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1、三角形全等之倍长中线（讲义） 课前预习1. 填空（1）三角形全等的判定有：三边分别_的两个三角形全等，即（_）；两边和它们的_分别相等的两个三角形全等，即（_）；两角和它们的_分别相等的两个三角形全等，即（_）；两角和其中一个角的_分别相等的两个三角形全等，即（_）；斜边和_边分别相等的两个直角三角形全等，即（_）（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证_；要证明两个三角形全等需要准备_组条件，这三组条件里面必须有_；然后依据判定进行证明其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例2. 想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点（1）
2、当OC=OD时，求证：AOCBOD；（2）当ACBD时，求证：AOCBOD 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要_，_之后_2. 中点的思考方向：（类）倍长中线 延长AD到E，使DE=AD， 延长MD到E，使DE=MD，连接BE 连接CE平行夹中点延长FE交BC的延长线于点G 精讲精练1. 如图，AD为ABC的中线（1）求证：AB+AC 2AD（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围2. 如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD求证：AB=AC3. 如图，CB是AEC的中线，CD是ABC的中线，且AB=AC求证：CE=2CD；CB平分DCE4. 如图，在ABC中，D是BC的
3、中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F求证：AEF=EAF5. 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF求证：AD为ABC的角平分线6. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AFAB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长7. 如图，在正方形ABCD中，CD=BC，DCB=90，点E在CB的延长线上，过点E作EFBE，且EF=BE连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG求证：EG=CG且EGCG【参考答案】 课前预习1. （1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，
4、ASA；对边，AAS；直角，HL（2）全等，三，边2. （1）证明：如图O是AB的中点AO=BO在AOC和BOD中AOCBOD（SAS）（2）证明：如图O是AB的中点AO=BOACBDA=B在AOC和BOD中AOCBOD（ASA） 精讲精练1. （1）证明：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接BEAE=2ADAD是ABC的中线BD=CD在BDE和CDA中BDECDA（SAS）BE=AC在ABE中，AB+BEAEAB+AC2AD（2）解：由（1）可知AE=2AD，BE=AC在ABE中，AB-BEAEAB+BEAC=3，AB=55-3AE5+322AD81AD42. 证明：如图，延长AD到E，使
5、DE=AD，连接BE在ADC和EDB中ADCEDB（SAS）AC=EB，2=EAD平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC3. 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BFCF=2CDCD是ABC的中线BD=AD在BDF和ADC中BDFADC（SAS）BF=AC，1=FCB是AEC的中线BE=ABAC=ABBE=BF1=FBFAC1+2+5+6=180又AC=AB1+2=5又4+5=1804=5+6即CBE=CBF在CBE和CBF中CBECBF（SAS）CE=CF，2=3CE=2CDCB平分DCE4. 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BMD是BC边的中点BD=CD在ADC和M
6、DB中ADCMDB（SAS）1=M，AC=MBBE=ACBE=MBM=31=33=21=2即AEF=EAF5. 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM点E是BC的中点BE=CE在CFE和BME中CFEBME（SAS）CF=BM，F=MBG=CFBG=BM1=M1=FADEF3=F，1=22=3即AD为ABC的角平分线6. 解：如图，延长AF交BC的延长线于点GADBC3=G点F是CD的中点DF=CF在ADF和GCF中ADFGCF（AAS）AD=CGAD=2.7CG=2.7AE=BE1=BABAF1+2=90B+G=902=GEG=AE=5CE=EG-CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M由题意，FEB=90，DCB=90DCB+FEB=180EFCDFEG=M点G为FD的中点FG=DG在FGE和DGM中FGEDGM（AAS）EF=MD，EG=MGFEB是等腰直角三角形EF=EBBE=MD在正方形ABCD中，BC=CDBE+BC=MD+CD即EC=MCECM是等腰直角三角形EG=MGEGCG，3=4=452=3=45EG=CG
