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1、专题24 特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）经过点A的直线l：yaxa与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形令ax22a3aaxa解得x11，x24，所以点A的坐
2、标为（1，0），C的坐标为（4，5a）因为yax22ax3a，所以抛物线的对称轴为x1则xP1若AC是矩形的一条边，如图，则xAxPxCxQ，可得xQ4，从而点Q坐标为（4，21a）同样yAyPyCyQ，可得yP26a，从而点P坐标为（1，26a）因为ACPQ，所以有22（26a）282（16a）2，解得，此时点P的坐标为（1，）若AC是矩形的一条对角线，如图则xAxCxPxQ，可得xQ2，从而点Q坐标为（2，3a）同样yAyCyPyQ，可得yP8a，从而点P坐标为（1，8a）因为ACPQ，所以有52（5a）212（11a）2，算得，所以此时点P的坐标为（1，4）综上可得，以点A，C，P，Q为
3、顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒（1）菱形ABCD的边长是_，面积是_，高BE的长是_;（2）若点P的速度为每秒1个单位点Q的速度为每秒k个单位在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形请探究当t4秒时的情形，并求出k的值解：（1）5，24，48（2）要使APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三
4、角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需APQ为等腰三角形即可当t4时，AP4如图，当点Q在线段BC上时，PQBEAP，同理，AQAP，所以只存在QAQP的等腰三角形过点Q作QHAP于点H，交AC于点F，则AHPHAP2易证：AFHCFQADO，所以可得从而k当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i）如图1，当APAQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQPD1所以，k（）如图3，当PAPQ时，过点P作PHAB于点H易证AHPAEB，所以，其中AE所以AH，AQ2AH，所以k（）由可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时
5、，不存在AQPQ这种情况综上所得，满足条件的k值为，例3 如图，二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M问：是否存在抛物线使得四边形AMBM为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由解：存在 易得AMBM是菱彤，所以当ABMM时，四边彤AMBM是正方形 设点A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2，0） 令 所以x1x22，x1x22c 所以AB点M的纵坐标为 若四边形AMBM为正方形， 则有 解得 又因为已知抛物线与x轴有两个交点， 所以 解得c， 所以c的值为 所以存在抛物线，使得四边彤AMBM为正方形进阶训练1已知抛物线C1：y2x28x6与抛
6、物线C关于原点对称，抛物线C2与x轴分别交于点A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧）顶点为N（1）求抛物线C2的表达式；（2）若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1 个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为A，B，C，D，M，N，当点A与点D重合时运动停止，在运动过程中，四边形B，M，C，N能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t（秒）的值；若不能，请说明理由解：（1）抛物线C2的表达式为 （2）能1提示（2）如图，由轴对称的性质可得四边形CNBM为平行四边形所以当BMC90或BCMN
7、时四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t2如图，抛物线与x轴的右交点为A，与y 轴的交点为B，设E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形（1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF是否为菱形；（2）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？ 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当点E的坐标为（3，4）时，平行四边形OAEF是菱形;（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF是正方形，则OAEF且OAEF此时的点E不在抛物线上3如图，抛物线经过原点O与x轴上一点A（4，0），抛物线的顶点为E，它的对称轴x轴交于点D，直线y
8、2x1经过抛物线上一点B（2，m），与抛物线的对称轴交于点F（1）求抛物线的表达式；（2）Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M的运动时间为t 秒，是否能使以Q，A，E， M四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M的运动时间；若不能，请说明理由解：（1）抛物线的表达式为； （2）能，t的值为，6，或提示（2）如图，点M的运动过程中，以Q，A，E，M为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t的值4如图，抛物线yx2bxc经过A（1，0）两点，且与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x轴于点E，连结B
9、D（1）P是线段BD上一点，当PEPC时，请求出点P的坐标；（2）在（1）的条件下，过点P作PFx轴于点F，G 为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标解：（1）点P的坐标为（2，2），（2）点M的坐标为 提示（1）易求得抛物线的l表达式为所以C（0，3），D（1，4），E（1，0），从而直线BD的表达式为y2x6设点P的坐标为（t，2t6）若PEPC则有t（2t63），解得t2，从而得到点P的坐标为（22）（2）可设点M的坐标为（m，0），则点G的坐标为（m，）而以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形所以MFMG，从而，解得m，或m，即得点M的坐标
