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1、平面图形上的最短路径问题知识点：1.两点之间，线段最短 2.垂线段最短 3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等 4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考题型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短题型一 两点在直线同侧（将军饮马）【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB题型二 相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P，连PP，与两直线交
2、点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长题型三 造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小将
3、点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交于点N，过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左）使并使AM+MN+NB的值小将点A向右平移个长度单位得A，作A关于的对称点A， 连AB，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN题型四 费马点【问题7】“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120，在ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求两点之间线
4、段最短PA+PB+PC最小值CD（二）根据垂线段最短题型五 和最小【问题8】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等题型六 差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0（四）根据三角形任意两边之差小于第三边题型七 差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作直线AB，与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【
5、问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边.AB最大值AB题型一 两点在直线同侧例题1：如图，在锐角ABC中，AB=6，BAC=60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ） A3 B C D6 解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD平分CAB，AE=AB，EO=OB，ADBE，AD是BE的垂直平分线（三线合一），E和B关于直线AD
6、对称，EM=BM，即BM+MN=EM+MN=EN，ENAB，ENA=90，CAB=60，AEN=30，AE=AB=6，AN=AE=3，在AEN中，由勾股定理得：EN=，即BM+MN的最小值是故选B巩固练习：如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且AOB=30点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为_ _解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小DP=PA，PA+PC=PD+PC=CDB（3，），AB=，OA=3，B=60由勾股定理得：OB=2由三角形面积公
7、式得：OAAB=OBAM，AM=AD=2=3AMB=90，B=60，BAM=30BAO=90，OAM=60DNOA，NDA=30AN=AD=由勾股定理得：DN=C（1，0），CN=3-1-=在RtDNC中，由勾股定理得：DC=PA+PC的最小值是题型二 相交直线之间一或两点例题2：如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（ ）A10 B15 C20 D30解：设POA=，则POB=30， 作PMOA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM 作PNOB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN 连接EF与
8、OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR， 则PQR即为周长最短的三角形 OA是PE的垂直平分线， EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， FR=RP， PQR的周长=EF OE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF=2+2（30）=60， EOF是正三角形，EF=10， 即在保持OP=10的条件下PQR的最小周长为10，故选A巩固练习：如图，AOB=30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=5，ON=12，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 解：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可
9、知：NOQ=MOB=30，ONN=60，OM=OM=5，ON=ON=12，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，在中，故答案为：13题型三 造桥选址例题3：荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？解：作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D，作DD、EE即为桥证明：由做法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形于是AD=FD同理，BE=GE由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，A
10、DDEEB最短巩固练习：如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）请画出架桥的位置（不写画法）求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.解：如图所示，AA=1km，则MN为架桥位置过点B作BEAA，交其延长线于点E。 则 则从A到B的最短路程是：AM+MN+BN=AB+MN=5+1=6(km)题型四 费马点例题4：在锐角ABC内求一点P，使PA+PB+PC为最短值.解：（1）将绕逆时针旋转60，得到 （2）连接 （3）作直线与直线相交于点，且使靠近的哪一点就是的位置题型五 和
11、最小例题5：如图，ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，是AD上的动点，是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N，AD 是BC边上的中线，AD平分BACM在AB上，在中，E关于AD的对称点M根据垂线段最短得出：，即，即的最小值是巩固练习：如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上点，若AE=1，EM+CM的最小值为 解：连接BE，与AD交于点M则BE就是EM+CM的最小值，过B作BNAC于N，ABC是等边三角形，等边ABC的边长为4，AC=4，
12、AE=1，的最小值为，故答案为：题型六 差最小例题6：如图，（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？（2）若要使厂部到A、B两村的水管最短，应建在什么地方？【答案】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小巩固练习：在平面直角坐标系中有两点A（-2,2），B（1,4），根据要求求出P点的坐标：（1）在x轴上找一点P，使最小；（2）在y轴上找一点P，使最小（3）在x轴上找一点P，使最大；（4）在x轴上找一
13、点P，使最小解：（1）如下图，作A关于x轴的对称点A，连接AB与x轴相交于点P， 则点P即为试PA+PB最短的点，A（-2,2）， A（-2，-2） 设直线AB的解析式为：，直线AB的解析式为：，当时， （2）如下图，连接AB交y轴于P，则点P即为使PA+PB最短的点 设直线AB的解析式为：， 直线AB的解析式为：。当时， （3）连接BA并延长交x轴于，则点即为使最大的点由（2）得直线AB的解析式为：当y=0时，（4）如图， 当AP=BP时，最小 故点P在线段AB的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则点P即为所求。 设P（x，0），则PA=PB 即， 解得:， 故点P的坐标为题
14、型七 差最大例题7：已知：A（1，2），B（4，-2），在直线上找一点P，使最大，并求最大值解：A（1,2），B（4，-2），在直线的两侧作A（1,2）关于直线的对称点A垂直于直线且过点A（1,2）的直线方程设则由，得，即方程为令y=0，得x=3，即A（3,0）由直线与直线交点为（2,1）过A(3,0)和B（4，-2）的直线方程为由，得，即直线与直线的交点为此时当P的坐标为时，最大值为巩固练习：已知直线c和位于直线两侧的点A和点B，在直线c上找一点P，使得PA和PB之差最大画出图形，说明理由解：作点A关于直线c的对称点A，连接AB并延长交直线c于P，点P即为所求理由：连接PA，在直线c上另取一
15、点P，连接，得在中，当点A、B、P在同一条直线上时PAPB的值最大课后练习：练习1：如图.（1） 在图一中画出关于y轴对称的,并写出三点的坐标。（2） 在图二的y轴上确认一点P，使PA+PC最短。（只需保留作图痕迹） 解：（1）、 （2），作图如下：练习2：如图，AOB=30，点P为AOB内一点，OP=10,点M,N分别在OA,OB上，则PMN周长的最小值是_.解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=10，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60，COD是等边三角形，CD=OC=OD=10PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=10练习3：如图，ABBC,ADDC，BAD=，在BC，CD上分别找一点M、N，当AMN周长最小时，MAN的度数为_度。解析：40度
