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1、几何最值一、选择题1（2020泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A1BC21D2（第12题） 答案 B解析本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C为坐标平面内一点，BC1，所以点C在以点B为圆心、1长为半径的圆上，在x轴上取OA=OA=2，当A、B、C三点共线时，AC最大，则AC=21，所以OM的最大值为，因此本题选B2（2020无锡）如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上运动，PQ，有下列结论：CP与QD可能相等； A
2、QD与BCP可能相似；四边形PCDQ面积的最大值为； 四边形PCDQ周长的最小值为3.其中，正确结论的序号为（ ）A B C D答案 D解析设AQx，则BPx如图1，当点P与B重合时，此时QD为最大，过点Q作QEAC，AQ，AE，QE，DE，此时QD，即0QD；而CP3，两个范围没有交集，即不可能相等；错误若AQDBCP，则，代入得2x25x+30，解得x11，x2，都存在，正确；如图2，过点D作DEAB，过点P作PFBC，S四边形PCDQ=SABCSAQDSBPC32x3（x） x ，x0，即x，当x=时面积最大为；正确；如图，将D沿AB方向平移个单位得到E，连接PE，即四边形PQDE为平行
3、四边形，QD=PE，四边形周长为PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求PE+PC的最小值，作点E关于AB的对称点F，连接CF，线段CF的长即为PE+PC的最小值；过点D作DGAB，AG，EN=FN=HM=，CH，FHMN，FC，四边形PCDQ周长的最小值为3，错误. 3(2020荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接AC、BD，则ACBD的最小值为( )A2 B2 C6 D3xOy图6DCBAxOy图#DCBABA答案B解析如图#，过点B作BBx轴(点B在点B的左侧)，且使BB2，则B(2，4)；作A关于x轴的对
4、称点A，则A(0，2)；连结AB交x轴于点C；在x轴上向右截取CD2，则此时ACBD的值最小，且最小值AB2故选B4（2020南通）ABC中，AB2，ABC60，ACB45，D为BC的中点，直线l经过点D，过B作BFl于F，过A作AEl于E求AEBF的最大值为A B2 C2 D3答案A解析过点A作AHBC于点H，在RtAHB中，ABC60，得BH1，AH，在RtAHC中，ACB45，得AC当直线l与AB相交时，延长BF，过点A作AMBF于点M，可得AEBFAEFMBM，在RtAMB中，BMAB，当直线lAB时，最大值为2；当直线l与AC相交时，过点C作CHl于点H，由点D为BC中点可证明BFD
5、CHD，BFCH，延长AE，过点C作CNAE于点N，可得AEBFAECK AEENAN，在RtACN中，ANAC, 当直线lAC时最大值为；所以AEBF的最大值为 5（2020恩施）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8答案B解析连接ED交AC于一点F，连接BF，四边形ABCD是正方形，点B与点D关于AC对称，BF=DF，的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，正方形的边长为4，AD=AB=4，DAB=90，点在上且，AE=3，DE=，的周长=5+1=6，故选：B. 6.（2020永州）已知点和直线，求点P到直线的
6、距离d可用公式计算根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，点C到直线l的距离，半径为1，的最小值是，故选：B.二、填空题7（2020绵阳）如图，四边形ABCD中，ABCD，ABC60，ADBCCD4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足AMD90，则点M到直线BC的距离的最小值为 答案32解析延长AD、BC交于点P， 作MHPB 于H. ABCD，ABCDCP60.ADBCCD4，PDPC
7、，PDC为等边三角形，PDPCCD4，P60. 由AMD90，可知点M在以AD为直径的E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在RtPEH中，EP6，P60，EHEPsin603，MH的最小值EHEM32. 8（2020扬州）如图，在ABCD中，B=60，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=DE，以EC、EF为邻边构造EFGC，连接EG，则EG的最小值为 . （第18题图）答案解析本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短
8、来解决过A作AMBC于M，设EG、DC交于H在RtAMB中，B=60，AB=10，sinB=，AM=，EFGC中，DF=DE，ED=，又EF=GC，EFCG，EHDGHC，CD=AB=10是定长，故不管动点E在AB上如何运动，H始终是定点，H又在EG上，它到AB的最短距离就是HN，SABCD=，当动点E运动到与N重合（见答图2），EG最短，此时，HG=，EG的最小值= HG+NH=因此本题答案为 （第18题答图1） （第18题答图2） 9（2020鄂州）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到
9、直线a的距离的最大值为_答案解析本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到点的位置是解题的关键先找到长取最小值时P的位置即为OPAB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可解：如图，在直线上，x0时，y4，y0时，x，OB4，OA，OBA30，由切于Q点，可知OQPQ，由于OQ1，因此当OP最小时长取最小值，此时OPAB，此时，即OPQ30，若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过P作PEy轴于E，OPE30，EPM303060，即EMP30，故答案为：10（2020宜宾）如图，四边形ABCD中，DAAB，CBAB，AD3，AB5，BC2
