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1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，抛物线yx22x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N，可得矩形PQNM如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平
2、行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)若FG2DQ，求点F的坐标【答案】(1)A(3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长2m28m+2；(3) m2；S；(4)F(4，5)或(1，0)【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQDC，再建立方程（n+3）（n22n+3）4即可【详解】(1)由抛物线yx22x+3可知，C(
3、0，3)令y0，则0x22x+3，解得，x3或xl，A(3，0)，B(1，0)(2)由抛物线yx22x+3可知，对称轴为x1M(m，0)，PMm22m+3，MN(m1)22m2，矩形PMNQ的周长2(PM+MN)(m22m+32m2)22m28m+2(3)2m28m+22(m+2)2+10，矩形的周长最大时，m2A(3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式ykx+b，解得kl，b3，解析式yx+3，令x2，则y1，E(2，1)，EM1，AM1，SAMEM(4)M(2，0)，抛物线的对称轴为xl，N应与原点重合，Q点与C点重合，DQDC，把x1代入yx22x+3，解得y4，D(1，4)，DQD
4、CFG2DQ，FG4设F(n，n22n+3)，则G(n，n+3)，点G在点F的上方且FG4，(n+3)(n22n+3)4解得n4或n1，F(4，5)或(1，0)【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长2如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA1，tanBAO3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线yax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接
5、PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与COD相似时点P的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得DOCAOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，得到EFCEMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【详解】（1）在RtAOB中，OA1，t
6、anBAO3，OB3OA3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OCOB3，ODOA1，A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（3，0），代入解析式为，解得：，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）抛物线的解析式为yx22x+3，对称轴为l1，E点坐标为（1，0），如图，分两种情况讨论：当CEF90时，CEFCOD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当CFE90时，CFECOD，过点P作PMx轴于M点，CFE=PME=90，CEF=PEM，EFCEMP，MP3ME点P的横坐标为t，P（t，t22t+3）P在第二象限，PMt22t+3，ME1t
7、，t0，t22t+33（1t），解得：t12，t23（与t0矛盾，舍去）当t2时，y（2）22（2）+33，P（2，3）综上所述：当CEF与COD相似时，P点的坐标为（1，4）或（2，3）【点睛】本题是二次函数综合题解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP3ME3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存
8、在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+
9、MD的值最小，则此时BDM的周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（1，0），C（0
10、，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3，0），MB=MB，MB+MD=MB+MD=DB，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，点M的坐标为（0，3）；（3）存在过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为y=x+b，把C（0，3）代入得b=3，直线PC的解析式为y=x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）
11、；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=x+b，把A（1，0）代入得+b=0，解得b=，直线PC的解析式为y=x，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题4抛物线（b，c为常数）与x轴交于点和，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。（）当时，求点A，点
12、E的坐标； （）若顶点E在直线上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；（）若，当满足值最小时，求b的值。【答案】（），；（）；（）.【解析】【分析】（）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值，确定解析式，从而求出抛物线与y轴交于点A的坐标，运用配方求出顶点E的坐标即可；（）先运用配方求出顶点E的坐标，再根据顶点E在直线上得出吧b与c的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A位置最高，从而确定抛物线的解析式；（）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（）中顶点E的坐标得出E点关于x轴的对称点的坐标，然后根据A、P两点坐标求出直线AP的解析式，再根据点在直线AP上
13、，此时值最小，从而求出b的值.【详解】解：（）把点和代入函数，有。解得（）由，得点E在直线上，当时，点A是最高点此时，（）：抛物线经过点，有E关于x轴的对称点为设过点A，P的直线为.把代入，得把点代入.得，即解得，。舍去.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题5如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使NAC的面积最大，若存在，求出这个最大
14、值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由（4）若P为抛物线上一点，过P作PQBC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1，0）或（-，0）；（4）点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）【解析】【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式；（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据
15、抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；（4）存在两种情况：如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；如图5，图3中的M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则CP2QBCO，P2为直线CM的抛物线的交点【详解】（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-
16、1），把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），a=-1，y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）如图1，过N作NDy轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，解得：，直线AC的解析式为：y=x+2，D（n，n+2），ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，SANC=2-n2-2n=-n2-2n=-（n+1）2+1，当n=-1时，ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；如图2
