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1、勾股定理一、基础知识点:1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222+=a b c2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1所示的正方形。图(1中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2所示的正方形。图(2中,所以。 方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(31和(32所示的两个形状相同的
2、正方形。 在(31中,甲的面积=(大正方形面积(4个直角三角形面积,在(32中,乙和丙的面积和=(大正方形面积(4个直角三角形面积, 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.方法四:如图(4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。 3.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三
3、角形;若222a b c +,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形4.勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5; 5,12,13;7,24,25等用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n n 为正整数;2221,22,221n n n
4、 n n +(n 为正整数考点一、已知两边求第三边1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为_.2.已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是_.3.在一个直角三角形中,若斜边长为5cm ,直角边的长为3cm ,则另一条直角边的长为( .A .4cmB .4cm 或cm 34C .cm 34D .不存在4.在数轴上作出表示10的点考点二、利用列方程求线段的长1.把一根长为10的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是92,那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好.2.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重
5、合,则EB 的长是( .A .3B .4 CD .5 3.如图,某学校(A 点与公路(直线L 的距离为300米, 又与公路车站(D 点的距离为500米,现要在公路上建一个小 商店(C 点,使之与该校A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.4、如图,水池中离岸边D 点 1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.5. 如图, 中, AD 、AE 分别为BC 的高和中线,求DE 的长。 F E DCBA5、如图4,已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ,将ADE 折叠
6、使点D 恰好落在BC 边上的点F ,求CE 的长. 考点三、综合其它考点的应用2.如图一个圆柱,底圆周长6cm ,高4cm ,一只蚂蚁沿外 壁爬行,要从A 点爬到B 点,则最少要爬行 cm.13. 如图B=90,AB =16cm ,BC =12cm ,AD =21cm,CD=29cm 求四边形ABCD 的面积.14.如图,一个梯子AB 长2.5 米,顶端A 靠在墙AC 上,这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米,梯子滑动后停在DE 的位置上,测得BD 长为0.5米,求梯子顶端A 下落了多少米?2. 如图 中,求AC 的长及 的面积。 AB5. 如图中,D 为AB 的中点,E 、F 分别在A
7、C 、BC上,且, 求证: 。 考点四、判别一个三角形是否是直角三角形1.下列命题中是假命题的是( .A .ABC 中,若B =C -A ,则ABC 是直角三角形.B .ABC 中,若a 2=(b +c (b -c ,则ABC 是直角三角形.C .ABC 中,若A B C =345则ABC 是直角三角形.D .ABC 中,若a b c =543则ABC 是直角三角形.2.在ABC 中,2:1:1:=c b a ,那么ABC 是( .A .等腰三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形 3.如图,四边形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点, 且BC CE 41=.
8、你能说明AFE 是直角吗?考点五、开放型试题1.在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=_.l 321S 4S 3S 2S 12.如图,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难证明S1=S2+S3 .(1 如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系?(不必证明(2 如图,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面
9、积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明;(3 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你猜想S1、S2、S3之间的关系?. 3.图示是一种“羊头”形图案,其作法是,从正方形1开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形2,和2,依次类推,若正方形7的边长为1cm,则正方形1的边长为_cm. CB AD E 练习1、如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB 为8cm ,长BC 为10cm .当小红折叠时,顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE .
10、此时EC 有多长?2.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠, 使C 点与A 点重合,则EB 的长是( . A .3B .4 CD .53.已知:如图,在ABC 中,C=90,B=30,AB 的 垂直平分线交BC 于D ,垂足为E ,D=4cm . 求AC 的长. 4、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8, 现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使其落在斜边AB 上,且 与AE 重合,则CD 的长为。5、如图,已知:点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点,现将DCE 沿折痕DE 向上翻折,使DC 落在对角线DB 上,则EB CE =_.6、如图,AD 是ABC
11、的中线,ADC =45o ,把ADC 沿AD 对折,点C 落在C的位置,若BC =2,则BC=_.FEDCBAE题5图FBACD 7.已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则ABE 的面积为( A 、6cm 2 B 、8cm 2 C 、10cm 2 D 、12cm 28、如图,已知:在ABC 中,=90ACB ,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等. 9.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD ,长为10cm ,宽为4cm ,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P
12、落在AD 边上(不与A 、D 重合,在AD 上适当移动三角板顶点P :能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ?若能, 请你求出这时 AP 的长;若不能,请说明理由.再次移动三角板位置,使三角板顶点P 在AD 上移动, 直角边PH 始终通过点B ,另一直角边PF 与DC 的延长 线交于点Q ,与BC 交于点E ,能否使CE =2cm ?若能, 请你求出这时AP 的长;若不能,请你说明理由.10、如图所示,在Rt ABC 中,90,45BAC AC AB DAE =,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图8F第11题图 11、如图在Rt ABC 中,3,4,90=BC AC C ,在R
13、t ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示: 12、已知:如图,ABC 中,C = 90,点O 为ABC 的三条角平分线的交点,OD BC ,OE AC ,OF AB ,点D 、E 、F 分别是垂足,且BC = 8cm ,CA = 6cm ,则点O 到三边AB ,AC 和BC 的距离分别等于 cm13、已知a 、b 、c 是ABC 的三边,且a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断三角形的形状.14.如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ,高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ,那么所用细线最短需要多长
14、?如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ,那么所用细线最短需要多长? C OA B DEF15. 三角形的三边长为ab c b a 2(22+=+,则这个三角形是( (A 等边三角形 (B 钝角三角形 (C 直角三角形 (D 锐角三角形. 16.(12分如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方 向100km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移 动,已知城市A 到BC 的距离AD=60km ,那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点?如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?17、已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 18、 如图,在等腰ABC 中,ACB=90,D 、E 为斜边AB 上的点,且DCE=45。求证:DE 2=AD 2+BE 2。 EABCD第24题图