10、，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是5【解答】解：延长CB到C，使CBCB2，连接DC交AB于P则DC就是PC+PD的和的最小值ADBC，APBC，ADPC，ADPBCP，AP：BPAD：BC3：2，PBAP，AP+BPAB5，AP5，BP2，PD3，PC2，DCPD+PC3+25，PC+PD的最小值是5，故答案为5 11（2020东营）如图，在RtAOB中，OB=，A=30，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 答案解析本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OPAB
11、时，线段PQ最短是关键连接OP、OQ，PQ是O的切线，OQPQ，根据勾股定理知,当OPAB时，线段PQ最短.在RtAOB中，OB=，A=30，OAOB=OPAB，即， 12（2020毕节）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则APPE的最小值是_ 答案2，解析本题考查正方形的性质，线段最短问题解：正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，BE2点P是对角线BD上的动点，连接PC，则PCPA连接EC交BD于点P，此时APPEACPEEC有最小值，最小值EC2故答案为213.（2020永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分
12、别是边上的动点，连接，则周长的最小值是_【答案】【详解】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：即周长的最小值故答案为三、解答题14（2020扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.（1）求证：OCAD；（2）如图2，若DE=DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，
13、求DE的值. （第27题图1） （第27题图2） 解析本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1） 利用角平分线性质与外角知识证明BOC =OAD=BOD即可；（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证ADB90，再利用互余关系得出AOF90，从而求得AD的长，最后由ADEAOF求得的值；（3） 如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQCD于Q. 先证ACBACH得AB
14、=AH=4，BC=HC，于是DC =CB=CH，再由HCDHAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.答案解：（1）证明：OA=OB，OAD=ODA，BOD是AOD的外角，BOD=OAD+ODA=2OAD，OAD=ODA，OC平分BOD，BOC =BOD，BOC =OAD，OCAD；（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，DE=DF，DFE=DEF，OA=OB=OC=OD=2，点A、D、C、B共圆，AB是O的直径，ADB90，DEF+DAE=90，OA=OC，OAC=OCA，OCAD，DAC=OC
15、A，DAC=OAC，又DFE=AFO，OAC+AFO=90，AOF90，AD=，AOFADB90，DAC=OAC，ADEAOF，；（第27题答图1） （第27题答图2） （第27题答图3） （3） 如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQCD于Q.OA=OB=OC=OD=2，点A、D、C、B共圆，AB是O的直径，ACBADB90，ACH90=ACB，OA=OC，OAC=OCA，OCAD，DAC=OCA，DAC=OAC，在ACB和ACH中，ACBACH，ACAC，BAC=HAC，ACBACH，AB= AH=4，BC=HC，又BDH=180-ADB90，DC=HB
16、=CB=CH，点A、D、C、B共圆，HCDHAB，又HH，HCDHAB，即，HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），AD=CD=BC，且它们所对圆心角都为60，DCA=CDB=30，ED=EC，DQ=CD=1，在RtDQE中，=COSCDE，=，DE=.15.（2019济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究（一）猜测探究在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AN，
17、连接NB（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NAB与MAC的数量关系是NABMAC，NB与MC的数量关系是NBCM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C160，B1A1C175，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75，得到线段A1Q，连接B1Q求线段B1Q长度的最小值【解答】解：（一）（1）结论：NABMAC，BNMC理由：如图1中，MANCAB，NAB+BAMBAM+MA
18、C，NABMAC，ABAC，ANAM，NABMAC（SAS），BNCM故答案为NABMAC，BNCM（2）如图2中，中结论仍然成立理由：MANCAB，NAB+BAMBAM+MAC，NABMAC，ABAC，ANAM，NABMAC（SAS），BNCM（二）如图3中，在A1C1上截取A1NA1B1，连接PN，作NHB1C1于H，作A1MB1C1于MC1A1B1PA1Q，QA1B1PA1N，A1QA1P，A1B1AN，QA1B1PA1N（SAS），B1QPN，当PN的值最小时，QB1的值最小，在RtA1B1M中，A1B1M60，A1B18，A1MA1B1sin604，MA1C1B1A1C1B1A1M7
19、53045，A1C14，NC1A1C1A1N48，在RtNHC1，C145，NH44，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，QB1的最小值为4416.（2019淮安）如图，在ABC中，ABAC3，BAC100，D是BC的中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80，点B的对应点是点E，连接BE，得到BPE小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图所示BEP50；连接CE，直
