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1、三角形全等之倍长中线1. 如图，AD为ABC的中线（1）求证：AB+AC 2AD（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围2. 如图，在ABC中，AD平分BAC，且BD=CD求证：AB=AC3. 如图，CB是AEC的中线，CD是ABC的中线，且AB=AC求证：CE=2CD；CB平分DCE4. 如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F求证：AEF=EAF5. 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF求证：AD为ABC的角平分线6. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E在BC上
2、，点F是CD的中点，且AFAB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长7. 如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，FEB为等腰直角三角形，FEB=90，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG求证：EG=CG且EGCG【参考答案】1. （1）证明：如图， 延长AD至E，使DE=AD，连接BE，AE=2ADAD是ABC的中线BD=CD在BDE和CDA中BDECDA（SAS）BE=AC在ABE中，AB+BEAEAB+AC2AD（2）解：由可知AE=2AD，BE=AC在ABE中，AB-BEAEAB+BEAC=3，AB=55-3AE5+322AD81AD42. 证明：如图，延长AD到
3、E，使DE=AD，连接BE在ADC和EDB中ADCEDB（SAS）AC=EB，2=EAD平分BAC1=21=EAB=BEAB=AC3. 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BFCF=2CDCD是ABC的中线BD=AD在BDF和ADC中BDFADC（SAS）BF=AC，3=ACB是AEC的中线BE=ABAC=ABBE=ACBE=BFCBE是ABC的一个外角CBE=BCA+A=BCA+3AC=ABBCA=CBACBE=CBA+3 =CBF在CBE和CBF中CBECBF（SAS）CE=CF，4=5CE=2CDCB平分DCE4. 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BMD是BC边的中点
4、BD=CD在ADC和MDB中ADCMDB（SAS）CAD=M，AC=MBBE=ACBE=MBM=BEMCAD=BEMAEF=BEMCAD=AEF即AEF=EAF5. 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM点E是BC的中点BE=CE在CFE和BME中CFEBME（SAS）CF=BM，F=MBG=CFBG=BM3=M3=FADEF2=F，1=31=2即AD为ABC的角平分线6. 解：如图，延长AF交BC的延长线于点GADBC3=G点F是CD的中点DF=CF在ADF和GCF中ADFGCF（AAS）AD=CGAD=2.7CG=2.7AE=BE5=BABAF4+5=90B+G=904=GEG=
5、AE=5CE=EG-CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M由题意，FEB=90，DCB=90DCB+FEB=180EFCDFEG=M点G为FD中点FG=DG在FGE和DGM中FGEDGM（AAS）EF=MD，EG=MGFEB是等腰直角三角形EF=EBBE=MD在正方形ABCD中，BC=CDBE+BC=MD+CD即EC=MCECM是等腰直角三角形EG=MGEGCG，ECG=MCG=45EG=CG全等三角形之倍长中线每日一题1. （4月21日）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，E是CD的中点求证：AEBE2. （4月22日）已知：如图，ABC
6、与BDE均为等腰直角三角形，BAAC，EDBD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由3. （4月23日）已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰RtACE与等腰RtBCF，AEC=CFB=90，连接DE，DF，EF求证：DEF为等腰直角三角形4. （4月24日）已知：如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由【参考答案】1. 证明：延长AE交BC的
7、延长线于点FADBCD=DCF，DAE=FE是CD的中点DE=CE在ADE和FCE中ADEFCE（AAS）AD=FC，AE=FEAB=AD+BCAB=CF+BC=BF在ABE和FBE中ABEFBE（SSS）AEB=FEB=90即AEBE2. 解：AFDF，AF=DF，理由如下：延长DF交AC于点P.BAAC，EDBDBAC=EDA=90DEACDEC=ECAF为EC中点EF=CF在EDF和CPF中EDFCPF（ASA）DE=CP，DF=PFABC与BDE均为等腰直角三角形AB=AC，DE=BDAB-BD=AC-DE=AC -CP即AD=AP在DAF和PAF中DAFPAF（SSS）DFA=PFA
8、=90，DAF=PAF=45AFDF，AF=DF3. 证明：延长ED到点G，使DG=DE，连接BG，FGD为线段AB的中点AD=BD在EDA和GDB中EDAGDB（SAS）EA=GB，A=GBDACE与BCF是等腰直角三角形AE=CE=BG，CF=FB，A=ECA=FCB=FBC=45ECF=90，GBF=GBD+FBD=90在ECF和GBF中ECFGBF（SAS）EF=GF，EFC=GFBCFB=CFG+GFB=90EFG=EFC+CFG=90在EFD和GFD中EFDGFD（SSS）EDF=GDF=90，EFD=GFD=45DE=DFDEF为等腰直角三角形4. 解：AB=AF+CF，理由如下
9、：延长AE交DF的延长线于点GE为BC边的中点BE=CEABDCB=BCG，BAG=G在ABE和GCE中ABEGCE（AAS）AB=GCBAE=EAFG=EAFAF=GFGC=GF+FCAB=AF+CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_2. 已知：如图，在ABC中，ABAC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DFAB交AE于点F，DF=AC求证：AE平分BAC【参考答案】1. 3ABAC，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G求证：BF=CG5. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，若DAF=EAF，求证：AFEF【参考答案】1. 22. 证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明ADGEDF，转角证明AB=EF）3. 证明略（提示：延长AD到点G，使得AD=GD，连接CG，证明ABDGCD，EAFGCA）4. 证明略（提示：延长FE到点H，使得FE=EH，连接CH，证明BFECHE，转角证明BF=CG）5. 证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明ADFGCF，转角证明AFEF）
