频率与组距的比值/为高作矩形。此时以每个矩形的面积表示频率。,频数（频率）直方图,（二）直方图的观察与分析,a.对称型b.偏态型c.孤岛型d.锯齿型e.平顶型f.双峰型,三、统

19、计量与抽样分布,1统计量的概念,不含未知参数的样本函数,样本均值、样本中位数、样本极差、样本 方差、样本标准差及样本变异系数等都是 统计量，只有众数除外。,2抽样分布,统计量的分布称为抽样分布,（一）样本数据集中位置的统计量,（1）样本均值,（2）样本中位数Me(或),（3）众数（Mod）,数据中出现频率最高的值。,（二）描述样本数据分散程度的统计量,（1）样本极差,（2）样本方差,因为n个离差（）的总和为零，所以对于n个独立数据，独立的离差个数只有n-1个，称n-1为离差（或离差平方和）的自由度。故方差用离差平方和除以n-1。,简化计算公式：,或,（3）样本标准差,标准差的量纲与数据的量纲一

20、致,（4）样本变异系数,四、常用抽样分布,1 的分布,设X服从N（，），（x1，x2，xn）是由总体X中抽取的一个样本，则服从 N（，）,（1）的精确分布,（2）的渐进分布,设X为任意分布，（x1，x2，xn）是由总体X中抽取一个样本，若，则当n时，近似服从 N（，）。,（3）分布,设X服从N(0，1)，且设（x1，x2，xn）是由总体X中抽取的一个样本，则,服从自由度为n的 分布，记作(n)。,设X服从N（，），则,（3）t 分布,设随机变量X，Y相互独立，XN(0，1)，Y(n)则 服从自由度为n的t分布记作tt(n),设XN（，），（x1，x2，xn）是由总体X中抽取的一个样本，则,设X

21、和Y相互独立，且XN（，），YN（，），（x1，x2，xn1）与（y1，y2，yn2）分别由总体X和Y中抽 取的样本，则,（4）F 分布,设X与Y相互独立，且X2(N1)，Y2(N2)则 服从自由度为（N1，N2）的F 分布。记作 FF(N1，N2)。,设X和Y相互独立，X，Y，(x1，x2，xn)与(y1，y2，ym)分别由X 和Y中抽取的样本，则,F(n1，m1),当=时，则,正态分布,t 分布,分布,F分布,第四节 参数估计,一、点估计,1概念,设 是一个未知参数，由总体X中抽取的样本，则用 来估计，则称 为 的估计量（或称估计）。,2矩法估计,（1）用样本矩估计相应总体矩；,（2）用样

22、本矩的函数估计相应总体矩的函数。,例如用样本均值估计总体均值；用样本方差（标准差）来估计总体方差（标准差）。,3.点估计优劣的评选标准,（1）无偏性,设 是的一个估计量，若，则称 是的无偏估计。,（2）有效性,设 都是的无偏估计量，若对一切的可能取值有：,，且至少有一个，严格不等号成立，则 比 有效。,（3）正态总体参数的无偏估计,的无偏估计有两个，即 和。,的无偏估计常用的只有一个，即。,的无偏估计有两个，即 和,二、区间估计,（一）区间估计的概念,设是总体分布中的未知参数，其一切可能取值组成的参数空间为，从总体中抽取一个样本(x1，x2，xn)，对给定的，确定两个统计量：与,对任意的 有,

23、则称L，u是的置信水平为 的置信区间。,1-置信区间的含义：,所构造的一个随机区间 能包含未知参数 的概率为1-。由于这个随机区间会随样本观察值的不同而不同，它有时包含了参数，有时没有包含，但是用这种方法作区间估计时，100次中大约有100(1-)个区间能包含未知参数。,（二）一个正态总体均值与方差的置信区间,（1）已知，求 的置信区间,的1-置信区间为：,（2）未知，求 的置信区间,（3）方差 的1-的置信区间（未知）,（4）标准差 的1-的置信区间（未知）,（三）比例p的置信区间（大样本场合）,设总体，样本为x1，x2，xn，样本之和为K，样本均值为 则,（点估计）,当n相当大时，故p的

24、置信区间。,其中 是标准正态分布的 分位数。,第五节 假设检验,基本思想,根据所获得的样本，运用统计分析的方法，对总体X的某种假设H0作出接受或拒绝的决定。,（二）基本步骤,1建立假设,H0称为原假设，H1称为备择假设，如关于均值 常用有三类假设：,H0：H1：,（3）,（1），（2）称为单边假设检验,（3）称为双边假设检验,2寻找检验统计量T，确定拒绝域的形式 3给出显著性水平 4给出临界值，确定拒绝域 5根据样本观察值计算检验统计量的观察值，根据计算结果作出拒绝或接受H0的判断。,一个正态总体的假设检验,1.已知，检验H0：，H1：,（1）检验统计量,（2）给定，查标准正态分布函数值表定出

25、临界值,（3）由样本观察值计算出统计量u,（4）作出判定,当 接受H0,拒绝H0，接受H1,2.已知，检验H0：，H1：,（1）检验统计量,（2）给定，定出临界值,（3）由样本观察值计算出统计量,（4）判定,当 接受H0,拒绝H0，接收H1,3.已知，检验H0：，H1：,（1）检验统计量,（2）给定，定出临界值,（3）由样本观察值计算出统计量u,（4）判定,当 接受H0,拒绝H0，接受H1,4.未知，则用t检验法,把上述的统计量u换成t，即,对给定的，查t一分布表，确定临界值，然后作出接受或拒绝的判定。,5.未知，检验H0：，H1：,（1）检验统计量,（2）给定，查 分布表，定出临界值,和,（3）由样本观察值计算出统计量,当,接受H0，否则拒绝H0，接受H1。,三、有关比例p的假设检验,设Xb(1,p)，x1,x2,xn由总体X抽取的一个样本，当n较大时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，则,近似服从N（0，1）,则可获得p的近似u检验。,