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1、,课件,一、重点与难点,重点：,难点：,1.复积分的基本定理；,2.柯西积分公式与高阶导数公式,复合闭路定理与复积分的计算,课件,二、内容提要,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数的定义,复合闭路 定 理,柯西积分公 式,高阶导数公式,调和函数和共轭调和函数,课件,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那末我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线,课件,2.积分的定义,课件,课件,3.积分存在的条件及计算,（1）化成线积分
2、,（2）用参数方程将积分化成定积分,课件,4.积分的性质,课件,课件,课件,6.原函数的定义,(牛顿-莱布尼兹公式),课件,7.闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,课件,课件,8.柯西积分公式,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,课件,9.高阶导数公式,课件,10.调和函数和共轭调和函数,任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,课件,定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,课件,三、典型例题,例1 计算 的值，其中C为1）沿从 到 的线段：2）沿从 到 的线段：与从 到
3、的线段 所接成的折线.,解,课件,说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同.,课件,因此,证,例2 设C为圆周 证明下列不等式.,课件,解,例3 计算,当 时,课件,解,课件,解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式,由柯西-古萨基本定理有,课件,课件,解法二 利用柯西积分公式,课件,因此由柯西积分公式得,课件,课件,解,分以下四种情况讨论：,课件,课件,课件,课件,课件,解,课件,解法一 不定积分法.利用柯西黎曼方程,课件,因而得到解析函数,课件,解法二 线积分法.,课件,因而得到解析函数,课件,解法三 全微分法,课件,解,例8 已知 求解析函数,使符合条件,课件,放映结束，按Esc退出.,课件,