17、，由勾股定理得：BC=，以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，解得：x=，M4在x轴的负半轴上，M4（-，0），综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1，0）或（-，0）；（4）存在两种情况：如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1QBC，此时，CP1QBCO，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称， P1（-1，2），
18、如图5，由（3）知：当M（-，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，过P2作P2QBC，此时，CP2QBCO，易得直线CM的解析式为：y=x+2，则，解得：P2（-，-），综上所述，点P的坐标为：（-1，2）或（-，-）【点睛】本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解6如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析
19、式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.【解析】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3
20、得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标详解：（1）依题意得：，解得：，抛物线的解析式为.对称轴为，且抛物线经过，把、分别代入直线，得，解之得：，直线的解析式为.（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.（3）设，又，若点为直角顶点，则，
21、即：解得：，若点为直角顶点，则，即：解得：，若点为直角顶点，则，即：解得：，.综上所述的坐标为或或或.点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题7综合与探究如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC(1)求抛物线的函数表达式；(2)BCD的面积等于AOC的面积的时，求的值；(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，
22、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F，先求出SOAC=6，再根据SBCD=SAOC，得到SBCD =，然后求出BC的解析式为，则可得点G的坐标为，由此可得，再根据SBCD=SCDG+SBDG=，可得关于m的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，由点D的坐标可得点N点纵坐标为，然后分点N的纵坐标为和点N的纵坐标为两种情况分
23、别求解；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM1=N1D=4，继而求得OM1= 8，由此即可求得答案.【详解】(1)抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)，解得，抛物线的函数表达式为；(2)作直线DE轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F，点A的坐标为(-2,0)，OA=2，由，得，点C的坐标为(0,6)，OC=6，SOAC=，SBCD=SAOC，SBCD =，设直线BC的函数表达式为，由B，C两点的坐标得，解得，直线BC的函数表达式为，点G的坐标为，点B的坐标为(4,0)，OB=4，SBCD=SCDG+SBDG=，SBCD =，
24、解得(舍)，的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，D点坐标为，点N点纵坐标为，当点N的纵坐标为时，如点N2，此时，解得：(舍)，；当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，此时，解得：，；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，D(3，)，N1D=4，BM1=N1D=4，OM1=OB+BM1=8，M1(8，0)，综上，点M的坐标为：.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解
25、题的关键.8如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角和等腰直角,连接,试确定面积最大时点的坐标.(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.【解析】分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可； （2）由等腰直角
26、APM和等腰直角DPN，得到MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x1得：m=1，n=3，A（1，0），B（4，3） y=x2+bx+c经过点A与点B，解得：，则二次函数解析式为y=x2+6x5； （2）如图2，APM与DPN都为等腰直角三角形，APM=DPN=45，MPN=90，MPN为直角三角形，令x2+6x5=0，得到x=1或x=5，D（5，0），即DP=51=4，设AP=m，则有
27、DP=4m，PM=m，PN=（4m），SMPN=PMPN=m（4m）=m2m=（m2）2+1，当m=2，即AP=2时，SMPN最大，此时OP=3，即P（3，0）； （3）存在，易得直线CD解析式为y=x5，设Q（x，x5），由题意得：BAD=ADC=45，分两种情况讨论：当ABDDAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x1）2+（x5）2=，解得：x=，此时Q（，）； 当ABDDQA时，=1，即AQ=，（x1）2+（x5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，3） 综上，点Q的坐标为（2，3）或（，）点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的
28、图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键9如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当BMN是等腰三角形时，直接写出m的值【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x24x+3；（2）SBCP最大=；（3）当BMN是等腰三角形时，m的值为，1，2【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的
29、纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得 直线BC的解析是为y=-x+3，过点P作PEy轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，SBCP=SBPE+SCPE=（-t2+3t）3=-（t-）2+，-
30、0，当t=时，SBCP最大=.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，BM=|m-3|，当MN=BM时，m2-3m=（m-3），解得m=，m2-3m=-（m-3），解得m=-当BN=MN时，NBM=BMN=45，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，BMN=BNM=45，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的
31、方程，要分类讨论，以防遗漏10一次函数yx的图象如图所示，它与二次函数yax24axc的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D若点D与点C关于x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式【答案】（1）点C（2，）；（2）yx2x； yx22x【解析】试题分析：（1）求得二次函数yax24axc对称轴为直线x2，把x2代入yx求得y=，即可得点C的坐标；（2）根据点D与点C关于x轴对称即可得点D的坐标，并且求得CD的长，设A（m，m） ，根据
32、SACD3即可求得m的值，即求得点A的坐标，把A.D的坐标代入yax24axc得方程组，解得a、c的值即可得二次函数的表达式.设A（m，m）（m2），过点A作AECD于E，则AE2m，CEm，根据勾股定理用m表示出AC的长，根据ACD的面积等于10可求得m的值，即可得A点的坐标，分两种情况：第一种情况，若a0，则点D在点C下方，求点D的坐标；第二种情况，若a0，则点D在点C上方，求点D的坐标，分别把A、D的坐标代入yax24axc即可求得函数表达式.试题解析：（1）yax24axca（x2）24ac二次函数图像的对称轴为直线x2当x2时，yx，C（2，）（2）点D与点C关于x轴对称，D（2，），CD3.设A（m，m） （m2），由SACD3，得3（2m）3，解得m0，A（0，0）.由A（0，0）、 D（2，）得解得a，c0.yx2x.设A（m，m）（m2），过点A作AECD于E，则AE2m，CEm，AC（2m），CDAC，CD（2m）.由SACD10得（2m）210，解得m2或m6（舍去），m2A（2，），CD5.若a0，则点D在点C下方，D（2，），由A（2，）、D（2，）得解得yx2x3.若a0，则点D在点C上方，D（2，），由A（2，）、D（2，）得解得yx22x.考点：二次函数与一次函数的综合题.