20、线CE与直线AB的位置关系是ECAB（2）请在图中画出BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值【解答】解：（1）如图中，BPE80，PBPE，PEBPBE50，结论：ABEC理由：ABAC，BDDC，ADBC，BDE90，EBD905040，AE垂直平分线段BC，EBEC，ECBEBC40，ABAC，BAC100，ABCACB40，ABCECB，ABEC故答案为50，ABEC（2）如图中，以P为圆心，PB为半径作PAD垂直平分线段BC，PBPC，BCEBPE40，ABC40，ABEC（3）如图中，作AH
21、CE于H，点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值AB317.（2020东营）如图1，在等腰三角形ABC中，A120，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点（1）观察猜想图1中，线段NM、NP的数量关系是NMNP，MNP的大小为60（2）探究证明把ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD1，AB3，请求出MNP面积的最大值【解答】解：（1）ABAC，ADAE，BDC
22、E，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，MNBD，PNCE，MNAB，PNAC，MNPN，ENMEBA，ENPAEB，MNE+ENPABE+AEB，ABE+AEB180BAE60，MNP60，故答案为：NMNP；60；（2）MNP是等边三角形理由 如下：由旋转可得，BADCAE，又ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE，ABDACE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点MNBD，PNCE，MNBD，PNCE，MNPN，ENMEBD，BPNBCE，ENPNBP+NPBNBP+ECB，EBDABD+ABEACE+ABE，MNPMNE+ENPACE+ABE+EBC+EBC+E
23、CB180BAC60，MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BDAB+AD，即BD4，MN2，MNP的面积，MNP的面积的最大值为18.（2020重庆）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，连接CE，DE点F是DE的中点，连接CF（1）求证：CFAD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含
24、m的式子表示CE的长【解答】证明：（1）ABAC，BAC90，ABCACB45，把AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，ADAE，DAE90BAC，BADCAE，DEAD，又ABAC，BADCAE（SAS），ABDACE45，BCEBCA+ACE90，点F是DE的中点，CFDEAD；（2）AGBC，理由如下：如图2，过点G作GHBC于H，BD2CD，设CDa，则BD2a，BC3a，BAC90，ABAC，ABACa，由（1）可知：BADCAE，BDCE2a，CFDF，FDCFCD，tanFDCtanFCD，2，GH2CH，GHBC，ABC45，ABCBGH45，BHGH，BGBHBH+CHBC3a
25、，CHa，BHGH2a，BG2a，AGBGABaCDBC；（3）如图31，将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM，连接PN，BPBN，PCNM，PBN60，BPN是等边三角形，BPPN，PA+PB+PCAP+PN+MN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时，如图32，连接MC，将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM，BPBN，BCBM，PBN60CBM，BPN是等边三角形，CBM是等边三角形，BPNBNP60，BMCM，BMCM，ABAC，AM垂直平分BC，ADBC，BPD60，BDPD，ABAC，BAC90，ADBC，ADBD，PDPD+AP，PDm，BDPDm，由（
26、1）可知：CEBDm19.（2020威海）发现规律（1）如图，ABC与ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F直线BD，AC交于点H求BFC的度数（2）已知：ABC与ADE的位置如图所示，直线BD，CE交于点F直线BD，AC交于点H若ABCADE，ACBAED，求BFC的度数应用结论（3）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段MK，连接NK，OK求线段OK长度的最小值【解答】解：（1）如图，ABC，ADE是等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60ABCACB，BADCAE，BADCA
27、E（SAS），ABDACE，ABD+FBCABC60，ACE+FBC60，BFC180FBCACEACB60；（2）如图，ABCADE，ACBAED，ABCADE，BACDAE，BADCAE，ABDACE，ABDACE，BHCABD+BACBFC+ACE，BFCBAC，BAC+ABC+ACB180，BFC+180，BFC180；（3）将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段MK，MNNK，MNK60，MNK是等边三角形，MKMNNK，NMKNKMKNM60，如图，将MOK绕点M顺时针旋转60，得到MQN，连接OQ，MOKMQN，OMQ60，OKNQ，MOMQ，MOQ是等边三角形，QOM60，NOQ30，OKNQ，当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得：当QNy轴时，NQ有最小值，此时，QNy轴，NOQ30，NQOQ，线段OK长度的最小值为.
